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Module de Young

Le module de Young, module d’élasticité (longitudinale) ou module de traction est la constante qui relie la contrainte de traction (ou de compression) et le début de la déformation d'un matériau élastique isotrope.

Module de Young
Unités SI pascal (Pa)
Autres unités N/m2, J/m3, kg m−1 s−2
Dimension M L-1 T-2
Nature
Symbole usuel E
Diagramme contrainte-déformation d'un matériau ductile.
Un module d'élasticité peut être déterminé à partir de la géométrie, de la raideur et de l'angle de phase de l'échantillon.

Dans les ouvrages scientifiques utilisés dans les écoles d'ingénieurs, il a été longtemps appelé module d'Young.

Le physicien britannique Thomas Young (1773-1829) avait remarqué que le rapport entre la contrainte de traction appliquée à un matériau et la déformation qui en résulte (un allongement relatif) est constant, tant que cette déformation reste petite et que la limite d'élasticité du matériau n'est pas atteinte. Cette loi d'élasticité est la loi de Hooke :

où :

Le module de Young est la contrainte mécanique qui engendrerait un allongement de 100 % de la longueur initiale d'un matériau (il doublerait donc de longueur), si l'on pouvait l'appliquer réellement : dans les faits, le matériau se déforme de façon permanente, ou se rompt, bien avant que cette valeur ne soit atteinte. Le module de Young est la pente initiale de la courbe de déformation-contrainte.

Un matériau dont le module de Young est très élevé est dit rigide. L'acier, l'iridium et le diamant, sont des matériaux très rigides, l'aluminium et le plomb le sont moins. Les matières plastiques et organiques, les mousses sont au contraire souples, élastiques ou flexibles (pour un effort de flexion).

La rigidité est distincte de

  • la résistance : la résistance mécanique d'un matériau est caractérisée par sa limite d'élasticité et/ou sa résistance à la traction ;
  • la raideur : la raideur d'une poutre (par exemple) dépend de son module de Young (de sa rigidité) mais aussi du rapport de sa section à sa longueur[1]. La rigidité caractérise les matériaux, la raideur concerne les structures et les composants : une pièce mécanique massive en matière plastique peut être beaucoup plus raide qu'un ressort en acier ;
  • la dureté : la dureté d'un matériau définit la résistance relative qu'oppose sa surface à la pénétration d'un corps plus dur.

Le tenseur des rigidités généralise le module de Young aux matériaux anisotropes.

Unités

D'après l'équation aux dimensions, le module de Young est homogène à une pression, ou plus précisément une contrainte. L'unité internationale correspondante est donc le pascal (Pa). En raison des valeurs élevées que prend ce module, il est en général exprimé en gigapascals (GPa) ou mégapascals (MPa).

Expressions théoriques

Dans le cas d'un matériau cristallin et de certains matériaux amorphes, le module de Young exprime la « force de rappel » électrostatique qui tend à maintenir les atomes à distance constante. Il peut s'exprimer en fonction de la dérivée seconde du potentiel interatomique.

Dans le système d'unités « naturelles » atomique, le module de Young, pour un matériau isotrope, est homogène à[2]

et où

est la constante de Planck réduite.

Cela dit, compte tenu des problèmes où il apparaît (bilaplacien), il paraît assez naturel de le rationaliser :

  • soit comme E1 = E0/16 π2 ;
  • soit comme E2 = E0/64 π6 ;

les ordres de grandeur de E1 ou E2 sont à comparer aux valeurs tabulées, de l'ordre de 100 GPa, qui apparaissent alors relever de ce corpus théorique.

Dans le cas des polymères, l'agitation thermique « tortille » la chaîne carbonée qui tend à maintenir la longueur de la chaîne constante. Le module de Young peut alors s'exprimer en fonction de l'entropie.

Cette différence de comportement est flagrante lorsque l'on considère l'influence de la température ; si l'on soumet une éprouvette à une charge constante (essai de fluage) :

  • lorsque l'on augmente la température, une éprouvette de métal s'allonge (dilatation), donc son module de Young diminue, tandis que l'éprouvette en polymère se raccourcit (les chaînes s'agitent, s'entortillent) donc son module de Young augmente ;
  • lorsque l'on diminue la température, on observe le phénomène inverse : l'éprouvette de métal se raccourcit (contraction) donc son module de Young augmente, tandis que l'éprouvette de polymère s'allonge (les chaînes sont moins agitées et se laissent étirer) donc son module de Young diminue.

