Système binaire

Le système binaire (du latin binārĭus, « double ») est le système de numération utilisant la base 2. On nomme couramment bit (de l'anglais binary digit, soit « chiffre binaire ») les chiffres de la numération binaire positionnelle. Un bit peut prendre deux valeurs, notées par convention 0 et 1.

Exemple d'informations binaires.

Le système binaire est utile pour représenter le fonctionnement de l'électronique numérique utilisée dans les ordinateurs. Il est donc utilisé par les langages de programmation de bas niveau.

Définition

Page qui décrit le système binaire par Leibniz.

Le système binaire le plus courant est la base deux mathématique, permettant de représenter des nombres à l'aide de la numération de position avec seulement deux chiffres : le 0 et le 1.

Dans ce type de codage, chaque nombre est représenté de façon unique par une suite ordonnée de chiffres. Et chaque position m représente une puissance (m − 1) de la base. Si l'on se limite dans un premier temps aux nombres entiers positifs, en base dix ces puissances sont : un (1), dix (représenté par 10), cent (dix fois dix, représenté par 100), mille (dix fois cent, représenté par 1000), dix mille, etc. En base deux, ces puissances sont : un (1), deux (représenté lui aussi par 10), quatre (deux fois deux, représenté par 100), huit (deux fois quatre, représenté par 1000), seize (deux fois huit, représenté par 10000), etc.

On voit que la signification des représentations 10, 100, 1000, etc. dépend de la base utilisée : 10 est toujours égal à la base, c'est-à-dire dix en base dix, mais deux en base deux.

En base dix, on utilise dix chiffres, de zéro à neuf ; en base n, on utilise n chiffres, de zéro à n – 1 ; donc en base deux on utilise les deux chiffres « 0 » et « 1 ».

Un nombre qui s'exprime en base B par les quatre chiffres 1101 s'analyse :

$1\times B^{3}+1\times B^{2}+0\times B^{1}+1\times B^{0}$ , qui donne :

1101 en base B = 10 :	$1\times 10^{3}$	$+1\times 10^{2}$	$+0\times 10^{1}$	$+1\times 10^{0}$	$=1101$
1101 en base B = 8 :	$1\times 8^{3}$	$+1\times 8^{2}$	$+0\times 8^{1}$	$+1\times 8^{0}$	$=577$
1101 en base B = 2 :	$1\times 2^{3}$	$+1\times 2^{2}$	$+0\times 2^{1}$	$+1\times 2^{0}$	$=13$

Énumération des premiers nombres

Les premiers nombres, et chiffres de la base de numération 10, s'écrivent :

décimal	binaire	commentaire
0	0	zéro
1	1	un = base puissance zéro (valable pour toutes les bases, donc deux et dix)
2	10	deux = deux puissance un (un zéro derrière le 1)
3	11
4	100	quatre = deux puissance deux (deux zéros derrière le 1)
5	101
6	110
7	111
8	1000	huit = deux puissance trois (trois zéros derrière le 1)
9	1001

On donne à chaque bit une puissance de deux, comme cette suite 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Pour obtenir le nombre 7, on additionne les trois premiers bits; pour obtenir 6, on additionne seulement le bit de poids 4 et le bit de poids 2.

Opérations

Les techniques des quatre opérations de base (addition, soustraction, multiplication et division) restent exactement les mêmes qu'en notation décimale ; elles sont juste simplifiées de façon drastique parce qu'il n'y a que les deux chiffres 0 et 1. Pour la multiplication par exemple, quelle que soit la base, la multiplication par 10 (c’est-à-dire par la base elle-même)[1] se fait en ajoutant un zéro à droite.

Seules changent d'une part la forme de la suite de chiffres qui exprime le résultat (elle ne compte que des zéros et un), d'autre part la signification de cette suite (10 signifie « deux » et non « dix », 100 signifie « quatre » et non « cent », etc.).

Addition et soustraction

On passe d'un nombre binaire au suivant en ajoutant 1, comme en décimal, sans oublier les retenues et en utilisant la table ordinaire (mais réduite à sa plus simple expression) :

 0 + 0 = 0    0 + 1 = 1                  1 + 0 = 1   1 + 1 = 0 avec 1 retenue
 0 - 0 = 0    0 - 1 = 1 avec 1 retenue   1 - 0 = 1   1 - 1 = 0

On constate que l'addition de deux bits A et B donne A XOR B avec une retenue valant A ET B.

