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Extremum

Un extremum (pluriel extrema ou extremums), ou extrĂ©mum (pluriel extrĂ©mums), est une valeur extrĂȘme, soit maximum, soit minimum. Cette notion est particuliĂšrement utilisĂ©e en mathĂ©matiques, oĂč l'expression maximo-minimum, introduite par Nicolas de Cues, correspond Ă  partir de Fermat et Leibniz aux extrĂȘmes d'une courbe ou d'une fonction, repĂ©rĂ©s par le fait que les dĂ©rivĂ©es s'y annulent. Elle est aussi utilisĂ©e en physique, oĂč le principe de moindre action est un principe extrĂ©mal ainsi que Euler l'a montrĂ©.

Généralités

En théorie des ensembles

Dans un ensemble ordonné E, un élément d'une partie A est le plus grand élément, ou maximum de A, s'il appartient à A et est supérieur à tout autre élément de A. L'existence d'un maximum n'est en général pas assurée pour toute partie d'un ensemble ordonné. En revanche, s'il existe, un tel élément est unique (ce qui justifie l'emploi de l'article défini « le » dans la définition). De maniÚre analogue, le plus petit élément ou minimum est, s'il existe, un élément de A inférieur à tout autre élément de A.

Unicité

Si une partie A de E admet deux maxima, m1 et m2, alors m1 est plus grand que tout Ă©lĂ©ment de A, donc en particulier que m2 ; et de mĂȘme, m2 est plus grand que m1. Par antisymĂ©trie des relations d'ordre, l'Ă©galitĂ© m1 = m2 s'en dĂ©duit.

Comparaison avec d'autres notions

D'autres notions relatives aux ensembles ordonnés sont proches de celles de maximum ; les comparer permet de mieux les appréhender.

  • La notion de majorant et de minorant : s'il existe, un Ă©lĂ©ment de E est un majorant de A s'il est plus grand que tout Ă©lĂ©ment de A ; s'il existe, un Ă©lĂ©ment de E est un minorant de A s'il est plus petit que tout Ă©lĂ©ment de A ; ainsi, les extremums (le maximum et le minimum) qui existent dans un ensemble E font partie (respectivement) des majorants et minorants de E dans lui-mĂȘme.
  • La notion de borne (borne supĂ©rieure, aussi appelĂ©e supremum, ou borne infĂ©rieure, aussi appelĂ©e infimum) : si elle existe, la borne supĂ©rieure de A est le plus petit de tous les majorants de A dans E (la borne supĂ©rieure de A est donc dĂ©finie comme le minimum d'une certaine partie de E et son unicitĂ© est garantie mais pas son existence). A admet un maximum si et seulement si sa borne supĂ©rieure existe et appartient Ă  A (et dans ce cas, elle est Ă©gale au maximum) ; et rĂ©ciproquement pour la borne infĂ©rieure.
  • La notion d'Ă©lĂ©ment extrĂ©mal (Ă©lĂ©ment maximal ou Ă©lĂ©ment minimal) Ă©galement appelĂ©e borne inclusive : un Ă©lĂ©ment de E est maximal dans A, s'il appartient Ă  A, et n'est infĂ©rieur Ă  aucun autre Ă©lĂ©ment de A ; un Ă©lĂ©ment de E est minimal dans A, s'il appartient Ă  A, et n'est supĂ©rieur Ă  aucun autre Ă©lĂ©ment de A.

S'ils existent, les extremums (le maximum ou le minimum) d'un ensemble E, sont toujours des Ă©lĂ©ments extrĂ©maux (bornes inclusives : Ă©lĂ©ment maximal ou Ă©lĂ©ment minimal) de E dans lui-mĂȘme ; les notions d'extremum (le maximum et le minimum) et d'Ă©lĂ©ment extrĂ©mal (un Ă©lĂ©ment maximal ou un Ă©lĂ©ment minimal) coĂŻncident dans les ensembles munis d'un ordre total ; lorsque E est fini, il y a Ă©quivalence entre l'existence d'un unique Ă©lĂ©ment extrĂ©mal (borne inclusives : Ă©lĂ©ment maximal ou Ă©lĂ©ment minimal) et l'existence d'un extremum (le maximum ou le minimum, chacun nĂ©cessairement unique avec un ordre total sur un ensemble fini).

