Multiplication

Multiplier un entier par un autre c'est ajouter cet entier à lui-même plusieurs fois. Ainsi multiplier 6 par 4 c'est calculer 6 + 6 + 6 + 6, le résultat de 6 × 4 se dit 4 fois 6 (comme dans 4 fois le nombre 6) ou 6 multiplié par 4. On appelle le produit de 6 par 4 le résultat de cette opération. Dans cette multiplication, 6 est appelé le multiplicande car c'est lui qui est répété et 4 est appelé le multiplicateur car il indique combien de fois 6 doit être répété.

Cependant, le fait que 4 fois 6 soit égal à 6 fois 4, rend cette distinction peu nécessaire, et les deux nombres sont appelés facteurs du produit. Celui-ci est noté 6 × 4 — qui se lit indifféremment « quatre fois six » ou « six multiplié par quatre »[2] — ou 4 × 6. Dans les livres scolaires d'arithmétique des deux derniers siècles, on lisait plutôt de la seconde manière à l'origine. "Fois" était ressenti comme moins précis (comme "et" pour l'addition).

Il n'est pas efficace, à long terme, de voir la multiplication comme une addition répétée. Il est donc nécessaire d'apprendre le résultat de la multiplication de tous les entiers de 1 à 9. C'est l'objet de la table de multiplication.

La multiplication dans les entiers vérifie les propriétés suivantes :

• on peut changer l'ordre des facteurs sans changer le résultat final : a × b = b × a. On dit que la multiplication est commutative ;
• quand on doit multiplier trois nombres entre eux, on peut, au choix, multiplier les deux premiers et multiplier le résultat obtenu par le troisième facteur ou bien multiplier entre eux les deux derniers puis multiplier le résultat par le premier nombre : (a × b) × c = a × (b × c). On dit que la multiplication est associative ;
• quand on doit multiplier une somme (ou une différence) par un nombre, on peut, au choix, calculer d'abord la somme et multiplier le résultat par le nombre ou bien, multiplier d'abord chaque terme de la somme par ce nombre et ensuite effectuer la somme : (a + b) × c = (a × c) + (b × c). On dit que la multiplication est distributive pour l'addition car on a distribué c aux deux termes de la somme.

Les parenthèses indiquent l'ordre dans lequel les opérations doivent être effectuées. En pratique, pour éviter de traîner trop de parenthèses, on utilise, par convention, la règle de priorité suivante : les multiplications s'effectuent toujours avant les additions. Ainsi, dans l'écriture 4 + 5 × 2, il faut lire 4 + (5 × 2), c'est-à-dire 4 + 10 = 14 et non (4 + 5) × 2 qui aurait valu 18.

${\displaystyle 4+5\times 2=4+(5\times 2)=4+10=14,}$

${\displaystyle (4+5)\times 2=9\times 2=18\neq 4+5\times 2.}$

Cette règle s'appelle une priorité opératoire.

La dernière propriété a trait aux comparaisons. Si deux nombres sont rangés dans un certain ordre et qu'on les multiplie par le même nombre strictement positif, les résultats seront rangés dans le même ordre. Si a < b alors a × c < b × c. On dit que la multiplication par des entiers positifs est compatible avec l'ordre.

Le symbole utilisé pour la multiplication est la croix × (a × b) mais on trouve aussi, dans des calculs avec des lettres le point ${\displaystyle \cdot }$ (a ${\displaystyle \cdot }$ b) ou même rien (ab) s'il n'y a pas d'ambiguïté possible.

Il existe deux opérations un peu particulières :

• la multiplication par 1 qui ne change pas le facteur : 1 × a = a × 1 = a. On dit que 1 est un élément neutre pour la multiplication ;
• la multiplication par 0 qui donne toujours 0 : 0 × a = a × 0 = 0. on dit que 0 est un élément absorbant pour la multiplication.

Pour multiplier entre eux des nombres décimaux, on utilise le fait que les produits peuvent être effectués dans n'importe quel ordre. Si l'on cherche à multiplier, par exemple, 43,1 par 1,215, on effectue les remarques suivantes

${\displaystyle {\begin{aligned}43,1\times 1,215&=\left(431\times {\frac {1}{10}}\right)\times \left(1\;215\times {\frac {1}{1\;000}}\right)\\&=(431\times 1\;215)\times \left({\frac {1}{10}}\times {\frac {1}{1\;000}}\right)\\&=(431\times 1\;215)\times {\frac {1}{10\;000}}.\end{aligned}}}$

De là naît la règle : pour multiplier entre eux deux décimaux, on compte le nombre de chiffres situés après la virgule dans les deux nombres et on en fait la somme. On effectue ensuite le produit, sans tenir compte de la virgule. Enfin, on place la virgule dans le résultat final en laissant à droite autant de chiffres que la somme que l'on a obtenue précédemment.