Ainsi :

   11
+   1
 ____
  100

Détail :

1 + 1 = 10           => on pose 0 et on retient 1
1 + 1(retenue) = 10  => on pose 0 et on retient 1
0 + 1(retenue) = 1   => on pose 1 devant 00

Multiplication et division

Multiplier par deux se fait en décalant chaque chiffre d'un cran à gauche et en insérant un zéro à la fin.
Par exemple, deux fois onze :

 1011 onze
////  décalage et insertion de 0
10110 vingt-deux

La division entière par deux se fait en décalant chaque chiffre d'un cran à droite, le chiffre de droite étant le reste supprimé.
Par exemple onze divisé par deux :

1011 onze
\\\  décalage et suppression du chiffre à droite
 101 cinq reste un

Théorie informatique

L'arithmétique binaire (plus simplement le calcul binaire) est utilisée par les systèmes électroniques les plus courants (calculatrices, ordinateurs, etc.) car les deux chiffres 0 et 1 s'y traduisent par la tension ou le passage d'un courant. Par exemple, le 0 peut être représenté par l'état bas (tension ou courant nul) et 1 par l'état haut (tension qui existe, courant qui passe).

Représentation des entiers négatifs

Pour compléter la représentation des entiers, il faut pouvoir écrire des entiers négatifs. Deux représentations existent, le complément à un et le complément à deux.

Vérifications requises

Avant de coder avec tout complément, il est nécessaire de vérifier le bon nombre de bits est utilisés pour encoder le nombre en tant que nombre binaire signé.

Le nombre de bits est suffisant si et seulement s'il vérifie l'équation où n correspond au nombre de bits et N au nombre à encoder.

$-2^{n-1}\leq N\leq 2^{n-1}-1$

$2^{n-1}-1$ correspond au nombre de caractères possibles (1 est soustrait à 2n puisque l'on compte à partir de 0) tout en réservant un bit pour le signe.

Complément à un

Ce codage consiste à inverser la valeur de chaque bit.
Par exemple pour obtenir −7 :

0111 sept
1000 moins sept

Un défaut de ce système est que zéro a deux représentations : 0000 et 1111 (« +0 » et « −0 »). Il n'est pas utilisé par les ordinateurs courants, mais l'était par des ordinateurs anciens comme le Control Data 6600. Les deux représentations du zéro compliquent les circuits de test.

Complément à deux

Le complément à deux consiste à réaliser un complément à un, puis d'ajouter 1.
Par exemple pour obtenir −7 :

0111 sept
1000 complément à un
1001 complément à deux en ajoutant 1

Ce codage a l'avantage de ne pas nécessiter de différenciation spéciale des nombres positifs et négatifs, et évite en particulier le problème de double représentation du zéro

Voici une addition de −7 et +9 réalisée en complément à deux sur 4 bits :

-7        1001 
+9        1001
__        ____
 2    (1) 0010 (on « ignore » la retenue)

Avec n bits, ce système permet de représenter les nombres entre −2ⁿ⁻¹ et 2ⁿ⁻¹ − 1.

Du binaire vers octal ou hexadécimal

Les bases 8 (octale) et 16 (hexadécimale) sont des bases puissances de la base 2. Ces deux bases sont couramment employées en informatique et pour des raisons pratiques; ces bases étant fortement liées à la base 2 et les nombres écrits dans ces bases étant plus « manipulables » (car d'écriture plus courte) par l'intellect humain. L'écriture de nombres dans ces bases est facilement obtenue par regroupement de chiffres de l'écriture du nombre en base 2.

