Calcul différentiel

Soit ${\textstyle f:I\to \mathbb {R} }$ une application de ${\textstyle I}$ un intervalle réel d’intérieur ${\displaystyle {\stackrel {\ \circ }{I}}}$ non-vide dans l'ensemble des nombres réels. On dira que ${\textstyle f}$ est dérivable en un point ${\displaystyle x_{0}\in {\stackrel {\ \circ }{I}}}$ si le taux d'accroissement de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle x_{0}}$ admet une limite en ${\displaystyle 0}$ :

$${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{x_{0}+h-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}.}$$

Si ${\textstyle f}$ est dérivable en ${\textstyle x_{0}}$, sa dérivée en ${\textstyle x_{0}}$ est égale à la limite du taux d'accroissement. On la note alors ${\displaystyle f'(x_{0})}$ ou ${\displaystyle {\dfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x_{0})}$. Enfin, si ${\textstyle f}$ est dérivable en tous points de ${\displaystyle I}$, on définit la fonction dérivée de ${\displaystyle f}$ comme l'application :

$${\displaystyle {\begin{aligned}f':I&\longrightarrow \mathbb {\mathbb {R} } \\x&\longmapsto f'(x)\end{aligned}}}$$

Les équations impliquant des dérivées sont appelées équations différentielles. Elles sont fondamentales pour décrire les phénomènes naturels et utilisées dans de nombreuses disciplines scientifiques.

En mécanique, la vitesse d'un objet est définie par la dérivée de la position de l'objet par rapport au temps. L'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps. D'après la deuxième loi de Newton, appelée principe fondamental de la dynamique, la masse, supposée constante, d'un objet multipliée par la dérivée du vecteur vitesse de cet objet par rapport au temps est égale à la somme vectorielle des forces appliquées à cet objet, ce qui s'écrit mathématiquement par l'équation différentielle :

${\displaystyle m{d{\vec {v}} \over dt}=\sum {{\vec {\mathrm {F} }}_{i}}}$.

En chimie, la vitesse d'une réaction est donnée par la dérivée de la concentration des espèces chimiques impliquées par rapport au temps.

En écologie, l'évolution des abondances des espèces au cours du temps est décrite par des équations différentielles. Ces équations impliquent généralement un taux de natalité et un taux de mortalité, et parfois les autres espèces du système (proies ou prédateurs). Les équations de Malthus, de Verhulst et de Lotka-Volterra sont des exemples classiques de modèles utilisés en dynamique des populations.

En recherche opérationnelle, les dérivées permettent de déterminer les moyens les plus efficaces de transporter des matériaux et de concevoir des usines.

Les dérivées et leurs généralisations apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques, tels que l'analyse complexe, l'analyse fonctionnelle, la géométrie différentielle, la théorie de la mesure et l'algèbre abstraite.