Élément absorbant

• Dans un magma ${\displaystyle (E,\star )}$, l'élément absorbant, s'il existe :
  • est unique : si ${\displaystyle a_{1}}$ et ${\displaystyle a_{2}}$ sont deux éléments absorbants, ${\displaystyle a_{1}=a_{1}\star a_{2}=a_{2}}$ ;
  • est idempotent : si ${\displaystyle a}$ est absorbant, ${\displaystyle a\star a=a}$.
• Si un magma a un élément absorbant à gauche et un élément absorbant à droite, ces deux éléments sont égaux et le magma a un élément absorbant. En effet, si ${\displaystyle a_{1}}$ est absorbant à gauche et ${\displaystyle a_{2}}$ absorbant à droite, alors ${\displaystyle a_{1}=a_{1}\star a_{2}=a_{2}}$.
• Plusieurs éléments absorbants à gauche ou à droite peuvent exister dans un magma donné, mais s'il existe plus d'un élément absorbant à gauche, il n'en existe aucun à droite. En effet, supposons ${\displaystyle a_{1}}$ et ${\displaystyle a_{2}}$ deux éléments absorbants à gauche, et ${\displaystyle b}$ un élément absorbant à droite: ${\displaystyle a_{1}=a_{1}\star b=b=a_{2}\star b=a_{2}}$. Par symétrie, s'il existe plus d'un élément absorbant à droite, il n'en existe aucun à gauche.

Dans un anneau (A, +, ×), l'élément neutre 0 de + est absorbant pour ×.

En effet, comme l'élément nul 0 est l'élément neutre de l'addition : 0 = 0 + 0.

Ainsi, pour tout élément a de l'anneau A, a×0 = a×(0 + 0).

Par distributivité de la loi × sur la loi +, a×(0 + 0) = a×0 + a×0,

si bien que a×0 = a×0 + a×0, donc (puisque + est régulière, comme toute loi de groupe)

• a×0 = 0

et (de même) :

• 0×a = 0.