Octal : base 8 = 2³. Il suffit de parcourir le nombre binaire de la droite vers la gauche en regroupant les chiffres binaires 3 par 3 : chaque paquet de 3 (le dernier devant être parfois complété par des 0 à gauche) est l'écriture binaire d'un chiffre en base 8 (0₈ = 000, 1₈ = 001, 2₈ = 010, 3₈ = 011, 4₈ = 100, 5₈ = 101, 6₈ = 110, 7₈ = 111).
- 10101101110₂ va s'écrire 10 101 101 110 et en convertissant la valeur de chacun des blocs en un chiffre octal, on obtient le nombre octal 2556₈.
Hexadécimal : base 16 = 2⁴. Il suffit de parcourir le nombre binaire de la droite vers la gauche en regroupant les chiffres binaires 4 par 4 : chaque paquet de 4 bits est la représentation binaire d'un chiffre en base 16. En base 16, il faut 16 symboles et conventionnellement, on utilise les 10 chiffres décimaux suivis des 6 premiers caractères de l'alphabet selon la règle suivante: A₁₆ = 10₁₀ = 1010₂, B₁₆ = 11₁₀ = 1011₂, C₁₆ = 12₁₀ = 1100₂, D₁₆ = 13₁₀ = 1101₂, E₁₆ = 14₁₀ = 1110₂ et F₁₆ = 15₁₀ = 1111₂.
- 10101101110₂ va s'écrire 101 0110 1110 et en convertissant la valeur de chacun des blocs en décimal on obtient : 5, 6, 14 c'est-à-dire 56E₁₆.

On pourrait facilement étendre ce principe à toutes les bases qui sont puissances de 2.

Vers le binaire

Il suffit de convertir la valeur de chacun des chiffres sous leur forme binaire en utilisant un nombre de chiffres correspondant à la puissance de la base : 16 = 2⁴, 8 = 2³, donc 4 chiffres pour l'hexadécimal et 3 pour l'octal :

1A2F₁₆ va s'écrire 1 ⇒ 0001, A ⇒ 1010, 2 ⇒ 0010, F ⇒ 1111, soit 0001 1010 0010 1111₂.
156₈ va s'écrire 1 ⇒ 001, 5 ⇒ 101, 6 ⇒ 110, soit 001 101 110₂.

Table des valeurs des groupements de chiffres binaires

Binaire	Décimal	Octal	Hexadécimal
0000	0	0	0
0001	1	1	1
0010	2	2	2
0011	3	3	3
0100	4	4	4
0101	5	5	5
0110	6	6	6
0111	7	7	7

Binaire	Décimal	Octal	Hexadécimal
1000	8	10	8
1001	9	11	9
1010	10	12	A
1011	11	13	B
1100	12	14	C
1101	13	15	D
1110	14	16	E
1111	15	17	F

Code de Gray ou binaire réfléchi

Le code de Gray, également appelé binaire réfléchi, permet de ne faire changer qu'un seul bit à la fois quand un nombre est incrémenté ou décrémenté d'une unité. Le nom du code vient de l'ingénieur américain Frank Gray, qui déposa un brevet sur ce code en 1947[2].

Pour calculer directement le code de Gray d'un entier à partir de celui de son prédécesseur on peut procéder ainsi :

lorsqu'il y a un nombre pair de 1 on inverse le dernier bit ;
lorsqu'il y a un nombre impair de 1 on inverse le bit directement à gauche du 1 le plus à droite.

Décimal codé binaire (DCB, ou BCD pour binary coded decimal)

Afin de concilier la logique binaire de l'ordinateur avec la logique humaine, on peut convertir en binaire, plutôt que les nombres eux-mêmes, chacun des chiffres qui les composent en notation décimale positionnelle. Chacun de ces chiffres est alors codé sur 4 bits :

1994 =  0001    1001   1001   0100
      1×1000 + 9×100 + 9×10 + 4×1

Avec n bits (n multiple de 4), il est possible de représenter les nombres entre 0 et 10^n/4-1. Soit approximativement entre 0 et 1.778ⁿ-1. Le DCB est un code redondant, en effet certaines combinaisons ne sont pas utilisées (comme 1111 par exemple).

Cette représentation évite par construction tous les problèmes gênants de cumul d'arrondi qui interviendraient lors de la manipulation de grands nombres dépassant la taille des circuits en arithmétique entière et obligent à recourir au flottant. Il est cependant possible de manipuler des nombres à précision arbitraire en utilisant un codage plus efficace que le DCB.

