Élément neutre

Soit ${\displaystyle (E,\star )}$ un magma. Un élément ${\displaystyle e}$ de ${\displaystyle E}$ est dit :

• neutre à gauche si ${\displaystyle \forall x\in E,\ e\star x=x}$ ;
• neutre à droite si ${\displaystyle \forall x\in E,\ x\star e=x}$ ;
• neutre s'il est neutre à droite et à gauche.

Un élément neutre est relatif à la loi considérée :

• 0 est l'élément neutre de l’addition arithmétique, ainsi que du « ou » binaire ;
• 1 est l'élément neutre de la multiplication arithmétique, ainsi que du « et » binaire ;
• La matrice unité d'ordre n est l'élément neutre de la multiplication des matrices carrées d'ordre n ;
• Le mot vide est l'élément neutre de la concaténation des chaînes de caractères.

• Il est possible que l'élément neutre à gauche (resp. à droite) ne soit pas unique. Par exemple, considérons un ensemble E contenant au moins deux éléments. On peut définir une loi G sur E par la formule G(x, y) = x et une loi D par la formule D(x, y) = y. Pour la loi G, tout élément est neutre à droite et aucun n'est neutre à gauche. Pour la loi D, tout élément est neutre à gauche et aucun n'est neutre à droite.
• En revanche, s'il existe un élément neutre à gauche et un élément neutre à droite, alors l'ensemble admet un unique élément neutre et en outre, tout élément neutre à gauche (resp. à droite) lui est égal. En effet, pour tous éléments e_g neutre à gauche et e_d neutre à droite, on a : e_d = e_ge_d = e_g.
  Dans cette situation — en particulier lorsque G est un groupe[2] - [3] - [4] —, l'unique élément neutre de G est couramment appelé le neutre de G.
• Dans un groupe, le neutre est le seul élément idempotent, c'est-à-dire le seul élément x tel que x x = x.