Nombre négatif

La première apparition connue des nombres négatifs est dans Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique (Jiǔzhāng Suànshù), dont les versions qui nous sont parvenues datent du début de la dynastie Han (II^e siècle av. J.-C.), sans qu'on puisse dater les versions originales, sans doute plus anciennes[2]. Les Neuf Chapitres utilise des bâtons de numération rouges pour les nombres positifs et des noirs pour les négatifs[3] - [4]. Cela permettait aux Chinois de résoudre un système d'équations linéaires à coefficients négatifs.

En Inde, on formule des règles cohérentes pour les travailler[5], et on comprend leur signification (en même temps que celui du zéro) dans des situations telle que les emprunts et dettes[6], ainsi qu'en atteste le Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta (VII^e siècle), mais ces concepts peuvent être antérieurs[7]. Brahmagupta utilise les nombres négatifs dans l'équation du second degré et sa solution ; son vocabulaire est celui du commerce (un nombre négatif est une dette, un nombre positif une richesse).

Les concepts indiens se diffusent lentement vers l'ouest ; vers l'an 1000, les mathématiciens arabo-musulmans comme Abu l-Wafa utilisent couramment le zéro et les nombres négatifs (pour représenter des dettes, encore), et l'Occident entre en contact avec ces concepts[6].

Cependant la notion de quantité négative reste longtemps choquante ; lorsque des nombres négatifs apparaissent on les considère comme « absurdes » ou faux. Par exemple Diophante (III^e siècle), à propos de l'équation 4x + 20 = 0, dont la solution est −5, dit qu'elle est « absurde ». En Inde, Bhāskara II (XII^e siècle) utilise les nombres négatifs mais rejette les solutions négatives de l'équation quadratique ; il les considère comme inadéquates et impossibles à interpréter. On fera de même en Occident au moins jusqu'au XVIII^e siècle[8]. On s'autorise néanmoins à s'en servir, quitte à les appeler « absurdes » comme Nicolas Chuquet (XV^e siècle) qui s'en sert comme exposant.

Les mathématiciens occidentaux résistent au concept, sauf dans le contexte commercial (toujours) où on peut les interpréter comme des dettes (Fibonacci, chapitre 13 de Liber Abaci, 1202) ou des pertes (Fibonacci, Flos, 1225).

Les nombres négatifs acquièrent progressivement droit de cité au cours du XIX^e siècle, pour n'être véritablement acceptés qu'au XX^e siècle[8].

Lorsqu'on parle de nombres positifs ou négatifs, le nombre zéro est souvent exclu. Le dictionnaire Lexis[9] précise : « Les nombres négatifs, les nombres positifs et le zéro forment l'ensemble des nombres relatifs ». L'Académie française, dans la neuvième édition de son Dictionnaire, précise quant à elle qu'un nombre négatif est « inférieur à zéro et précédé du signe – ». Pour certains auteurs cependant[10] - [11] - [12], les adjectifs « positif » et « négatif » sont pris au sens large, c'est-à-dire que zéro est inclus ; zéro est donc, selon cette acception, un nombre (le seul) à la fois positif et négatif[13]. Lorsqu'un nombre est négatif et non nul, on peut préciser, afin d'éviter toute confusion, qu'il est strictement négatif.

Les entiers négatifs peuvent être regardés comme une extension des entiers naturels, telle que l'équation x − y = z ait une solution significative pour toutes les valeurs de x et y ; l'ensemble des entiers positifs ou négatifs s'appelle l'ensemble des entiers relatifs. Les autres ensembles de nombres peuvent être alors construits, comme des extensions progressivement plus élaborées ou comme des généralisations à partir des entiers.

• L'ensemble des entiers relatifs négatifs est habituellement noté ${\displaystyle \mathbb {Z} _{-}}$ ;
• l'ensemble des entiers relatifs strictement négatifs est habituellement noté ${\displaystyle \mathbb {Z} _{-}^{*}}$ ;
• l'ensemble des nombres rationnels négatifs est habituellement noté ${\displaystyle \mathbb {Q} _{-}}$ ;
• l'ensemble des nombres rationnels strictement négatifs est habituellement noté ${\displaystyle \mathbb {Q} _{-}^{*}}$ ;
• l'ensemble des nombres réels négatifs est habituellement noté ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}}$ ;
• l'ensemble des nombres réels strictement négatifs est habituellement noté ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}^{*}}$.

Un nombre négatif est écrit sans espace séparateur après le signe moins.

En comptabilité, on représente un nombre négatif par un nombre écrit en rouge, ou par un nombre entre parenthèses.

• Signe (arithmétique)
• Signes plus et moins