Accélération

L'accélération moyenne est déterminée à partir de la variation du vecteur vitesse ${\displaystyle \Delta {\vec {v}}}$.

On se place dans un référentiel (R) donné. Considérons un point matériel M de vecteur position ${\displaystyle {\vec {r}}}$ et de vecteur vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {M/(R)} }(t)}$. L'accélération moyenne entre les instants t₁ et t₂ est le vecteur défini par :

${\displaystyle {\vec {a}}_{\mathrm {moy} }={\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {M/(R)} }(t_{2})-{\vec {v}}_{\mathrm {M/(R)} }(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {\Delta {\vec {v}}_{\mathrm {M/(R)} }}{\Delta t}}}$.

La norme de l'accélération s'exprime en mètre par seconde au carré (m.s⁻², m/s²).

Si le référentiel et le point matériel sont définis sans ambiguïté, on allège couramment la notation

${\displaystyle {\vec {a}}_{\mathrm {moy} }={\frac {{\vec {v}}(t_{2})-{\vec {v}}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}}$.

Avec les mêmes notations, on définit l'accélération instantanée comme étant la dérivée du vecteur vitesse[2] :

${\displaystyle {\vec {a}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}}$.

Comme le vecteur vitesse est lui-même la dérivée du vecteur position ${\displaystyle {\vec {r}}}$ du point matériel M, il en résulte que ${\displaystyle {\vec {a}}}$ est la dérivée seconde de ${\displaystyle {\vec {r}}}$ :

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}.}$

Physiquement, le vecteur accélération décrit la variation du vecteur vitesse. Ce dernier pouvant à la fois varier en valeur et en direction, la notion physique d'accélération est plus large que celle employé dans le langage courant, où celle-ci désigne uniquement une variation de la valeur de la vitesse. Du point de vue cinématique, un véhicule effectuant un virage à vitesse constante (en valeur) possède bien une accélération. Il est possible de montrer que celle-ci est normale au vecteur vitesse et dirigée vers le centre de courbure du virage (cf. expression intrinsèque de ${\displaystyle {\vec {a}}}$).

Tout comme le vecteur position et le vecteur vitesse, le vecteur accélération par rapport à un référentiel donné peut s'exprimer dans les différents systèmes de coordonnées : cartésiennes, cylindro-polaires, et sphériques. Il est important de souligner que le choix du système de coordonnées est indépendant de celui du référentiel : le même vecteur accélération pourra donc s'exprimer différemment selon le système de coordonnées choisi.

• Coordonnées cartésiennes : le repère a pour base ${\displaystyle ({\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z})}$, le vecteur position s'exprime par ${\displaystyle {\vec {r}}=x(t){\vec {e}}_{x}+y(t){\vec {e}}_{y}+z(t){\vec {e}}_{z}}$, ce qui donne pour le vecteur accélération ${\displaystyle {\vec {a}}={\ddot {x}}\cdot {\vec {e}}_{x}+{\ddot {y}}\cdot {\vec {e}}_{y}+{\ddot {z}}\cdot {\vec {e}}_{z}}$.

• Coordonnées cylindro-polaires : le repère a pour base ${\displaystyle ({\vec {e}}_{\rho },{\vec {e}}_{\theta },{\vec {e}}_{z})}$, le vecteur position s'exprime par ${\displaystyle {\vec {r}}=\rho (t){\vec {e}}_{\rho }+z(t){\vec {e}}_{z}}$, ce qui donne pour le vecteur accélération ${\displaystyle {\vec {a}}=\left({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\theta }}^{2}\right){\vec {e}}_{\rho }+\left(\rho {\ddot {\theta }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\theta }}\right){\vec {e}}_{\theta }+{\ddot {z}}\cdot {\vec {e}}_{z}}$.

Dans un repère de Frenet il est possible de décomposer l'accélération en deux composantes :

• l'accélération tangentielle, dans la direction du mouvement, selon le vecteur ${\displaystyle {\vec {u}}_{\mathrm {t} }}$ : cette composante décrit physiquement la variation de vitesse absolue, sans modification de la courbure de la trajectoire ;
• l'accélération normale ou centripète, perpendiculaire à la direction du mouvement, selon le vecteur ${\displaystyle {\vec {u}}_{\mathrm {n} }}$ : cette composante décrit physiquement la « courbure » de la trajectoire causée par l'accélération, sans variation de vitesse absolue.

