Base (arithmétique)

Pour tout entier naturel ${\displaystyle b}$ non nul appelé base, tout nombre entier naturel ${\displaystyle n}$ peut se décomposer sous la forme[2] : ${\displaystyle n=\sum _{k=0}^{N}a_{k}b^{k}=a_{0}+a_{1}b+\cdots a_{N}b^{N}}$, où les ${\displaystyle a_{k}}$ sont des entiers naturels. Pour définir la numération naturelle de base ${\displaystyle b\geqslant 2}$, on impose aux coefficients ${\displaystyle a_{k}}$ et à leur utilisation les conditions suivantes qui permettent d'assurer que cette décomposition est unique[3] - [4]:

${\displaystyle 0\leqslant a_{k}\leqslant b-1}$ et ${\displaystyle a_{N}\not =0}$.

Les coefficients ${\displaystyle a_{k}}$ sont alors appelés des chiffres[5].

La représentation du nombre ${\displaystyle n}$ dans une base ${\displaystyle b}$ est la suite de chiffres ${\displaystyle a_{N}...a_{1}a_{0}}$. Il est indispensable de préciser la façon d'écrire cette représentation pour éviter toute confusion[2].

La convention usuelle de notation mathématique est d'ordonner cette suite par poids, ou puissance de ${\displaystyle n}$, croissant de droite à gauche. Cette notation est dite positionnelle : les chiffres indiquent une valeur dépendant de leur position. Ainsi : ${\displaystyle a_{0}b^{0}}$ pour ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{1}b^{1}}$ pour ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}b^{2}}$ pour ${\displaystyle a_{2}}$, et ainsi de suite jusqu'à ${\displaystyle a_{N}b^{N}}$ pour ${\displaystyle a_{N}}$.

Le nombre ${\displaystyle n}$ est alors représenté par la suite ordonnée (${\displaystyle a_{N}...a_{1}a_{0}}$), et pas par (${\displaystyle a_{0}a_{1}...a_{N}}$), ni par aucune autre permutation de cette suite.

Pour bien indiquer dans quelle base cette représentation est exprimée, on la note ${\displaystyle (a_{N}...a_{1}a_{0})_{b}}$, ${\displaystyle (a_{N};...a_{1};a_{0})_{b}}$, ou ${\displaystyle {\overline {a_{N}...a_{1}a_{0}}}_{b}}$. Les parenthèses, les points virgules et le surlignage peuvent être omis s'il n'y a aucun risque de confusion. En base dix, la plus utilisée, il est admis de noter simplement cette représentation : ${\displaystyle a_{N}...a_{1}a_{0}}$.

Pour pouvoir représenter de façon unique tous les entiers naturels, un système en base b utilise b chiffres.

Pour les bases usuelles jusqu'à dix inclus, on utilise généralement les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Pour les bases b avec ${\displaystyle 11\leqslant b\leqslant 36}$, on utilise ces mêmes 10 chiffres et les chiffres suivants sont les lettres de l'alphabet en capitales dans l'ordre de A à Z[6].

Par exemple, pour la base 16, les chiffres utilisés sont : 0, 1, 2, 3... 8, 9, A, B, C, D, E, F. Pour la base 36, on utilise les chiffres : 0,1, 2, 3...8, 9, A, B, C...X,Y, Z.

Pour les bases b avec ${\displaystyle 37\leqslant b\leqslant 62}$, on peut utiliser les 10 chiffres de 0 à 9, les lettres capitales, puis les lettres minuscules. Par exemple, pour la base 62, on peut utiliser les chiffres : 0,1, 2, 3...8, 9, A, B, C...X,Y, Z, a, b, c,...x, y, z[7].

Pour n'importe quelle base, on peut utiliser une notation sans lettres. Par exemple, en base soixante, on peut utiliser les chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,..., 59. Dans ce cas on écrira par exemple : ${\displaystyle 5112=5112_{10}=(1;25;12)_{60}=1\times 60^{2}+25\times 60^{1}+12}$.

L'usage du zéro positionnel est une convention pratique et élégante, mais non nécessaire pour représenter les entiers naturels, comme l'illustre le système décimal sans zéro. Il est, par contre, indispensable pour généraliser l'écriture positionnelle aux nombres fractionnaires.

La notation mathématique est ${\displaystyle k_{b}}$, où k désigne un réel quelconque et b en indice est la valeur de la base. Par exemple 100111₂ pour le nombre dont le développement en base 2 est 100111, ou encore 172₈ pour le nombre dont le développement en base 8 est 172.

