Système de numération

Ces systèmes utilisent des chiffres pour représenter les puissances de la base, et éventuellement des sous-multiples de ces puissances[36]. Les autres nombres s'obtiennent par juxtaposition de ces symboles. Le lecteur a alors la charge d'additionner les valeurs des symboles pour connaitre le nombre. C'est le cas des systèmes de numération égyptien, grec, romain, gotique, ou plus simplement du système unaire ou de la numération forestière.

Il existe également des systèmes à la fois additifs et soustractifs. Ainsi, la numération romaine, additive, connait une variante additive et soustractive plus tardive.

Exemple de nombre romain en écriture additive : MMCCCXXVII vaut 2327=(1000+1000)+(100+100+100)+(10+10)+5+(1+1).

Exemple de nombre romain en écriture additive et soustractive: CMXCIV vaut 994 ( 100 ôté de 1000+10 ôté de 100+1 ôté de 5).

Ces systèmes utilisent des chiffres pour les unités et pour les puissances de la base[37]. Les chiffres représentant une puissance de la base utilisés sont, au besoin, combinés avec un chiffre représentant une unité, et les nombres sont ainsi représentés par addition de multiples de puissances de la base. C'est le cas des systèmes de numération chinois et japonais. On peut remarquer qu'un tel système de notation comporte une forte analogie avec le système d'énonciation des nombres dans une majorité de langues. (Par exemple, en français, le nombre deux-mille-huit-cent-dix-sept, est aussi formé par addition de multiples de puissances de la base 10 : 2×10³+8×10²+1×10¹+7.)

Exemple : en numération japonaise le nombre 1975 s'écrit 千九百七十五. En effet 千 est le chiffre 1000, 百 le chiffre 100, 十 le chiffre 10, 九 le chiffre 9, 七 le chiffre 7, et 五 le chiffre 5. 千九百七十五 vaut donc : 1000+9x100+7x10+5=1975.

Ces systèmes utilisent des chiffres, dont la place dans l'écriture du nombre indique le poids qui leur est affecté (poids n⁰=1, poids n¹=n, poids n²… pour une base n)[38]. C'est le cas des systèmes de numération maya et babylonien, ainsi que les systèmes de numération indien et arabe à l'origine des mathématiques modernes. Ils permettent d'écrire les nombres simplement quelle qu'en soit la base, en utilisant le zéro positionnel.

Dans un tel système, une base β nécessite β chiffres pour représenter tous les entiers, et chaque entier a alors une représentation unique[39]. La valeur généralement utilisée de ces chiffres va de 0 à β-1.

Exemples :

• Base 2: les chiffres sont 0 et 1. Le nombre 17 (en système décimal) s'écrit "10001" en base 2, soit : 1x2⁴+0x2³+0x2²+0x2+1 donc 1x16+0x8+0x4+0x2+1.
• Base 5 : les chiffres sont 0,1, 2, 3 et 4. Le nombre 17 (en système décimal) s'écrit "32" en base 5, soit : 3x5+2.
• Base 36 : les chiffres sont les chiffres du système décimal et les lettres de l'alphabet. Le nombre 17 (en système décimal) s'écrit "H" en base 36 car H est le 18^e chiffre en base 36 (le premier étant 0).

Il existe aussi des types de représentations différents :

• des systèmes k-adiques, sans 0, utilisant, pour une base β, des chiffres de 1 à β (ce sont des systèmes bijectifs) ;
• des systèmes balancés utilisant, pour une base β impaire, des chiffres de -(β-1)/2 à (β-1)/2 ;
• des systèmes redondants, utilisant pour une base β un nombre de chiffres strictement supérieur à β.

Un système sera dit incomplet[40], s'il ne permet pas de représenter tous les nombres. C'est le cas, par exemple, des systèmes de base β utilisant un nombre de chiffres strictement inférieur à β.

Plusieurs systèmes connaissent des applications en électronique et en informatique. Ces systèmes ont la particularité de représenter les nombres sur un nombre défini de positions, et ne peuvent donc représenter les entiers que jusqu’à une certaine borne. Par exemple,

• en binaire : système négabinaire ;
• en ternaire : système ternaire balancé ;
• en base β : système d'Avizienis.