Il est possible de démontrer l'expression suivante :

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}{\vec {u}}_{\mathrm {t} }+{\frac {v^{2}}{\mathrm {R} }}{\vec {u}}_{\mathrm {n} }={\ddot {s}}{\vec {u}}_{\mathrm {t} }+{\frac {{\dot {s}}^{2}}{\mathrm {R} }}{\vec {u}}_{\mathrm {n} },}$

où s(t) est l'abscisse curviligne du point matériel et R est le rayon de courbure de la trajectoire au point considéré : c'est le rayon du cercle dit osculateur en ce point. Ce cercle osculateur est le cercle tangent à la trajectoire en ce point qui se rapproche le plus de cette trajectoire autour de ce point.

Dans le cas du mouvement rectiligne, le rayon de courbure R tend vers l'infini, et donc l'accélération normale est évidemment nulle.

Dans le cas d'un mouvement circulaire le rayon de courbure R est constant et correspond au rayon de la trajectoire. Si le mouvement est en plus uniforme, la composante tangentielle est nulle, et l'accélération est purement normale[alpha 1].

Un solide, indéformable ou déformable, peut être décrit comme un ensemble de points ; on note Σ le domaine spatial (volume) occupé par le solide, et ${\displaystyle \rho (M)}$ la fonction de masse volumique en un point M. On peut définir un vecteur accélération en chaque point, et ainsi un champ de vecteurs accélération ${\displaystyle {\vec {a}}(\mathrm {M} )}$.

Dans le cas d'un solide indéformable, si l'on connaît l'accélération en un point A et le vecteur vitesse angulaire ${\displaystyle {\vec {\Omega }}}$ du solide, on peut déterminer l'accélération en tout point B par la « loi de distribution des accélérations dans un solide indéformable », ou formule de Rivals[3] :

${\displaystyle {\vec {a}}(\mathrm {B} )={\vec {a}}(\mathrm {A} )+{\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\frac {\mathrm {d} {\vec {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}+({\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {\mathrm {BA} }})\wedge {\vec {\Omega }}}$

Ceci montre que le champ des accélérations n'est pas un torseur.

Toutefois, à partir de ce champ, on peut définir le moment dynamique par rapport à un point A du solide

${\displaystyle {\vec {\delta }}_{\mathrm {A} }=\iiint _{\Sigma }{\overrightarrow {\mathrm {AM} }}\wedge {\vec {a}}(\mathrm {M} )\cdot \rho (\mathrm {M} )\cdot \mathrm {dV} }$

Ce moment dynamique est un champ équiprojectif (dans tous les cas, même si le solide est déformable), c'est donc un torseur, appelé « torseur dynamique ». Sa résultante est la quantité d'accélération :

${\displaystyle {\vec {\mathcal {A}}}(\mathrm {S/R} )=\iiint _{\mathrm {S} }{{\vec {\Gamma }}(\mathrm {M} ,\mathrm {S/R} )\rho (\mathrm {M} )\mathrm {dV} }}$

Les lois de mouvement d'un corps sont la détermination de la position en fonction du temps ${\displaystyle x(t)}$, de la vitesse instantanée en fonction du temps ${\displaystyle v(t)}$ et de l'accélération instantanée en fonction du temps ${\displaystyle a(t)}$, les trois grandeurs étant des grandeurs vectorielles. Comme nous l'avons vu précédemment, le passage d'une grandeur à l'autre se fait par dérivation ou bien résolution d'une équation différentielle (ou, dans les cas simples, intégration). Ceci est le domaine de la cinématique.

Si ${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {0}}}$ alors ${\displaystyle {\vec {v}}={\overrightarrow {\mathrm {cte} }}}$ et le mouvement du point matériel est rectiligne et uniforme dans (R).

On peut simplifier l'étude en posant l'axe x comme étant l'axe du vecteur vitesse, si celui-ci est non nul.

Le mouvement du point matériel est alors complètement décrit par la seule donnée de x(t), et l'on a les équations de mouvement :

${\displaystyle {\begin{aligned}a(t)=0\\v(t)=v_{0}\quad ({\textrm {constante}})\\x(t)=x_{0}+v_{0}\times t\end{aligned}}}$

où x₀ est l'abscisse initiale : x₀=x(t=0). Notons que si ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {0}}}$, alors le point est immobile dans le référentiel.

Si la direction et la valeur de ${\displaystyle {\vec {a}}}$ sont constantes, le mouvement est dit uniformément accéléré. On note

${\displaystyle {\vec {a}}(t)={\vec {a}}_{0}}$ (constante).

MRUA : chute libre d'une balle sans vitesse initiale (unité arbitraire): un objet en chute libre depuis une position fixe parcourt une distance proportionnelle au carré du temps écoulé.