Relations

.

Méthodes de mesure

Le plus simple reste bien sûr de réaliser un essai de traction. Et, connaissant les dimensions de l'éprouvette, d'en déduire le module de Young . Cependant, il est difficile de réaliser cette mesure avec une bonne précision.

C'est pourquoi on préfère, lorsque cela est possible, déduire le module de Young de la fréquence propre de vibration d'une tige de matériau maintenue à ses extrémités et chargée en son milieu.

On peut aussi mesurer la vitesse du son dans le matériau qui nous intéresse, et en déduire le module de Young sachant qu'on a la relation suivante.

.

Cependant, cette loi est approchée : la vitesse du son dépend aussi du coefficient de Poisson.

Le module de Young augmente avec la vitesse de déformation. Voir aussi Principe d'équivalence temps-température.

Le module de Young complexe peut être déterminé par analyse mécanique dynamique.

Quelques valeurs numériques

Les caractéristiques mécaniques des matériaux sont variables d'un échantillon à l'autre. D'un point de vue global, selon M. Ashby, on trouve des matériaux dont la valeur est comprise entre 10 kPa (mousses) et 1 000 GPa (céramiques techniques).

Métaux purs
Matériaux Module (GPa)
Aluminium (Al)69
Argent (Ag)83
Baryum (Ba)13
Béryllium (Be)240
Bismuth (Bi)32
Cadmium (Cd)50
Césium (Cs)1,7
Chrome (Cr)289
Cobalt (Co)209
Cuivre (Cu)124
Étain (Sn)41,5
Fer (Fe)196
Germanium (Ge)89,6
Indium (In)11
Iridium (Ir)528
Lithium (Li)4,9
Magnésium (Mg)45
Manganèse (Mn)198
Molybdène (Mo)329
Nickel (Ni)214
Niobium (Nb)105
Or (Au)78
Palladium (Pd)121
Platine (Pt)168
Plomb (Pb)18
Plutonium (Pu)96
Rhodium (Rh)275
Rubidium (Rb)2,4
Ruthénium (Ru)447
Scandium (Sc)74
Sélénium (Se)10
Sodium (Na)10
Tantale (Ta)186
Titane (Ti)114
Tungstène (W)406
Uranium (U)208
Vanadium (V)128
Zinc (Zn)78
Zirconium (Zr)68
Alliages
Matériaux Module (GPa)
Acier de construction210
Acier à ressorts220
Acier inoxydable 18-10203
Bronze (cuivre + 9 à 12 % d'étain)124
Bronze au béryllium130
Cuivre laminé U4 (recuit)90
Cuivre laminé U4 (écroui dur)150
Duralumin AU4G75
Fontes83 à 170
Hastelloy B2 (Ni + Mo)217
Hastelloy C 2000 (Ni + Cr + Mo)206
Inconel X-750 (Ni + Cr + Fe)212 à 218
Invar140
Laiton (Cu + Zn)100 à 130
Monel 400 (Ni + Cu)173
Nimonic 90 (Ni + Cr + Co)213 à 240
Nispan (Ni + Cr + Ti)165 à 200
Phynox (Co + Cr + Ni + Mo)203
Verres, céramiques, oxydes, carbures métalliques, minéraux
Matériaux Module (GPa)
Alumine (oxyde d'aluminium Al2O3)+0390,
Arsenic (As)+0008,
Arséniure de gallium (AsGa)+0085,5
Béton+0020, à 50
Brique+0014,
Calcaire (carbonate de calcium, CaCO3, roche sédimentaire)+0020, à 70
Carbure de chrome (Cr3C2)+0373,
Carbure de silicium (SiC)+0450,
Carbure de titane (TiC)+0440,
Carbure de tungstène (WC)+0650,
Carbure de zirconium (ZrC)+0380, à 440
Diamant (C)+1 000,
Dioxyde de silicium (SiO2)+0070,
Glace (H2O)+0009,3
Graphite+0030,
Granite+0060,
Marbre+0026,
Mullite (Al6Si2O13)+0145,
Neige (glace H2O + air)+0000, à 0,015
Oxyde de béryllium (BeO)+0350,
Oxyde de magnésium (MgO)+0250,
Oxyde de zirconium (ZrO)+0200,
Saphir+0420,
Titanate d'aluminium (Ti3Al)+0140,
Titanate de baryum (BaTiO3)+0067,
Verre+0069,
Bois
Matériaux Module (GPa)
Acajou (Afrique)12
Bambou20
Bois de rose (Brésil)16
Bois de rose (Inde)12
Chêne12
Contreplaqué glaw12,4
Épicéa10 à 13
Érable10
Frêne10
Papier3 à 4
Sequoia9,5