Il existe aussi des systèmes alternatifs de représentations des nombres, soit dérivés du système positionnel, soit indépendants du concept de base tel qu'il a été défini plus haut. En voici quelques exemples,

• en mathématiques (voir la section suivante correspondante) : le développement en fraction continue, le développement en série de Engel, le développement de Hensel, le système modulaire de représentation ;
• en électronique et en informatique : le binaire réfléchi (ou code de Gray), le complément à un, le complément à deux, le décimal codé binaire.

• Un système de numération est[41] un triplet (${\displaystyle X}$, ${\displaystyle I}$, ϕ), où ${\displaystyle X}$ est l'ensemble à énumérer, ${\displaystyle I}$ est un ensemble fini ou dénombrable de chiffres et ϕ est une application injective de ${\displaystyle X}$ vers l'ensemble des suites de chiffres : ϕ : ${\displaystyle X\hookrightarrow I^{\mathbb {N} }}$, et on a : ϕ${\displaystyle (x)=(a_{n}(x))_{n\geqslant 0}}$. L’application ϕ est appelée application de représentation, et ϕ(${\displaystyle x}$) est la représentation de ${\displaystyle x}$. Les suites admissibles sont définies comme les représentations images ϕ(${\displaystyle x}$), pour tout ${\displaystyle x}$∈${\displaystyle X}$. Exemple : la fonction "numération décimale usuelle", si on choisit ${\displaystyle I=\{0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}}$, et si ${\displaystyle X}$ est l'ensemble ℕ des entiers naturels, associe à tout nombre entier naturel la suite de ses chiffres décimaux. On a donc ainsi ϕ(1950)=(0,5,9,1,0,0,...), et les suites admissibles sont les suites d'entiers naturels nulles à partir d'un certain rang.

• Georg Cantor[42] définit un système de numération comme la donnée d'une suite d'entiers naturels a_k rangés par ordre croissant (dans le cas du système décimal : a_k = 10^k) et pour chacun, d'une valeur maximum m_k du coefficient par lequel on s'autorise à le multiplier (dans le cas du système décimal : m_k = 9). Il appelle représentation d'un entier naturel ${\displaystyle n}$ toute suite infinie de coefficients c_k, chaque c_k étant un entier naturel au plus égal à m_k, telle que la somme des c_ka_k soit égale à ${\displaystyle n}$. Il démontre qu'un tel système est « simple », c'est-à-dire représente chaque entier ${\displaystyle n}$ de façon unique, si et seulement si a₀ = 1 et pour tout k, a_k+1 = (1 + m_k)a_k[43], puis étend dans ce cas les représentations d'entiers aux représentations de réels (positifs), en ajoutant aux représentations d'entiers des séries infinies de la forme :${\displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {d_{k}}{a_{k}}},\quad d_{k}\in \{0,1,\ldots ,m_{k-1}\}.}$
• Aviezri S. Fraenkel[40] donne une définition générale de système de numération et décrit des cas d'unicité et de complétude : un système de numération est complet s'il permet de représenter tous les entiers.
• L'étude systématique a été reprise dans le cadre des langages formels et la combinatoire par Michel Rigo[41].
• Le problème de la propagation du report a été étudié part Valérie Berthé, Christiane Frougny, Michel Rigo et Jacques Sakarovitch[44].