Si ${\displaystyle {\vec {v}}}$ et ${\displaystyle {\vec {a}}}$ sont colinéaires, alors le mouvement est rectiligne (MRUA : mouvement rectiligne uniformément accéléré). On peut simplifier l'étude en posant l'axe x comme étant l'axe commun de l'accélération et du vecteur vitesse. Le mouvement du point matériel est alors complètement décrit par la seule donnée de x(t), et l'on peut exprimer l'accélération comme étant un scalaire :

${\displaystyle a={\ddot {x}}.}$

On établit que[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}a(t)=a_{0}\\v(t)=v_{0}+a_{0}\times t\\x(t)=x_{0}+v_{0}\times t+{\frac {1}{2}}a_{0}\times t^{2}\end{aligned}}}$

où

• ${\displaystyle x_{0}}$ est l'abscisse initiale : ${\displaystyle x_{0}=x(t=0)}$ ;
• ${\displaystyle v_{0}}$ est la vitesse initiale : ${\displaystyle v_{0}=v(t=0)}$.

De ceci, on peut également déduire la formule suivante :

${\displaystyle x=x_{0}+{\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}}$

Par exemple, afin de déterminer la hauteur d'un pont, on lâche une pierre depuis le haut du pont. Si celle-ci met ${\displaystyle \Delta t=2{,}5s}$ secondes pour atteindre le sol, quelle est la hauteur du pont ?

Sachant que l'accélération vaut ${\displaystyle a_{0}=g=9{,}81m.s^{-2}}$ et ${\displaystyle v_{0}=0}$ (lâcher sans vitesse initiale), la réponse est :

${\displaystyle h=x(\Delta t)={\frac {1}{2}}g(\Delta t)^{2}=30,7\,m}$.

On a choisi arbitrairement ${\displaystyle x_{0}=0}$.

Autre exemple : une voiture a un mouvement rectiligne uniformément accéléré, l'accélération valant 5,6 m/s². Quelle distance a-t-elle parcouru lorsqu'elle atteint la vitesse de 100 km/h, départ arrêté ?

On a :

• ${\displaystyle v_{0}=0}$ (départ arrêté) ;
• ${\displaystyle v=100\ km.h^{-1}=27{,}8\ m.s^{-1}}$;

donc, la distance ${\displaystyle d}$ parcourue vaut :

${\displaystyle d=x-x_{0}={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}={\frac {27,8^{2}}{2\times 5,6}}=69\ \mathrm {m} }$.

Dans le cas le plus général, la trajectoire d'un point matériel en mouvement uniformément accéléré est plane et correspond à un arc de parabole.

Le cas typique est celui de la chute libre d'un corps dans le champ de pesanteur, lorsque l'on néglige le frottement de l'air. Il est important de souligner que la constance de ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ne préjuge en rien de la forme de la trajectoire, qui dépend en fait des conditions initiales.

Chute libre.

Si nous considérons que :

• l'accélération a₀ est orientée selon l'axe des z
• le vecteur vitesse initial v₀ fait un angle α avec l'axe des x
• les coordonnées initiales du point sont (x₀ ; y₀ ; z₀)

alors les lois de mouvement sont (voir la démonstration sur l'article Trajectoire parabolique) :

${\displaystyle {\begin{cases}a_{x}=0\\a_{y}=0\\a_{z}=-a_{0}\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}v_{x}=v_{0}\cdot \cos \alpha \\v_{y}=0\\v_{z}=v_{0}\cdot \sin \alpha -a_{0}t\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+(v_{0}\cdot \cos \alpha )t\\y=y_{0}\\z=z_{0}+(v_{0}\cdot \sin \alpha )t-{\frac {1}{2}}a_{0}t^{2}\end{cases}}}$

Pour une vitesse initiale ${\displaystyle v_{0}}$ non nulle, un angle α ≠ π/2 + kπ et des coordonnées initiales à l'origine (x₀ = y₀ = z₀ = 0), on en déduit que :

${\displaystyle z=-{\frac {a_{0}}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }}x^{2}+(\tan \alpha )x}$

qui est l'équation d'une parabole. Si ${\displaystyle v_{0}=0}$ ou si α = π/2 + kπ, on se retrouve dans le cas précédent du MRUA d'axe z.

Lorsque la droite portant le vecteur accélération passe toujours par un même point, on parle de mouvement à accélération centrale. Un cas particulier important de ce type de mouvement, où la force causant l'accélération est de type newtonien, est donné par le mouvement képlérien, qui décrit le mouvement des planètes autour du Soleil[alpha 2].

