Table de vérité

Les quatre tables de vérité présentées ci-dessous permettent de définir les connecteurs logiques et, ou, ou exclusif et implication en mathématiques, ou les portes logiques correspondantes en électronique.

Par exemple, en langage électronique, nous devons avoir les deux entrées à 1 pour que la sortie de la porte logique ET soit activée ; alors que la porte logique OU n'a besoin que d'une des entrées à 1 pour afficher un 1 à la sortie ; ou encore nous devons avoir a et b ayant la même entrée ou que a soit FAUX et b soit VRAI pour avoir un 1 en sortie pour la porte logique de l'implication.

Le '∧' se lit et, le '∨' se lit ou.

Les 3 premières colonnes de ce tableau fournissent les valeurs de vérité de a, b et c (par ex. des propositions logiques en mathématiques, ou des états logiques en électronique).

La 4ème colonne fournit les valeurs de vérité de : b ou c.

La 5ème colonne fournit les valeurs de vérité de : a et (b ou c).

L'identité logique est une opération appliquée à un énoncé logique — typiquement une proposition (p) — afin d'en établir la valeur de vérité : vraie dans le cas où l'opérande est vrai, et fausse lorsqu'il est faux.

La négation logique est une opération qui inverse la valeur de l'opérande auquel elle est appliquée : il prend valeur de faux lorsqu'il est vrai, et de vrai lorsqu'il est faux. L'opérateur de la négation est symbolisé par les signes « ¬ » ou « ~ ».

Une conjonction logique est une opération logique sur deux valeurs de vérité, typiquement les valeurs de deux propositions, qui produit une valeur vraie si ses deux opérandes sont vrais. La table de vérité pour p et q (aussi noté p ∧ q, Kpq, ou p & q) est la suivante:

Nous pouvons aussi dire que, si p, p ∧ q est q, sinon p ∧ q est égal à p.

Une disjonction logique est une opération logique sur deux valeurs de vérité, typiquement les valeurs de deux propositions, qui produit une valeur vraie si au moins un des opérandes est vrai.

La table de vérité pour p OU q (aussi noté p ∨ q, Apq, p || q ou p + q) est la suivante :

Une implication logique est une opération logique sur deux valeurs de vérité, typiquement les valeurs de deux propositions, qui produit une valeur fausse seulement dans le cas où le premier opérande est vrai, et le second est faux. La table de vérité associée à l'implication si p alors q (aussi noté p → q) et l'implication logique p implique q (aussi noté p ⇒ q, ou encore Cpq) est la suivante :

Il peut également être noté p → q qui équivaut à ¬p ∨ q.

Une équivalence logique (également connue sous le nom de biconditionelle) est une opération logique sur deux valeurs de vérité, typiquement les valeurs de deux propositions, qui produit une valeur vraie si les deux opérandes sont faux ou vrais. La table de vérité pour p XNOR q (écrit aussi p ↔ q, Epq, p = q, ou p ≡ q) est la suivante :

Une disjonction exclusive est une opération logique sur deux valeurs de vérité, typiquement les valeurs de deux propositions, qui produit une valeur vraie si une et une seule des deux des opérandes est une valeur vraie. La table de vérité pour p XOR q (aussi noté p ⊕ q, Jpq, ou p ≠ q) est la suivante:

Pour deux propositions, XOR peut également être noté (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q).

Le NON-ET est une opération logique sur deux valeurs de vérité, typiquement les valeurs de deux propositions, qui produit une valeur fausse si les deux opérandes sont vrais. En d'autres termes, il produit une valeur vraie si au moins un de ses opérandes est faux. La table de vérité de p NAND q (aussi noté p ↑ q, Dpq, ou p | q) est la suivante :

Il est souvent utile d'exprimer une opération logique comme une opération composée, qui est, construite ou composé d'autres opérations logiques. Beaucoup de ces compositions sont possibles, et dépendent des opérations qui sont prises comme base, et les opérations qui sont prises en composite.