Il existe d'autres notations, notamment employées en informatique :

• Base 8 : on peut indiquer le nombre avec un zéro au début. Par exemple 0157 pour 157₈.
• Base 16 : on peut indiquer de diverses manières qu'un nombre est en hexadécimal (voir tableau ci-dessous). Une autre écriture courante est l'ajout du suffixe « h » à la fin du nombre, ce qui avec notre exemple donne AE4Fh.

De nombreux systèmes de numération à bases entières ont été utilisés par différents peuples et à différentes époques.

Certaines bases sont encore couramment employées de nos jours :

• la base deux (système binaire), en électronique numérique et informatique ;
• la base huit (système octal), en informatique ;
• la base dix (système décimal), la plus commune, aujourd'hui la référence dans le domaine des sciences et enseignée dès les premières années d'école[8] ;
• la base douze (système duodécimal) pour le compte en heures et mois ;
• la base seize (système hexadécimal), en informatique ;
• la base soixante (système sexagésimal), dans la mesure du temps [9]et des angles ;
• la base soixante-quatre, utilisée en informatique par l'encodage Base64.

Pour des applications spécifiques, les scientifiques, mathématiciens ou informaticiens peuvent décider d'utiliser des bases ad hoc : par exemple, en informatique, pour un entier représenté par une chaîne d'octets, on peut considérer un octet comme un chiffre en base 256 et on peut également voir un identificateur comme un nombre en base 40.

Un nombre ${\displaystyle n}$ s'écrit, dans une base donnée ${\displaystyle b}$, comme une suite de chiffres telle que la suite ${\displaystyle a_{N}...a_{2}a_{1}a_{0}}$ vérifie l'égalité mathématique: ${\displaystyle a_{N}b^{N}+...+a_{2}b^{2}+a_{1}b^{1}+a_{0}b^{0}=n}$.

Ainsi, par exemple, un nombre exprimé en base b par les quatre chiffres 1101 vaut : ${\displaystyle 1\times b^{3}+1\times b^{2}+0\times b^{1}+1\times b^{0}}$, qui donne, selon la base :

Valeur de b	Expression en base b	Forme développée	Expression en base dix
b = 10	${\displaystyle 1101}$	${\displaystyle 1\times 10^{3}+1\times 10^{2}+0\times 10^{1}+1\times 10^{0}}$	${\displaystyle =1101}$
b = 8	${\displaystyle {\overline {1101}}{}_{8}}$	${\displaystyle 1\times 8^{3}+1\times 8^{2}+0\times 8^{1}+1\times 8^{0}}$	${\displaystyle =577}$
b = 2	${\displaystyle {\overline {1101}}{}_{2}}$	${\displaystyle 1\times 2^{3}+1\times 2^{2}+0\times 2^{1}+1\times 2^{0}}$	${\displaystyle =13}$

La signification d'une même représentation, comme 10, 100 ou 1000, dépend complètement de la base utilisée : par exemple, l'écriture « 10 » est égale à dix en base dix, mais à deux en base deux ou à trois en base trois.

Lorsqu'on veut passer d'une base à une autre, on peut utiliser deux méthodes (algorithmes), suivant que l'on sait calculer dans la base de départ ou dans la base d'arrivée.

Si l'on sait calculer dans la base de départ, des divisions entières successives par la base donneront en restes les chiffres du résultat, en commençant par les unités. Plus précisément :

${\displaystyle q_{0}:=n}$ (le nombre à convertir) ; ${\displaystyle i:=0}$

tant que ${\displaystyle q_{i}>0}$ faire ${\displaystyle (r_{i+1}:=q_{i}\ mod\ b;\ q_{i+1}:=q_{i}\ div\ b;\ i:=i+1)}$

les ${\displaystyle r_{i}}$ sont les chiffres du nombre converti, en partant des unités.

Exemple : ${\displaystyle 128_{10}}$ en base 7

On effectue une suite de divisions euclidiennes par 7 jusqu'à ce que le quotient soit égal à 0 :

${\displaystyle 128=7\times 18+2}$

${\displaystyle 18=7\times 2+4}$

${\displaystyle 2=7\times 0+2}$.

Chaque reste est un chiffre donc ${\displaystyle 128_{10}}$= ${\displaystyle {242_{7}}}$. On a ${\displaystyle {242_{7}}}$ = ${\displaystyle 2\times 7^{2}+4\times 7^{1}+2\times 7^{0}}$= ${\displaystyle 2\times 49+4\times 7+2\times 1=128}$, on retombe bien sur le même nombre en base dix.