Un cas particulier simple est celui du mouvement circulaire uniforme : le point matériel est soumis à une accélération centripète valant (voir la section Expression dans un repère de Frenet ci-dessus) :

${\displaystyle a_{\mathrm {N} }={\frac {v^{2}}{\mathrm {R} }}=\mathrm {R} \omega ^{2}}$

où R est le rayon de la trajectoire et ω est la vitesse angulaire.

Par exemple, une voiture roulant à une vitesse uniforme de 30 km/h (8,33 m/s) sur un rond-point de diamètre de 30 m (R = 15 m) subit une accélération valant

a_N = 8,33²/15 = 4,63 m/s² = 0,43 g.

Dans la figure du bas, l'accélération normale due à la courbure de la trajectoire de l'avion crée une sensation similaire à une augmentation de la pesanteur.

Au voisinage de la Terre, tout corps doté d'une masse subit dans le référentiel terrestre[alpha 4] une force appelée poids. Pour l'essentiel, celle-ci correspond à la force de gravitation exercée par la Terre sur le corps, ce qui fait que le poids et la force de gravitation sont souvent confondus. À ceci s'ajoutent deux effets, celui de la rotation de la Terre sur elle-même, dépendant donc de la latitude du lieu, et dans une bien moindre mesure celui de l'influence des forces de gravitation exercées par les autres astres (termes de marée)[alpha 5]. Cette notion se généralise sans difficulté à un astre quelconque, au voisinage de celui-ci et dans un référentiel qui lui est lié.

Le poids s'exprime sous la forme du produit de la masse[alpha 6] du corps par une accélération ${\displaystyle {\vec {g}}}$, appelée pesanteur[alpha 7], soit

${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}=m{\vec {g}}}$.

La valeur de ${\displaystyle {\vec {g}}}$ dépend du lieu considéré : la pesanteur constitue donc un champ d'accélération, qui peut être considéré comme uniforme au voisinage d'un lieu donné, pour de faibles variations d'altitude[alpha 8].

La direction de ${\displaystyle {\vec {g}}}$ en un lieu donné de la surface de la Terre correspond par définition à la verticale de ce lieu. Cette propriété est utilisée par le fil à plomb. Le sens de ${\displaystyle {\vec {g}}}$ est par définition, le bas. À la surface de la Terre la valeur de moyenne de g est :

g = 9,806 65 m/s²

Dans le cas d'une masse qui n'est soumise qu'à cette seule force, lors du mouvement qui par définition est appelé la chute libre[alpha 9], et du fait de l'identité de la masse grave et de la masse inerte, tous les corps en chute libre, quelles que soient leurs masses, subissent (en un lieu donné) la même accélération. Par suite, si deux corps de masses différentes, par exemple une plume et une masselotte de plomb, sont lâchés au même moment de la même hauteur, ils arriveront à terre au même moment, à condition de s'abstraire de la résistance de l'air. En pratique cette expérience devra être faite dans un tube où le vide a été fait, ou sur un astre pratiquement dépourvu d'atmosphère comme la Lune.

Par suite, et bien qu'en toute rigueur la pesanteur en tant que champ d'accélération corresponde à une notion cinématique, elle possède un lien direct avec la notion dynamique de poids, et tout se passe « comme si » un corps laissé « libre » dans ce champ de pesanteur « acquiert » l'accélération ${\displaystyle {\vec {g}}}$[alpha 10].

À partir du constat que masse grave et masse inerte ne peuvent être distinguées fonctionnellement, la relativité générale postule, sous le nom de principe d'équivalence, que la force de gravitation ne se distingue pas localement (c'est-à-dire si l'on considère uniquement un point) d'une accélération. Il est important sur le plan conceptuel de connaître cette équivalence, beaucoup de physiciens utilisant pour cette raison, en abrégé, le terme accélération pour désigner indifféremment une modification de vitesse ou la présence dans un champ de gravité, même en l'absence apparente (dans l'espace 3D) de mouvement.

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Accélération instantanée » (voir la liste des auteurs).

: document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• Michel Combarnous, Didier Desjardins et Christophe Bacon, Mécanique des solides et des systèmes de solides, Dunod, coll. « Sciences sup », 2004, 3^e éd. (ISBN 978-2-10-048501-7), p. 25, 35-37, 38-40, 99-103
• Jean-Louis Fanchon, Guide de mécanique, Nathan, 2001 (ISBN 978-2-09-178965-1), p. 134-135, 143-145, 153-154, 166-168, 180-181, 193-194