Champ équiprojectif
Dans un espace affine euclidien
, un champ de vecteurs
est équiprojectif[1] si :

où
désigne le produit scalaire.
Il existe alors un endomorphisme antisymétrique
tel que :
.
Cette notion est utilisée en physique, voir Équiprojectivité en physique.
Démonstration de l'existence de l'endomorphisme
Antisymétrie
Soit
un point arbitraire de
. Pour tout vecteur
, il existe un unique point
tel que
et on définit
par
.
Montrons que, pour tous vecteurs
et
, on a :

ce qui prouve l'antisymétrie de
[2].
On a en effet :

en utilisant l'équiprojectivité du champ 


en utilisant de nouveau l'équiprojectivité.
Si on échange les rôles de
et
, on obtiendra :

On obtient bien :

Linéarité
On déduit de l'antisymétrie que
est linéaire. En effet, pour tout
,
,
, on a :

Cette égalité étant vraie pour tout
, on en déduit que :

On procède de même pour montrer que :

Cas de la dimension 3, torseur
Dans une base orthonormée directe,
, étant un endomorphisme antisymétrique, possède une matrice antisymétrique[1]
Si on nomme
le vecteur de composantes
, alors la matrice précédente est celle de l'application
.
On a donc
et donc

est le champ des moments d'un torseur de résultante
.
Exemple
L'exemple typique de champ équiprojectif en dimension 3 est le champ des vitesses d'un solide en mouvement. En effet, si
et
sont deux points du solide, et si on note
la distance entre
et
, on a :

et en dérivant par rapport au temps :

où
désigne la vitesse en un point.
Le champ des vitesses est donc un torseur. Le vecteur
s'appelle vecteur instantané de rotation.
Notes et références
Voir aussi
Bibliographie
- E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, Algèbre et applications à la géométrie, Paris/New York/Barcelone/1987, Masson, coll. « Cours de mathématiques spéciales » (no 2), , 297 p. (ISBN 2-225-63404-1), chap. 8 (« Les torseurs »), p. 276-294
Articles connexes
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