Mais ce n'est pas nĂ©cessairement vrai sur un ensemble vide ou infini ou dans le cas d'un ordre non total (oĂč deux Ă©lĂ©ments peuvent ĂȘtre ordonnĂ©s de la mĂȘme façon avec les autres et mutuellement entre eux, et peuvent donc chacun ĂȘtre des Ă©lĂ©ments extrĂ©maux mais pourtant distincts). Par exemple l'ensemble de seulement trois entiers {0, 1, 2} muni de l'ordre partiel comparant non pas leur valeur mais leur paritĂ© (le reste de leur division euclidienne par 2) n'est pas totalement ordonnĂ© car les Ă©lĂ©ments 0 et 2 ont la mĂȘme paritĂ© 0 (les Ă©lĂ©ments 0 et 2 sont des valeurs minimales pour cet ordre partiel, mais ils sont diffĂ©rents : cet ensemble ordonnĂ© n'a donc pas de minimum, mais il a un maximum avec l'Ă©lĂ©ment 1). Dans le sous-ensemble {0, 2} avec le mĂȘme ordre, il n'y a ni minimum, ni maximum, mais les valeurs minimales (de mĂȘme les valeurs maximales) existent et forment ce mĂȘme ensemble de deux Ă©lĂ©ments.

Quand l'ensemble ordonnĂ© est un singleton, son unique Ă©lĂ©ment en est Ă  la fois son maximum et son minimum. Dans le cas dĂ©gĂ©nĂ©rĂ© oĂč l'ensemble ordonnĂ© est vide, il n'y a aucun extremum, ni aucune valeur extrĂ©male, et tout Ă©lĂ©ment de n'importe quel ensemble (incluant donc l'ensemble vide comme une partie) en est Ă  la fois un majorant et un minorant, et donc aussi une borne si cet autre ensemble est totalement ordonnĂ©.

Exemples

Dans l'ensemble N des entiers naturels muni de son ordre usuel, toute partie non vide admet un plus petit Ă©lĂ©ment et toute partie majorĂ©e (c'est-Ă -dire admettant un majorant) est finie donc admet mĂȘme un maximum. Par exemple N lui-mĂȘme a pour minimum 0 et n'a pas de maximum.

Dans l'ensemble R des nombres réels muni de son ordre usuel, certaines parties majorées n'admettent pas de plus grand élément, par exemple l'intervalle ]0, 1[ des nombres strictement compris entre 0 et 1.

Dans R, les fonctions minimum et maximum d'une paire peuvent s'exprimer Ă  l'aide de valeurs absolues :

Dans un ensemble ordonné muni d'un ordre non total, certaines parties admettent des éléments maximaux qui ne sont pas des maxima.

Par exemple dans l'ensemble E = {∅, {0}, {1}, {0, 1}} des parties de l'ensemble {0, 1}, ordonnĂ© par l'inclusion, la partie A = {∅, {0}, {1}} admet (un minimum et) deux Ă©lĂ©ments maximaux non comparables donc pas de maximum (seulement une borne supĂ©rieure : {0, 1}, qui n'appartient pas Ă  A).

Les extrema de la fonction f (bleu) correspondent aux zĂ©ros de sa dĂ©rivĂ©e (rouge). Le maximum global de f est , son minimum global est ☐, un maximum local est ◇, un minimum local est +, un point d'inflexion est ╳.

Extrema d'une fonction

Le maximum d'une fonction f dĂ©finie sur un ensemble E et Ă  valeurs dans un ensemble F ordonnĂ© est le maximum de l'ensemble des valeurs prises par f (de la partie f(E) de F). Ainsi m est le maximum de f s'il existe un Ă©lĂ©ment a de E tel que f(a) = m et tel que pour tout Ă©lĂ©ment x de E, f(x) ≀ f(a) ; l'Ă©lĂ©ment a (qui n'est pas nĂ©cessairement unique) est appelĂ© point de maximum de f.

Dans le cas oĂč l'espace de dĂ©part de f est muni d'une structure topologique (par exemple si f est une fonction d'une ou plusieurs variables rĂ©elles Ă  valeurs rĂ©elles), on distingue deux types d'extrema : les extrema globaux, qui correspondent Ă  la dĂ©finition prĂ©cĂ©dente, et les extrema locaux.