La négation d'une conjonction: ¬(p ∧ q), et de la disjonction de négations: (¬p) ∨ (¬q) peuvent être 'totalisées' comme suit:

Le NON-OU logique est une opération logique sur deux valeurs de vérité, typiquement les valeurs de deux propositions, qui produit une valeur vraie si ses deux opérandes sont fausses. En d'autres termes, il produit une valeur fausse, si au moins l'un de ses opérandes est vrai. ↓ est également connu sous le nom de la flêche de Peirce, nom provenant de son inventeur, Charles Sanders Peirce.

La table de vérité de p NOR q (aussi noté p ↓ q, Xpq, ou ¬(p ∨ q)) est la suivante :

La négation d'une disjonction ¬(p ∨ q), et la conjonction de négations (¬p) ∧ (¬q) peuvent être décomposées sous forme de tableau comme suit :

Les premières et les secondes expressions de chaque paire sont logiquement équivalentes, et peuvent être substituées les unes les autres dans tout contextes qui se rapportent uniquement à leurs valeurs logiques.

Cette équivalence est l'une des lois de De Morgan.

Voici une table de vérité donnant la définition des 6 fonctions de vérité les plus couramment utilisée des 16 possibles de 2 variables binaires (P, Q sont ainsi des variables booléennes)[4] :

${\displaystyle P}$	${\displaystyle Q}$	${\displaystyle P\land Q}$	${\displaystyle P\lor Q}$	${\displaystyle P{\underline {\lor }}Q}$	${\displaystyle P{\underline {\land }}Q}$	${\displaystyle P\Rightarrow Q}$	${\displaystyle P\Leftarrow Q}$	${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$
0	0	0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1	0	0
1	0	0	1	1	0	0	1	0
1	1	1	1	0	1	1	1	1

Légende :

1 = vrai, 0 = faux

${\displaystyle \land }$ = ET (conjonction logique)

${\displaystyle \lor }$ = OU (disjonction logique)

${\displaystyle {\underline {\lor }}}$ = XOR (fonction OU exclusif)

${\displaystyle {\underline {\land }}}$ = XNOR (fonction NON-OU exclusif)

${\displaystyle \rightarrow }$ = Implication "si - alors"

${\displaystyle \leftarrow }$ = Implication "(alors) - si"

${\displaystyle \iff }$ biconditionel "si et seulement si" est équivalent logiquement à ${\displaystyle {\underline {\land }}}$.

Les opérateurs logiques peuvent également être représentés à l'aide de diagrammes de Venn.

Pour les opérateurs binaires, une forme condensée de table de vérité est également utilisée où les en-têtes de colonnes et de lignes spécifient les opérandes, et les cellules du tableau précisent le résultat. Par exemple, la logique booléenne utilise cette notation :

Cette notation est particulièrement utile si les opérations sont commutatives. Sa forme est rapidement reconnaissable à partir de la distribution des valeurs dans le tableau, ce qui peut aider le lecteur à saisir les règles plus rapidement.

Tables de vérité en logique numérique

Les tables de vérité sont également utilisées pour spécifier la fonction des tables de correspondance (LUT en anglais) dans les circuits logiques numériques. Pour une LUT à n entrées, la table de vérité aura 2 ^ n valeurs (ou lignes dans le format tabulaire ci-dessus), spécifiant complètement une fonction booléenne pour la LUT. En représentant chaque valeur booléenne sous la forme d'un bit dans un nombre binaire, les valeurs de la table de vérité peuvent être efficacement codées sous forme de valeurs entières dans le logiciel EDA (Electronic Design Automation). Par exemple, un entier 32 bits peut coder la table de vérité pour une LUT avec jusqu'à 5 entrées. Lorsque vous utilisez une représentation entière d'une table de vérité, la valeur de sortie de la LUT peut être obtenue en calculant un indice binaire k sur la base des valeurs d'entrée de la LUT, auquel cas la valeur de sortie de la LUT est le kième bit de l'entier. Les tables de vérité sont un moyen simple et direct d'encoder des fonctions booléennes, mais étant donné la croissance exponentielle de la taille à mesure que le nombre d'entrées augmente, elles ne conviennent pas aux fonctions avec un grand nombre d'entrées. D'autres représentations plus efficaces en mémoire sont les équations de texte et les diagrammes de décision binaires.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Truth table » (voir la liste des auteurs).

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