Densité

La densité relative d'un corps solide par rapport à un corps fluide est le rapport de la masse du corps solide sur la masse du corps fluide de volume identique à celui du corps solide[8]. On mesure cette densité relative en réalisant trois pesées et en immergeant le solide. Les mesures doivent être réalisées dans les mêmes conditions de pression et de température (souvent les conditions normales : 76 cmHg, 0 °C).

Fig. A : Première pesée

Un corps solide C₁ est accroché au plateau d'une balance à l'aide d'une tige rigide t de masse M_t inconnue (figure A). La masse m₁ et le volume ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{1}}$ du corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ ne sont pas connus. Une tare T, de masse M_T inconnue, est posée sur l'autre plateau de la balance. Les masses inconnues des deux plateaux de la balance sont notées M₁ et M₂.

L'équilibre du fléau de la balance est réalisé grâce à la présence d'un poids, de masse M_A connue, posée sur le plateau auquel est accroché le corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ (à l'extrémité A du fléau).

La force F_A s'exerçant au niveau de l'extrémité A du fléau est égale à :

${\displaystyle F_{A}\;=\;m_{1}\;g\;+\;M_{t}\;g\;+\;M_{A}\;g\;+\;M_{1}\;g\;\;\;\;(A)}$

où ${\displaystyle \scriptstyle g}$ est l'accélération de la pesanteur.

Fig. B : Deuxième pesée

Décrochons le corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ (figure B). Afin d'équilibrer de nouveau le fléau de la balance, déposons la masse M_A et remplaçons la par une masse M_B. La force F_A s'exerçant au niveau de l'extrémité A du fléau est égale à :

${\displaystyle F_{A}\;=\;M_{t}\;g\;+\;M_{B}\;g\;+\;M_{1}\;g\;\;\;\;(B)}$

Puisque le fléau a retrouvé sa position d'équilibre, les forces F_A données par les égalités (A) et (B) sont égales, d'où :

${\displaystyle F_{A}\;=\;m_{1}\;g\;+\;M_{t}\;g\;+\;M_{A}\;g\;+\;M_{1}\;g\;=\;M_{t}\;g\;+\;M_{B}\;g\;+\;M_{1}\;g\;\;\;\;(C)}$

La masse m₁ du corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ est donc égale à :

${\displaystyle m_{1}\;=\;M_{B}\;-\;M_{A}\;\;\;\;(D)}$

Fig. C : Troisième pesée

Le corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ est de nouveau suspendu au plateau (figure C). Mais, cette fois-ci, il est plongé dans un liquide de masse volumique ${\displaystyle \rho _{L}}$ (en principe de l'eau distillée). Afin d'équilibrer la balance, la masse M_B est déposée et une masse M_C est installée à sa place. Le liquide exerce une force sur le corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$. Il s'agit de la poussée d'Archimède. C'est une force dont la direction est verticale et dont le sens est dirigée vers le haut. Son module est égal à ${\displaystyle \Pi \;=\;\rho _{L}\;{\mathcal {V}}_{1}\;g}$.

La force F_A s'exerçant au niveau de l'extrémité A du fléau est égale à :

${\displaystyle F_{A}\;=\;m_{1}\;g\;+\;M_{t}\;g\;+\;M_{C}\;g\;-\;\underbrace {\rho _{L}\;{\mathcal {V}}_{1}\;g} _{\Pi }\;+\;M_{1}\;g\;\;\;\;(E)}$

Puisque le fléau a retrouvé sa position d'équilibre, les forces F_A données par les égalités (A) et (E) sont égales, d'où :

${\displaystyle m_{1}\;g\;+\;M_{t}\;g\;+\;M_{A}\;g\;+\;M_{1}\;g\;=\;m_{1}\;g\;+\;M_{t}\;g\;+\;M_{C}\;g\;-\;\rho _{L}\;{\mathcal {V}}_{1}\;g\;+\;M_{1}\;g\;\;\;\;(F)}$

Donc :

${\displaystyle \Pi \;=\;\rho _{L}\;{\mathcal {V}}_{1}\;g\;=\;M_{C}\;g\;-\;M_{A}\;g\;\;\;\;(G)}$

Le module ${\displaystyle \Pi \;=\;\rho _{L}\;{\mathcal {V}}_{1}\;g}$ de la poussée d'Archimède est assimilable au poids d'un corps liquide : le poids du liquide déplacé par le corps solide ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$. Soit ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$ le nom de ce corps liquide. Le volume, la masse volumique et la masse du corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$ sont donc respectivement égaux à :

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{2}={\mathcal {V}}_{1}\;\;\;et\;\;\;\rho _{2}=\rho _{L}}$

${\displaystyle m_{2}\;=\;\rho _{2}\;{\mathcal {V}}_{2}\;=\;\rho _{L}\;{\mathcal {V}}_{1}\;=\;{\frac {\Pi }{g}}\;=\;M_{C}\;-\;M_{A}\;\;\;(H)}$

En tenant compte des égalités (D) et (H), on peut donc déterminer la densité relative du corps solide ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ par rapport au corps fluide ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$ :

${\displaystyle d_{1/2}\;=\;{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\;=\;{\frac {\rho _{1}\;{\mathcal {V}}_{1}}{\rho _{2}\;{\mathcal {V}}_{2}}}\;=\;{\frac {\rho _{1}\;{\mathcal {V}}_{1}}{\rho _{2}\;{\mathcal {V}}_{1}}}\;=\;{\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}\;=\;{\frac {M_{B}-M_{A}}{M_{C}-M_{A}}}\;\;\;\;(I)}$

Actuellement, on utilise une large variété de densimètres portatifs ou fixes pour mesurer la densité des liquides ou des solides dans des contextes professionnels ou scientifiques divers.

D'une manière générale quand un corps liquide refroidit sa densité augmente et devient maximale à la température de solidification. De plus le corps solide est généralement plus dense que le corps liquide. L'eau fait partie des exceptions : sa densité maximale est atteinte non pas à 0 °C mais à 3,98 °C et la glace est moins dense que l'eau liquide. Cette anomalie dilatométrique permet à l'eau tiède, à l'eau très froide et à la glace de flotter sur de l'eau à 3,98 °C.

Parmi les métaux moins denses à l'état solide qu'à l'état liquide, on peut citer le bismuth et le plutonium. Cela pose des problèmes importants lors du moulage, à cause du gonflement qui accompagne la solidification.

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