3,15 × 1,2 = ? (on compte 3 chiffres après la virgule, 2 dans le premier nombre et 1 dans le second nombre)

315 × 12 = 630 × 6 = 3 780

3,15 × 1,2= 3,780 = 3,78.

Cette règle fonctionne car le calcul « sans tenir compte de la virgule » revient à multipler 3,15 par 100, pour obtenir 315 et multiplier 1,2 par 10 pour obtenir 12. Ces multiplications doivent être compensées à la fin du calcul par la multiplication inverse, donc une division, par 100 et par 10 : 3 780 devient alors 378 puis 3,78, donnant le résultat de l’opération demandée.

Illustration de la multiplication dans les nombres négatifs. Dans la zone bleue, le produit est positif, dans la zone rouge le produit est négatif

Illustration de la multiplication de nombres relatifs sur la droite numérique. Une multiplication par un nombre négatif peut être vue comme un changement de sens du vecteur de norme égale à la valeur absolue du produit des facteurs.

On peut voir le produit 4 fois (–6) comme la somme de (–6) répété 4 fois soit (–6) + (–6) + (–6) + (–6) = –24.

On peut aussi voir le produit (–4) fois (6) comme un nombre 6 que l'on ôte 4 fois. Ainsi, faire le produit de (–4) fois 6 c'est ôter 24, que l'on écrit (–4) × 6 = –24.

Enfin, on peut voir le produit (–4) fois (–6) comme le nombre (–6) que l'on enlève 4 fois, il s'agit donc d'enlever –24. Enlever –24 consiste à ajouter 24 donc (–4) × (–6) = 24.

Ces exemples expliquent la règle concernant les nombres ayant un signe. Pour effectuer le produit de deux nombres signés, on effectue le produit de leurs valeurs absolues et on affecte au résultat le signe – si les signes des deux facteurs sont différents, et le signe plus (+) si les deux facteurs ont même signe.

Ces règles se résument ainsi

moins par moins égale plus

moins par plus égale moins

plus par moins égale moins

plus par plus égale plus

La multiplication dans les entiers relatifs possède les mêmes propriétés que la multiplication dans les entiers naturels (elle est commutative, associative, distributive pour l'addition) à une exception près : elle ne conserve pas toujours l'ordre : si deux nombres sont rangés dans un certain ordre et si on les multiplie par un entier strictement positif, l'ordre est conservé

–2 < 3 et (–2) × 4 < 3 × 4

mais si on le multiplie par un nombre strictement négatif, l'ordre est inversé

(–2) < 3 et (–2) × (–4) > 3 × (–4).

Multiplier entre elles deux fractions, c'est multiplier entre eux les numérateurs et les dénominateurs :

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {a\times c}{b\times d}}.}$

Dans l'ensemble ℚ des nombres rationnels, la multiplication conserve les propriétés déjà énoncées avec la même difficulté concernant l'ordre et la multiplication par un nombre négatif.

C'est une généralisation de la multiplication précédente. Elle conserve les mêmes propriétés.

L'inverse d'un nombre pour la multiplication est le nombre par lequel il faut le multiplier pour obtenir 1.

Par exemple :

• l'inverse de 10 est 0,1 car 10 × 0,1 = 1 ;
• l'inverse de 2 est 0,5 car 2 × 0,5 = 1 ;
• l'inverse de ³⁄₄ est ⁴⁄₃ car ³⁄₄ × ⁴⁄₃ = ¹²⁄₁₂ = 1.

L'inverse du nombre a est noté ¹⁄_a ou encore a⁻¹.

Ainsi :

• l'inverse de π est noté ¹⁄_π ;
• l'inverse de 2 est noté ¹⁄₂ = 0,5.

Selon les ensembles de nombres, on ne trouve pas toujours un inverse dans l'ensemble :

• dans l'ensemble des entiers, seuls 1 et –1 possèdent des inverses ;
• quel que soit l'ensemble de nombres vérifiant 0 ≠ 1, 0 ne possède pas d'inverse car 0 multiplié par a donne toujours 0 et jamais 1 ;
• dans l'ensemble des rationnels et dans l'ensemble des réels, tous les nombres, sauf 0, possèdent un inverse.

La quatrième opération des mathématiques élémentaires, la division peut alors être vue comme une multiplication par l'inverse.

On dit qu'un nombre a est multiple d'un nombre b s'il est le résultat de la multiplication de b par un entier (naturel ou relatif)

a est multiple de b si et seulement s'il existe un entier relatif k tel que a = k × b

Lorsque a et b sont des entiers, on dit aussi que a est divisible par b.

Dans l'ensemble des nombres rationnels, et dans l'ensemble des nombres réels, on retrouve les propriétés suivantes pour la multiplication :

Ces propriétés associées à celles que possède l'addition sur ces ensembles font de ℝ et ℚ, munis de l'addition et de la multiplication, des ensembles spéciaux appelés des corps ordonnés.