Disjonction logique

En théorie de la démonstration, plus particulièrement dans la déduction naturelle et le calcul des séquents, la disjonction est régie par des règles d'introduction et des règles d'élimination.

La disjonction s'écrit : P ∨ Q et se lit « P ou Q »Le symbole « ∨ » s'appelle connecteur de disjonction.

La table de vérité d’une disjonction est donnée par le tableau suivant :

Note : Boole, par analogie étroite avec les mathématiques ordinaires, imposa dans la définition de x + y, la condition d'exclusion mutuelle de x et y. William Jevons, et pratiquement tous les logiciens en mathématiques qui lui succédèrent, préconisèrent pour diverses raisons l'emploi d'une définition de la somme logique ne rendant pas obligatoire l'exclusion mutuelle.

La disjonction que nous avons décrite est un opérateur binaire, ce qui signifie qu'elle combine deux propositions en une seule. Cependant, nous pouvons enchaîner des disjonctions, en considérant par exemple A ∨ B ∨ C, qui est par définition l'une ou l'autre des deux propositions logiquement équivalentes (A ∨ B) ∨ C ou A ∨ (B ∨ C). Cette proposition est vraie quand l'une des propositions A, B, ou C est vraie. L'enchaînement des conjonctions est rendu possible grâce à l'associativité du ∨. L'opérateur est également commutatif ; A ∨ B est équivalent à B ∨ A.

Soient P, Q et R trois propositions.

Idempotence du « ou » :

(P ∨ P) ⇔ P

Commutativité du « ou » :

(P ∨ Q) ⇔ (Q ∨ P)

Associativité du « ou » :

((P ∨ Q) ∨ R) ⇔ (P ∨ (Q ∨ R))

La négation d'une disjonction est la conjonction des négations : [2]

¬ (P ∨ Q) ⇔ ((¬ P) ∧ (¬ Q))

La négation d'une conjonction est la disjonction des négations : [3]

¬ (P ∧ Q) ⇔ ((¬ P) ∨ (¬ Q))

Distributivité de « ou » par rapport à « et » :

(P ∨ (Q ∧ R)) ⇔ ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ R))

Distributivité de « et » par rapport à « ou » :

(P ∧ (Q ∨ R)) ⇔ ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ R))

La notion correspondante en théorie des ensembles est la réunion.

On trouve parfois l'expression « et/ou ». C'est un barbarisme, dont le sens est exactement le même que la conjonction de coordination « ou » toute seule (« l'un ou l'autre ou les deux ») qu'il faut préférer[4].

Dans le langage courant, « l'un ou l'autre, mais pas les deux » sera rendu par la locution « ou bien ». En logique cela s'appelle la disjonction exclusive ou le ou exclusif, par opposition à « ou » qui s'appelle aussi la disjonction inclusive ou le ou inclusif. Cependant, si le contexte est sans ambiguïté, par exemple lorsque nous demandons « prendrez-vous du café ou du thé ? » — on suppose que la personne sollicitée ne prendra pas les deux —, il arrive que « ou » indique une alternative et possède le même sens que « ou bien ». De même avec « fromage ou dessert », le contexte du restaurant sous-entend que l'on ne peut pas avoir les deux.