Extremum local d'une fonction

Soient f une fonction dĂ©finie sur un espace topologique E et a un point de E. On dit que f atteint en a un maximum local s'il existe un voisinage V de a tel que pour tout Ă©lĂ©ment x de V, on ait f(x) ≀ f(a).

On dit alors que f(a) est un « maximum local » de f sur E et que a est un point de maximum local de f.

Lorsqu'il existe un voisinage V de a tel que pour tout élément x de V différent de a, on ait f(x) < f(a), on dit que f atteint en a un maximum local strict.

Lorsque E est une partie d'un espace mĂ©trique (par exemple d'un espace vectoriel normĂ©, comme Rk), les voisinages de a dans ces dĂ©finitions peuvent ĂȘtre choisis Ă©gaux Ă  des boules. Par exemple : f atteint en a un maximum local s'il existe un rĂ©el Δ > 0 tel que pour tout Ă©lĂ©ment x de E Ă  distance < Δ de a, on ait f(x) ≀ f(a).

ThéorÚmes topologiques d'existence d'extrema globaux

Soit une fonction , oĂč D est un espace topologique. Par exemple, D peut ĂȘtre une partie de R (cas d'une fonction d'une variable rĂ©elle), ou d'un espace Rk, avec k un entier naturel (cas d'une fonction de k variables rĂ©elles).

L'existence d'extrema globaux est assurée dÚs lors que la fonction f est continue et que la partie D est compacte : en effet, l'image f(D) est alors une partie compacte de l'espace d'arrivée R ; en tant que partie bornée de R, elle admet une borne supérieure, et cette borne supérieure est dans f(D) puisque cette partie est fermée.

En dimension k = 1, c'est en particulier le cas si I est un intervalle fermĂ© bornĂ©, c'est-Ă -dire de la forme [a, b] (voir ThĂ©orĂšme des bornes). En dimension supĂ©rieure k, c'est en particulier le cas si D est une boule fermĂ©e (de la forme , oĂč dĂ©signe une norme sur Rk).

Méthodes issues du calcul différentiel pour la recherche d'extrema locaux

Soit une fonction , oĂč U est un ouvert de Rk ; par exemple, dans le cas d'une variable rĂ©elle, U peut ĂȘtre un intervalle ouvert de la forme ]a, b[ (avec a et b des nombres rĂ©els, ou , ou ).

L'étude des extrema passe souvent par la recherche des zéros de la dérivée, appelés points critiques (ou points stationnaires) de f. Un point critique n'est pas nécessairement un point d'extremum, comme le montre l'exemple de la fonction au point 0. On peut cependant, sous certaines hypothÚses supplémentaires, affirmer qu'un point critique est un point d'extremum.

Cas d'une fonction d'une variable

Condition nécessaire pour un extremum local

Dans le cas d'une fonction dérivable f d'une seule variable, si f possÚde un extremum local en un point de l'ouvert de définition de f, alors la dérivée de f en ce point est nulle.

Condition suffisante pour un extremum local

Si f est dérivable sur l'ouvert U et si, en un point , la dérivée de f s'annule en changeant de signe, alors f atteint un extremum local en . Plus précisément, en supposant :

  • s'il existe un rĂ©el tel que
et sur , sur ,
alors f atteint un maximum local en ;
  • s'il existe un rĂ©el tel que
et sur , sur ,
alors f atteint un minimum local en .

Cas d'une fonction de plusieurs variables

Condition nécessaire pour un extremum local

Si la fonction f atteint un extremum local en un point a de U oĂč elle est diffĂ©rentiable, alors toutes ses dĂ©rivĂ©es partielles s'annulent en a.

Condition suffisante pour un extremum local

On suppose que f est deux fois dérivable en un point de U. Sa matrice hessienne en est notée , c'est-à-dire que ; d'aprÚs le théorÚme de Schwarz, cette matrice est symétrique.

  • Si et si est dĂ©finie nĂ©gative, alors f atteint un maximum local strict en .
  • Si et si est dĂ©finie positive, alors f atteint un minimum local strict en .
Cas d'une fonction de plusieurs variables avec contraintes

Les conditions d'optimalité de ces problÚmes sont présentées dans « Conditions d'optimalité ».

Voir aussi

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