• La numération en base b, entier ${\displaystyle \geqslant 2}$ : tout entier naturel n non nul s'écrit de manière unique sous la forme ${\displaystyle n=\sum _{k=0}^{N}a_{k}b^{k}=a_{0}+a_{1}b+\cdots a_{N}b^{N}}$, avec les chiffres ${\displaystyle a_{k}}$ vérifiant ${\displaystyle 0\leqslant a_{k}\leqslant b-1}$ et ${\displaystyle a_{N}\not =0}$ . Le nombre ${\displaystyle N=\left\lfloor {\frac {\ln(n)}{\ln(b)}}\right\rfloor +1=\left\lfloor {\log _{b}n}\right\rfloor +1}$ est le nombre de chiffres de n en base b[45] (voir Logarithme#Nombre_de_chiffres_avant_la_virgule). De plus, tout réel ${\displaystyle x}$ peut s'écrire, de manière unique si son développement est propre (autrement dit ne se termine pas par une suite infinie de ${\displaystyle b-1}$ comme 0,999... qui s'écrit aussi 1,000...), sous la forme ${\displaystyle x=\sum _{k=-\infty }^{N}a_{k}b^{k}}$ ( voir Non_unicité_de_représentation_de_certains_nombres).
• La numération à bases mixtes ${\displaystyle b_{1},b_{2},\cdots }$, entiers ${\displaystyle \geqslant 2}$, généralisant la précédente : tout entier naturel n non nul s'écrit de manière unique sous la forme ${\displaystyle n=a_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}b_{2}+\cdots +a_{N}b_{1}\cdots b_{N}}$, avec les chiffres ${\displaystyle a_{k}}$ vérifiant ${\displaystyle 0\leqslant a_{k}\leqslant b_{k+1}-1}$ et ${\displaystyle a_{N}\not =0}$. La représentation est dite factorielle lorsque ${\displaystyle a_{k}=k+1}$.
• La numération en base non entière[46] , utilisant notamment la base d'or, la base ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ou encore la base e.
• La numération de Fibonacci[47], obtenue par le théorème de Zeckendorf : la suite de Fibonacci définie par ${\displaystyle F_{0}=0}$, ${\displaystyle F_{1}=1}$, ${\displaystyle F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}}$ permet d'écrire tout entier naturel n non nul de manière unique sous la forme ${\displaystyle n=\sum _{k=2}^{N}\varepsilon _{k}F_{k}}$, où les chiffres ${\displaystyle \varepsilon _{k}\in \{0,1\}}$ vérifient ${\displaystyle \varepsilon _{N}\not =0}$, et ${\displaystyle \varepsilon _{k}\varepsilon _{k+1}=0}$ pour ${\displaystyle 2\leqslant k\leqslant N-1}$.
• La représentation en fraction continue : tout nombre réel s'écrit de manière unique sous la forme ${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+\dots }}}}}}}$ avec ${\displaystyle a_{0}\in \mathbb {Z} }$ et ${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {N} ^{*}}$ pour ${\displaystyle k\geqslant 1}$, la suite des ${\displaystyle a_{k}}$ étant finie pour un nombre rationnel, infinie pour un nombre irrationnel.
• La décomposition en produit de nombres premiers est un système de numération, notamment utilisé par les calculateurs quantiques[48], ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*},\exists$ !(\alpha _{p})_{p\in {\mathcal {P}}}\in \mathbb {N} ^{({\mathcal {P}})}:n=\prod _{p\in {\mathcal {P}}}p^{\alpha _{p}}} .

• Le système modulaire de représentation (RNS) permet, à l'aide d'une base ${\displaystyle (m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n})}$ de modules mutuellement premiers entre eux, d'énumérer tous les nombres entiers ${\displaystyle 0\leqslant a<M}$, où ${\displaystyle M=\prod _{k=1}^{n}m_{k}}$ par leur suite de restes ${\displaystyle (a\mod {m_{k}})_{1\leqslant k\leqslant n}}$ en utilisant le théorème des restes chinois.

Les chiffres proviennent d'une transformation non injective ${\displaystyle T:X\to X}$.

• En représentation q-adique, le "chiffre des unités" est donné par ${\displaystyle \varepsilon (n)=n\,({\text{mod}}\,q)}$ et la suite des chiffres par ${\displaystyle \varepsilon _{k}(n)=\varepsilon (T^{k}(n))}$ où T est l'application ${\displaystyle T(n)=({n-\varepsilon (n)})/q}$.
• La suite des chiffres de la représentation en fractions continues provient de ${\displaystyle \varepsilon (x)=\lfloor 1/x\rfloor }$ et l'application de Gauss ${\displaystyle T(x)=1/x-\epsilon (x)}$.

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• « collection de nombres, bases de numération », sur villemin.gerard.free.fr
• Philippe Berger, « Numération », sur philippe.berger2.free.fr
• « Convertisseur de base », sur wims.univ-cotedazur.fr
• Logiciel pour découvrir des systèmes de numération sur le « site de Michel Ramus »