Il existe des variantes du codage DCB :

le code Aiken où 0, 1, 2, 3, 4 sont codés comme en DCB et 5, 6, 7, 8, 9 sont codés de 1011 à 1111 ; ce code permet d'obtenir le complément à 9 en permutant les 1 et les 0 ;
le codage binaire excédant 3, qui consiste à représenter le chiffre à coder + 3.

Applications

Théorie de l'information

En théorie de l'information, l'entropie d'une source d'information est exprimée en bits. La théorie elle-même est indifférente à la représentation des grandeurs qu'elle utilise.

Logique

La logique classique est une logique bivalente: une proposition est soit vraie, soit fausse. Il est donc possible de représenter la vérité d'une proposition par un chiffre binaire. On peut par exemple modéliser les opérations de l'arithmétique binaire à l'aide de l'algèbre de Boole.

L'algèbre de Boole représente un cas très particulier d'usage des probabilités ne faisant intervenir que les seules valeurs de vérité 0 et 1. Voir Théorème de Cox-Jaynes.

Informatique

Le binaire est utilisé en informatique car il permet de modéliser le fonctionnement des composants de commutation comme le TTL ou le CMOS. La présence d'un seuil de tension aux bornes des transistors, en négligeant la valeur exacte de cette tension, représentera 0 ou 1. Par exemple le chiffre 0 sera utilisé pour signifier une absence de tension à 0,5 V près, et le chiffre 1 pour signifier sa présence à plus de 0,5 V. Cette marge de tolérance permet de pousser les cadences des microprocesseurs à des valeurs atteignant plusieurs gigahertz.

En informatique, la représentation binaire permet de clairement manipuler des bits : chaque chiffre binaire correspond à un bit. Cependant, la représentation binaire nécessitant l'usage de beaucoup de chiffres (même pour des nombres assez petits), elle entraîne d'importants problèmes de lisibilité et donc de risques d'erreur de transcription pour les programmeurs. On préfère donc d'autres représentations : la notation hexadécimale, qui permet de manipuler l'information par paquets de 4 bits, est adaptée à la quasi-totalité des microprocesseurs actuels travaillant avec des mots de 8, 16, 32 ou 64 bits ; plus rare, la notation octale, populaire du temps des premiers mini-ordinateurs DEC à 12 ou 36 bits, qui permet de représenter l'information par paquets de 3 bits.

63 ₍₁₀₎ = 111111 ₍₂₎ = 77 ₍₈₎ = 3F ₍₁₆₎
64 ₍₁₀₎ = 1000000 ₍₂₎ = 100 ₍₈₎ = 40 ₍₁₆₎
255 ₍₁₀₎ = 11111111 ₍₂₎ = 377 ₍₈₎ = FF ₍₁₆₎
256 ₍₁₀₎ = 100000000 ₍₂₎ = 400 ₍₈₎ = 100 ₍₁₆₎