Algorithme en JavaScript :

function convert (n, b_d, b_a) {	// La fonction prend en argument le nombre n à convertir, b_d la base de ce nombre, et b_a la base dans laquelle on veut le convertir
	var symbol = ['0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9', 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I', 'J', 'K', 'L', 'M', 'N', 'O', 'P', 'Q', 'R', 'S', 'T', 'U', 'V', 'W', 'X', 'Y', 'Z'],
	// Cette liste a pour rôle de stocker les chiffres des bases par ordre croissant.
		res = '';		// Le nombre à renvoyer, sous forme de chaîne de caractère
	n = parseInt(String(n), b_d); 	// On convertit le nombre en base décimale. Au-delà il ne pourrait être divisé.
	while (n) {			// Tant qu'il y a un reste non nul
		res = symbol[n % b_a] + res;		// On incrémente le nombre à renvoyer, par le reste du nombre et de la base
		n = Math.floor(n / b_a);		// Le nombre est arrondi
	}
	return res;			// Le résultat est renvoyé
}

Remarque : ce programme peut fonctionner jusqu'à la base 36, au-delà, la fonction parseInt ne fonctionne plus.

Si l'on sait calculer dans la base d'arrivée, on évalue le polynôme (en représentant les coefficients et la base de départ dans la base d'arrivée). La méthode de Horner est généralement utilisée[2] :

${\displaystyle v:=c_{n}}$ ; ${\displaystyle i:=n}$ ;

pour ${\displaystyle i:=n-1}$ à ${\displaystyle 0}$ faire ${\displaystyle v:=v*b+c_{i}}$ ;

${\displaystyle v}$ est le nombre dans la base d'arrivée.

Exemple d'algorithme en Python :

def convert_horner(num, base=16):
    sym = ['0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7',
           '8', '9', 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F']
    r = 0
    for n in num:
        r = r * base + sym.index(n)
    return r

Si on ne sait calculer ni dans la base de départ ni dans celle d'arrivée, on passe par une base intermédiaire où l'on sait calculer.

Si la base d'arrivée est une puissance r-ième de la base de départ (exemple : de la base deux à la base seize), on peut convertir chaque groupe de r chiffres en un chiffre, localement et directement.

Il est possible de définir un système de numération de base ${\displaystyle b}$ entière non nulle en interdisant l'utilisation du chiffre valant zéro. On peut démontrer que tout nombre entier naturel ${\displaystyle n}$ non nul peut être décomposé de façon unique sous la forme : ${\displaystyle n=\sum _{k=0}^{N}c_{k}b^{k}=c_{0}+c_{1}b+\cdots c_{N}b^{N}}$, où les ${\displaystyle c_{k}}$ sont des entiers naturels tels que : ${\displaystyle 0<c_{k}\leqslant b}$.

Les symboles représentant les valeurs que peuvent prendre les ${\displaystyle c_{k}}$ sont appelés des chiffres, et le système de numération de base b ainsi défini est appelé b-adique, ou bijectif de base b ou encore de base b sans zéro.

Le nombre ${\displaystyle n}$ est représenté, dans ce système, par la suite ordonnée de chiffres ${\displaystyle (c_{N}...c_{2}c_{1}c_{0})}$. Et le nombre zéro est, par convention, représenté par {} ou par un symbole très différent de ceux utilisés pour les chiffres.

Les chiffres utilisés en b-adique sont usuellement les mêmes que ceux du système naturel de base b, avec deux différences : le chiffre représentant le nombre zéro n'est pas utilisé, et un chiffre supplémentaire est utilisé pour représenter le nombre b. Ainsi, par exemple, en base 10-adique, on utilise les chiffres (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A), la lettre A étant le chiffre représentant le nombre dix.

La principale différence entre la numération de base b naturelle et la numération b-adique est l'absence de zéro dans cette dernière. Ceci a des conséquences sur la représentation des nombres dans ces deux systèmes, comme illustré dans le tableau ci-dessous pour le système de base dix naturel et le système 10-adique.

Les nombres dont l'écriture en base b naturelle ne comporte pas de chiffre 0 s'écrivent de façon identique en base b-adique, mais, dans les autres cas, l'écriture de ces nombres est différente entre les deux systèmes.