N.B. Ces valeurs sont celles du module d'élasticité dans le sens parallèle au fil (matériau anisotrope). Dans une même essence, celui-ci varie en fonction de l'humidité, de la densité (qui n'est pas constante) et d'autres caractéristiques (longueur des fibres…).

Polymères, fibres
Matériaux Module (GPa)
Caoutchouc+0000,001 à 0,1
Fibre de carbone haut module+0640,
Fibre de carbone haute résistance+0240,
Kevlar+0034,5
Nanotube de carbone+1 100,
Nylon+0002, à 5
Plexiglas (poly(méthacrylate de méthyle))+0002,38
Polyamide+0003, à 5
Polycarbonate+0002,3
Polyéthylène+0000,2 à 0,7
Polystyrène+0003, à 3,4
Résine époxyde (durcie)+0003,5
Polypropylène+0001,1 à 1,6
Biomatériaux
Matériaux Module (GPa)
Émail dentaire 82,5
Bec de poussin50
Cartilage0,024
Cheveu10
Collagène0,006
Laine14
Nacre 40 à 70
Piquant d'oursin15 à 65
Radius18,6
Soie d'araignée25
Soie du ver à soie17
Vertèbre cervicale0,23
Vertèbre lombaire0,16

Utilisations

Le module de Young est bien évidemment extrêmement utilisé en mécanique des structures ou en résistance des matériaux. Ces deux domaines apparaissent dans la conception d'édifices architecturaux ou même dans le dimensionnement des ailes d'un avion pour prendre cet exemple. À l'heure actuelle, l'accent est porté sur la recherche de nouveaux matériaux possédant un module de Young élevé tout en restant léger, les références aéronautiques étant l'aluminium, le titane, et plus récemment les polymères tels que les fibres de carbone.

La mesure du module de Young permet également de quantifier l'avancement de l'état de dégradation de matériaux comme le béton à la suite de différentes pathologies comme celle de la réaction alcali-granulat et des réactions sulfatiques internes ou externes se caractérisant par un gonflement interne du béton. La mesure peut se faire par essais destructifs (essais de compression, de fendage ou de flexion) ou par examens non destructifs (examens acoustiques ou par ultrasons). En effet, la vitesse de propagation des ondes sonores ou ultra-sonores dans un milieu continu dépend de l'élasticité de ce milieu, fonction elle-même de son module de Young.

En médecine également, la mesure des variations du module de Young dans un organe est une possibilité de l'imagerie médicale (essentiellement par échographie) qui permet de représenter l'élasticité des tissus même profonds, par exemple pour donner l'étendue de la fibrose d'un foie ou détecter dans un sein un carcinome petit ou profond, peu décelable à la palpation (élastographie de 2e génération).

Références

  1. Sophie Trachte, Matériau, matière d'architecture soutenable : Choix responsable des matériaux de construction, pour une conception globale de l'architecture soutenable, Presse universitaire de Louvain, coll. « thèse de doctorat en architecture », , 534 p. (ISBN 978-2-87558-081-8 et 2-87558-081-7, lire en ligne), p. 75.
  2. Charles Kittel (trad. Nathalie Bardou, Évelyne Kolb), Physique de l’état solideSolid state physics »], [détail des éditions], chap. 3.

Voir aussi

Bibliographie

  • Ch. Kittel, Physique du solide, éd. Dunod, chap. « Constantes d'élasticité ».
  • Michael F. Ashby et David R. H. Jones, Matériaux 1. Propriétés et applications, éd. Dunod, chap. 3 « Les constantes d'élasticité ».

Articles connexes

Liens externes

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