Théorème de Schwarz

La symétrie de la hessienne signifie que le résultat d'une dérivation partielle à l'ordre 2 par rapport à deux variables ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport à ces deux variables :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)(a)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)(a)}$.

Ce théorème est parfois appelé par les anglophones « Young's theorem[7] » (théorème de Young), nom qui désigne également une extension aux dérivées d'ordre supérieur[8].

La fonction f ne possède pas de dérivée seconde en (0, 0).

Le résultat ci-dessus peut tomber en défaut lorsque les hypothèses ne sont pas vérifiées. Un premier contre-exemple, assez compliqué, a été donné par Schwarz lui-même en 1873. Un deuxième contre-exemple, plus simple, est proposé par Peano en 1884[9]. Il s'agit de la fonction définie par :

${\displaystyle f\left(x,y\right)={\begin{cases}{\frac {xy\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}}&{\text{si }}\left(x,y\right)\neq \left(0,0\right)\\0&{\text{sinon,}}\end{cases}}}$

qui vérifie

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\left(0,0\right)=-1\quad {\text{tandis que}}\quad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\left(0,0\right)=1}$[10].

Considérons, en dimension 2, la 1-forme différentielle exacte suivante, où f est de classe C² :

${\displaystyle \mathrm {d} f=a(x,y)\,\mathrm {d} x+b(x,y)\,\mathrm {d} y.}$

Alors,

${\displaystyle a(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y){\text{ et }}b(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y).}$

En appliquant le théorème de Schwarz, on en déduit :

${\displaystyle {\frac {\partial b}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial a}{\partial y}}(x,y).}$

Ceci est donc une condition nécessaire d'exactitude de la forme différentielle. Une forme différentielle vérifiant cette condition nécessaire est dite fermée.

Plus généralement, en dimension n :

toute forme exacte de classe C¹ est fermée,

ce qui, dans le cas particulier d'une 1-forme ω, s'écrit :

${\displaystyle {\text{si }}\omega =\mathrm {d} f{\text{ alors }}\mathrm {d} \omega$ :=\sum _{i<j}\left({\frac {\partial \omega _{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial \omega _{i}}{\partial x_{j}}}\right)\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{j}=0.}

Démonstration pour une 1-forme

Considérons une 1-forme exacte

${\displaystyle \omega =\mathrm {d} f=\omega _{1}\mathrm {d} x_{1}+\omega _{2}\mathrm {d} x_{2}+\ldots +\omega _{n}\mathrm {d} x_{n}}$

où la fonction f est de classe C². Nous savons par ailleurs que

${\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\mathrm {d} x_{2}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\mathrm {d} x_{n}}$

Ainsi pour tout ${\displaystyle i,j<n}$

${\displaystyle \omega _{i}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$ et ${\displaystyle \omega _{j}={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}}$

En dérivant ${\displaystyle \omega _{i}}$ et ${\displaystyle \omega _{j}}$ respectivement selon ${\displaystyle x_{j}}$ et ${\displaystyle x_{i}}$,

${\displaystyle {\frac {\partial \omega _{i}}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\partial \omega _{j}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}}$

En vertu du théorème de Schwarz — qui s'applique ici car les ${\displaystyle \omega _{i}}$ sont supposés de classe C¹ — ces deux dérivées partielles sont égales, d'où

${\displaystyle \forall i,j<n,\quad {\frac {\partial \omega _{i}}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial \omega _{j}}{\partial x_{i}}}}$

ce qui achève la démonstration.

Lemme de Poincaré