Comme pour les écritures en bases naturelles, l'écriture d'un nombre en base b-adique se fait en indiquant précisément dans quelle base ce nombre est écrit sous l'une des formes suivantes : ${\displaystyle (c_{N}...c_{1}c_{0})_{b-adique}}$, ${\displaystyle (c_{N};...c_{1};c_{0})_{b-adique}}$, ou ${\displaystyle {\overline {c_{N}...c_{1}c_{0}}}_{b-adique}}$. Les parenthèses, les points virgules et le surlignage peuvent être omis s'il n'y a aucun risque de confusion.

Exemple d'utilisation : ${\displaystyle 101=101_{10}=A1_{10-adique}}$.

Ces systèmes utilisent un entier naturel comme base, mais des chiffres signés positifs et négatifs : en base 2d ou 2d + 1 un tel système est doté des chiffres signés d,..., 2, 1, 0, 1, 2,..., d. On parle alors de système balancé ou symétrique[10]. Ces systèmes permettent de représenter tout entier relatif sous forme d'une suite non signée de chiffres signés. Le tableau ci-dessous donne quelques exemples d'utilisation de tels systèmes.

Ces systèmes utilisent un entier relatif négatif -b comme base, et les chiffres sont les entiers naturels 0, 1,..., (b-1). L'avantage de ces systèmes est que tout nombre entier relatif, donc signé, est représenté par une suite non signée d'entiers naturels[11]. Parmi les systèmes de ce type, on trouve notamment :

• le négabinaire, de base -2 avec comme chiffres 0 et 1
• le négaternaire, de base -3 avec comme chiffres 0, 1, et 2

Le tableau ci-dessous donne quelques exemples de notation dans ces systèmes.

Dans un système à base entière négative, tout entier positif ou nul est représenté par une suite constituée d'un nombre impair de chiffres, et tout entier relatif strictement négatif par une suite constituée d'un nombre pair de chiffres.

Dans un système à bases mixtes, il y a plusieurs bases entières qui peuvent être différentes selon la position du chiffre dans la représentation d'un nombre[12]. Ces bases ont été formalisées et étudiées par le mathématicien Georg Cantor, notamment pour définir les conditions nécessaires pour qu'un tel système puisse représenter tous les entiers, et de façon unique[13]. Les systèmes usuels à base entière sont, dans cette approche, des cas particuliers de systèmes de Cantor dans lesquels la base ne varie pas selon la position du chiffre.

Un exemple courant d'utilisation d'un tel système est le décompte usuel du temps dans lequel on utilise quatre bases différentes : le jour (j), l'heure (h), la minute (min), et la seconde (s), dans une relation définie par 1j=24h, 1h=60min et 1min=60s. Les chiffres autorisés sont : pour les secondes 0, 1, 2..., 59 ; les chiffres autorisés en min sont les mêmes ; les chiffres autorisés en heures sont 0, 1,.., 23 ; pour les jours, tout entier naturel est un chiffre utilisable.

On peut donc écrire sans ambigüité, par exemple, que le record du monde du marathon est de 2h 1min 9s, et que celui du tour du monde à la voile en équipage est de 40j 23h 30min 30s.

Un système à base double utilise deux bases entières naturelles premières entre elles, p et q. Tout nombre entier naturel peut être décomposé sous la forme:

${\displaystyle n=\sum _{i,j}d_{i,j}p^{i}q^{j}}$ avec ${\displaystyle d_{i,j}}$ = 0 ou 1, et ${\displaystyle i,j}$ entiers positifs[14].
Si les chiffres ${\displaystyle d_{i,j}}$ peuvent aussi prendre la valeur -1, alors tout entier relatif peut être ainsi décomposé[15].

Contrairement à la décomposition en base unique entière, cette décomposition en base double n'est pas unique. Ainsi, par exemple dans la base (2, 3), souvent étudiée, on peut démontrer que le nombre dix a 5 décompositions différentes, ou encore que le nombre cent en a 402.

Le système de représentation par développement décimal est dérivé du système décimal naturel, en modifiant deux paramètres :

• les puissances de la base peuvent être négatives, ce qui permet de représenter tous les nombres décimaux ;
• la représentation d'un nombre peut avoir une infinité de chiffres, ce qui permet, avec la convention précédente relative aux puissances, de représenter tous les nombres réels positifs ou nuls[2].

Le développement décimal est le système de numération le plus utilisé, notamment en sciences, dès qu'il faut représenter des nombres réels quelconques[16].

