Calcul différentiel
En mathématiques, le calcul différentiel est un sous-domaine de l'analyse qui étudie les variations locales des fonctions. C'est l'un des deux domaines traditionnels de l'analyse, l'autre étant le calcul intégral, utilisé notamment pour calculer l'aire sous une courbe[1].
Le calcul de la dérivée d'une fonction est, avec des notions connexes telles que la différentielle et leurs applications (équations différentielles, etc.) l'un des principaux objets d'étude du calcul différentiel. Géométriquement, la dérivée en un point d'une fonction à valeurs réelles est la pente de la tangente au graphe de la fonction en ce point.
Le calcul différentiel et le calcul intégral sont reliés par le théorÚme fondamental de l'analyse : la dérivation est le processus inverse de l'intégration.
Histoire
Le principe de tangente Ă une courbe est assez ancien, les premiĂšres traces, entre 300 av JC et 190 av JC, proviennent des mathĂ©maticiens grecques antiques, dont Euclide, ArchimĂšde, et Apollonios de Perga. ArchimĂšde utilisait d'ailleurs la MĂ©thode des indivisibles. On peut voir cette mĂ©thode comme l'ancĂȘtre du calcul intĂ©gral, mais ArchimĂšde l'employait plutĂŽt pour le calcul d'aire et de volume. L'utilisation des infinitĂ©simaux pour Ă©tudier un taux de variation en un point a Ă©tĂ© surtout dĂ©veloppĂ© par BhÄskara II. On a notamment dĂ©couvert que beaucoup de rĂ©sultats de calcul diffĂ©rentiel ont Ă©tĂ© retrouvĂ©s dans son travail (comme le thĂ©orĂšme de Rolle).
Dérivée
En mathĂ©matiques, la dĂ©rivĂ©e d'une fonction d'une variable rĂ©elle mesure l'ampleur du changement de lâimage de la fonction (valeur de sortie) par rapport Ă un petit changement de son argument (valeur d'entrĂ©e). Le calcul de dĂ©rivĂ©es est un outil fondamental du calcul infinitĂ©simal.
La différentielle généralise l'idée de dérivée en un point aux fonction de plusieurs variables ou à valeurs vectorielles, mais n'est pas traitée ici (voir l'article sur la différentielle).
DĂ©finition formelle
Soit une application de un intervalle rĂ©el dâintĂ©rieur non-vide dans l'ensemble des nombres rĂ©els. On dira que est dĂ©rivable en un point si le taux d'accroissement de en admet une limite en :
Si est dérivable en , sa dérivée en est égale à la limite du taux d'accroissement. On la note alors ou . Enfin, si est dérivable en tous points de , on définit la fonction dérivée de comme l'application :
Applications
La dérivation a des applications dans presque tous les domaines quantitatifs. Par exemple, les dérivées sont fréquemment utilisées pour trouver les extremums (maximums et minimums, ou maxima et minima en français latin) d'une fonction.
Ăquations diffĂ©rentielles
Les équations impliquant des dérivées sont appelées équations différentielles. Elles sont fondamentales pour décrire les phénomÚnes naturels et utilisées dans de nombreuses disciplines scientifiques.
En physique
En mécanique, la vitesse d'un objet est définie par la dérivée de la position de l'objet par rapport au temps. L'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps. D'aprÚs la deuxiÚme loi de Newton, appelée principe fondamental de la dynamique, la masse, supposée constante, d'un objet multipliée par la dérivée du vecteur vitesse de cet objet par rapport au temps est égale à la somme vectorielle des forces appliquées à cet objet, ce qui s'écrit mathématiquement par l'équation différentielle :
.
Autres
En chimie, la vitesse d'une réaction est donnée par la dérivée de la concentration des espÚces chimiques impliquées par rapport au temps.
En écologie, l'évolution des abondances des espÚces au cours du temps est décrite par des équations différentielles. Ces équations impliquent généralement un taux de natalité et un taux de mortalité, et parfois les autres espÚces du systÚme (proies ou prédateurs). Les équations de Malthus, de Verhulst et de Lotka-Volterra sont des exemples classiques de modÚles utilisés en dynamique des populations.
En recherche opérationnelle, les dérivées permettent de déterminer les moyens les plus efficaces de transporter des matériaux et de concevoir des usines.
Les dérivées et leurs généralisations apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques, tels que l'analyse complexe, l'analyse fonctionnelle, la géométrie différentielle, la théorie de la mesure et l'algÚbre abstraite.
Voir aussi
Notes et références
- (en) « Definition of INTEGRAL CALCULUS », www.merriam-webster.com (consulté le )
- (en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de lâarticle de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « Differencial calculus » (voir la liste des auteurs).