Histoire

Les hexagrammes chinois, plus tard reconnus comme la première expression d'une numération binaire, apparaissent dans le Yi Jing vers 750 av J.C.(période des Zhou de l'Ouest[3]) mais leur signification mathématique, si elle a été connue, fut oubliée ensuite[4].
Le mathématicien indien Pingala est crédité d'une table représentant 0 à 7 en numération binaire, dans son Chandaḥ-śāstra datant peut-être du troisième ou deuxième siècle av J.C.[5] - [6].
Vers 1600 le mathématicien anglais Thomas Harriot effectue des opérations en numération binaire, ainsi qu'en témoigne ses manuscrits publiés récemment seulement[7].
À la même époque Francis Bacon utilise un code secret bilitère (à deux lettres) pour protéger ses messages (il remplace les lettres du message par leur position en binaire, puis les 0 et les 1 par des A et des B. Exemple : lettre E → 5 → 00101 → codée AABAB[8].
John Napier, mathématicien écossais inventeur des logarithmes, dans son traité Rhabdologie publié en 1617, décrit trois systèmes pour faciliter les calculs, dont un, dit checkerboard, est binaire[9].
L'espagnol Caramuel dans son Mathesis biceps vetus et nova publié en 1670, paraît le premier à avoir donné une étude des numérations non décimales, dont binaire, succinctement[10].
À Leibniz revient d'avoir étudié le système binaire pour lui-même, montré comment s'y pratiquent les quatre opérations (« si aisées qu’on n’a jamais besoin de rien essayer ni deviner, comme il faut faire dans la division ordinaire[11] »), noté que ce calcul « est le plus fondamental pour la science, et donne de nouvelles découvertes[11] », et même envisagé que « ce type de calcul pourrait également être réalisé avec une machine (sans roues), de la manière suivante certainement très facilement et sans effort. Avec une boîte munie de trous, qui peuvent être ouverts et fermés[12]. »
En outre, ayant communiqué « au R. P. Bouvet, Jésuite Français célèbre, qui demeure à Pékin, (sa) manière de compter par 0 et 1, il n’en fallut pas davantage pour lui faire reconnaître que c’est la clef des figures de Fohy », en 1701[11]. Ainsi fut déchiffrée l’énigme des hexagrammes attribués à Fuxi, et Leibniz fait ensuite publier son exposé du système binaire par l'Académie des sciences de Paris en 1703[11].
En 1847 George Boole publie les premiers travaux de son algèbre binaire, dite booléenne, n'acceptant que deux valeurs numériques : 0 et 1.
1872 : publication d'une application du système binaire pour la résolution du problème du baguenodier (Luc-Agathon-Louis Gros, Théorie du baguenodier par un clerc de notaire lyonnais, Lyon, Aimé Vingtrinier, 1872 (lire en ligne))
1876 : L.-V. Mimault dépose le brevet 3011 concernant :
- les systèmes télégraphiques multiples, imprimeurs et écrivants basés sur des combinaisons mécaniques ou graphiques provenant de « (X + 1) puissance m » ;
- les systèmes télégraphiques multiples, imprimeurs et écrivants basés sur des combinaisons de la progression 1 : 2 : 4 : 8 : 16[13].

Notes et références

Attention : 10 et non dix ; en base deux, 10 vaut deux.
(en) Frank Gray pour Bell Labs, Brevet U.S. 2,632,058 : Pulse code communication, déposé le 13 novembre 1947, publié le 17 mars 1953, sur Google Patents.
(en) E. L. Shaugnessy, « I Ching (Chou I) », dans M. Loewe (dir.), Early Chinese Texts: A Bibliographical Guide, Berkeley, 1993, p. 216-228.
Témoignage du père Bouvet rapporté par Leibniz (sur Wikisource).
(en) Kim Plofker, Mathematics in India, Princeton (N.J.), Princeton University Press, 2009, 357 p. (ISBN 978-0-691-12067-6, lire en ligne), chap. 3 (« Mathematical Traces in the Early Classical Period »), p. 55-57.
(en) B. Van Nooten, « Binary numbers in Indian antiquity », Journal of Indian Philosophy, vol. 21, n^o 1,‎ mars 1993, p. 31–50 (ISSN 0022-1791, DOI 10.1007/BF01092744).
L’édition électronique des manuscrits de Thomas Harriot (1560-1621) ; fac-similé en ligne.
(en) Bacon's cipher.
(en) John Napier, Rabdologiæ, traduit du latin par William Frank Richardson, 'ntroduction par Robin E. Rider, 1990, MIT Press (ISBN 0-262-14046-2).
Robert Ineichen, Leibniz, Caramuel, Harriot und das Dualsystem, Mitteilungen der deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol. 16, 2008, issue 1, p. 14.
Leibniz, Explication de l'arithmétique binaire, qui se sert des seuls caractères 0 et 1, avec des remarques sur son utilité, et sur ce qu'elle donne le sens des anciennes figures chinoises de Fohy (lire sur Wikisource et sur Mémoires de l'Académie des sciences de Paris, 1703, p. 85-89).
De progressione dyadica, manuscrit daté de 1679, traduction de Yves Serra, p. 5 (lire en ligne) ; voir aussi Yves Serra, Le manuscrit « De Progressione Dyadica » de Leibniz (lire en ligne sur Bibnum ).
Description des notes contenues dans le brevet sous plis.

Voir aussi

Liens externes

(en) Polynesian people used binary numbers 600 years ago : Nature News & Comment
[vidéo] Une introduction au binaire en utilisant ses deux mains sur YouTube
[vidéo] Un tour de magie utilisant le système binaire sur YouTube

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