Système décimal

Le système décimal est largement le plus répandu. Ainsi sont constituées, par exemple, les numérations :

Les peuples ayant une base de numération décimale ont employé, au cours du temps, des techniques variées pour représenter les nombres. En voici quelques exemples.

• Avec des chiffres pour un, dix, cent, mille, etc.

Les systèmes de numération dont les chiffres représentent les puissances de dix sont de type additif. C'est le cas de la numération égyptienne. Exemple : 1506 s'écrit

en écriture hiéroglyphique (1000 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1).

• Avec des chiffres pour un, cinq, dix, cinquante, cent, cinq cents, etc.

De tels systèmes de numération sont aussi de type additif, mais font intervenir un système quinaire auxiliaire. C'est le cas des numérations attique, étrusque, romaine et tchouvache. Exemple : 2604 s'écrit MMDCIIII. en chiffres romains (1 000 + 1 000 + 500 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1). La numération romaine connait également une variante additive et soustractive : 2604, de cette manière, s'écrit MMDCIV. (1000 + 1000 + 500 + 100 - 1 + 5).

• Avec des chiffres pour un, deux, ..., neuf, dix, vingt, ..., cent, deux cents, ..., neuf cents, etc.

Les systèmes de numération employant neuf chiffres pour les unités, ainsi que pour les dizaines, les centaines, etc. sont encore de type additif. C'est le cas des numérations arménienne, arabe alphabétique, gotique, grecque et hébraïque. Exemple : 704 s'écrit ψδ en chiffres grecs ioniques (700 + 4).

• Avec des chiffres de un à neuf, et pour dix, cent, mille, etc.

Les systèmes de numération dont les chiffres représentent les unités et les puissances de dix sont de type hybride. C'est le cas des numérations chinoise et japonaise. Exemple : 41 007 s'écrit 四万千七 dans le système japonais (4 × 10 000 + 1 000 + 7). Le système chinois utilise en plus le zéro pour indiquer des positions vides avant les unités : 41 007, s'écrit 四萬千〇七 en chiffres chinois (4 × 10 000 + 1 000 + 0 + 7).

• Avec des chiffres de zéro à neuf

Les systèmes de numération dont les chiffres représentent les unités sont de type positionnel. C'est le cas des numérations arabe non-alphabétique, européenne, de la plupart des numérations indiennes et des numérations mongole et thaï. Exemple : 8002 s'écrit ๘๐๐๒ en chiffres thaïs (8002).

La base dix est très ancienne. Elle découle d'un choix naturel, dicté par le nombre des doigts des deux mains. Les Proto-indo-européens comptaient probablement en base dix. Un système de notation décimale a été mis au point :

• au III^e millénaire av. J.-C., par les Égyptiens[1] - [2] (le système égyptien était toutefois un système décimal sans positionnement[3] - [4]) ;
• au III^e millénaire av. J.-C., par les Grecs[5] (d'abord dans les écritures et notations des Minoens, puis des Mycéniens, puis attique) ;
• avant -1350, par les Chinois[6] ;
• vers -650, par les Étrusques ;
• vers -500, par les Indiens en sanskrit.

Noter cependant l'usage de systèmes non décimaux, dont voici quelques exemples.

• Les anciennes civilisations de Mésopotamie (Sumer, Babylone…) utilisaient un système positionnel de base sexagésimale (60)[7] - [8] - [9] - [10].
• À noter également l'usage de systèmes proto-élamites mixtes, dit bisexagésimaux (binaire, décimal ou sexagésimal suivant la qualification des objets ou des êtres vivants à décompter)[11] - [12].
• La civilisation maya utilisait un système de base 20 en introduisant quelques variantes[13].
• Le basque (ainsi que les langues celtiques) se fonde aussi sur la base 20. Il en reste quelques traces en français avec la dénomination « quatre-vingts ».

En Chine les mesures de capacité et de poids sont décimalisées vers 170 av. J.-C.. Aux États-Unis, le système monétaire est décimal en 1786. En Europe, la décimalisation des unités est initiée en France à partir du 22 août 1790, date à laquelle Louis XVI demande à l'Académie des Sciences de nommer une commission pour définir les poids et mesures. Cette dernière préconise la division décimale.

La plupart des langues vivantes décomposent les nombres en base dix en raison de certains atouts de celle-ci :

• le compte sur les dix doigts est très intuitif ainsi que cela a été mentionné ci-dessus ;
• son ordre de grandeur est satisfaisant, car il permet de réduire considérablement la longueur d'un grand nombre par rapport à la base 2, tout en conservant des tableaux d'additions et de multiplications mémorisables.

Cependant, il a fallu attendre la généralisation de la notation positionnelle, et l'existence d'un algorithme de division adapté à cette notation pour que les unités de mesure perdent progressivement leurs sous-multiples non décimaux - en particulier, la notation qui comprend 3 du facteur tel que sénaire, duodécimal et octodécimal.

Quand la livre comprenait en France 20 sous de 12 deniers (ou en Grande-Bretagne 20 shillings de 12 pence), les agents économiques appréciaient que cette unité puisse être divisée de manière exacte par 20 diviseurs différents (y compris 1 et 240). En 1971, malgré l'informatique qui permet désormais de gérer facilement l'hétérogénéité de rapports non décimaux entre sous-multiples, la Grande-Bretagne n'a pourtant pas hésité à décimaliser sa monnaie.