Un nombre positif ${\displaystyle x}$ est décomposé, dans ce système, comme suit : ${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{N}a_{k}10^{k}+\sum _{k=1}^{+\infty }d_{k}10^{-k}}$, où les ${\displaystyle a_{k}}$ et ${\displaystyle d_{k}}$ sont des entiers naturels pouvant prendre, comme dans la numération décimale naturelle, les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9. Dans ce système, le nombre ${\displaystyle x}$ est représenté par la suite ordonnée, ponctuée d'une virgule, suivante[17] : ${\displaystyle a_{N}...a_{2}a_{1}a_{0},d_{1}d_{2}d_{3}....}$.

Le nombre ${\displaystyle \sum _{k=0}^{N}a_{k}10^{k}}$ et sa représentation ${\displaystyle a_{N}...a_{2}a_{1}a_{0}}$ sont appelés partie entière de ${\displaystyle x}$ et notés ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ ou ${\displaystyle \mathrm {E} (x)}$.

Le nombre ${\displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty }d_{k}10^{-k}}$ et sa représentation ${\displaystyle 0,d_{1}d_{2}d_{3}....}$ sont appelés partie fractionnaire (ou décimale) de ${\displaystyle x}$ et notés ${\displaystyle \{x\}}$.

Le développement décimal d'un nombre décimal est constitué, à partir d'un certain rang derrière la virgule, d'une suite infinie de 0. Par convention, pour alléger l'écriture de tels nombres, il est admis de n'écrire que les chiffres derrière la virgule précédant cette suite infinie. Ainsi, par exemple le nombre 25/100 sera noté « 0,25 » et non pas « 0,25000... » : cette notation est donc constituée d'un nombre fini de chiffres non nuls.

Le système de développement décimal ne permet pas de représenter de façon unique les nombres entiers ni les nombres décimaux. Cette particularité et les éventuelles difficultés de compréhension qu'elle provoque sont expliquées dans l'article développement décimal de l'unité. Ainsi, par exemple le nombre 1 peut être représenté de deux façons différentes : « 1,00000... » et « 0,999999... », ce qui conduit à l'égalité : 1=0,99999...... Et d'une façon générale, tout nombre entier ou décimal a deux représentations : ${\displaystyle a_{N}...a_{2}a_{1}a_{0},d_{1}d_{2}d_{3}..d_{n-1}d_{n}0000...}$ et ${\displaystyle a_{N}...a_{2}a_{1}a_{0},d_{1}d_{2}d_{3}..d_{n-1}(d_{n}-1)9999...}$.

On admet usuellement qu'une seule de ces deux représentations est utilisée : celle se terminant par une suite infinie de 0 , qu'on note ${\displaystyle a_{N}...a_{2}a_{1}a_{0},d_{1}d_{2}d_{3}..d_{n-1}d_{n}}$.

Le développement en base décimale est un cas particulier de système de numération par développement en base entière b[2].

Le système par développement en base b est une extension du système naturel de base b dans laquelle les chiffres sont 0, 1, 2..., (b-1) mais où les puissances de b peuvent être négatives et où la représentation d'un nombre a une longueur infinie. Pour toute base b > 1, un tel système permet de représenter tout nombre réel positif.

Les propriétés de ces systèmes de numération sont similaires à celles du développement décimal, en remplaçant « 9 » par « b-1 ».

Ainsi, par exemple, le nombre 1/2 en développement de base cinq est représenté par « 0,10000.... », et peut être écrit de façon condensée « 0,1 ». Et le nombre un, toujours en développement de base cinq, a deux représentations : « 1,0000... » et « 0,4444444... ».

Lorsque la base b est un réel non entier, on parle alors de bêta-numération.

La base d'or ou base φ est le système de numération utilisant le nombre d'or ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ comme base avec les chiffres 0 et 1[18]. Tout nombre réel positif peut être représenté dans ce système de numération. On peut aussi démontrer que tout réel positif peut être représenté en interdisant que la suite « 11 » soit utilisée dans la représentation : une représentation respectant cette règle est dite standard. Cette dernière règle est liée au fait que ${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$ : si elle n'est pas stipulée, le nombre ${\displaystyle \varphi ^{2}}$, par exemple, peut être représenté par « 11 » et par « 100 ». Certains nombres ont plusieurs représentations standards.

La base ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ permet d'écrire tout entier en utilisant les chiffres 0 et 1. Une méthode facile pour le démontrer est de constater qu'on peut convertir un nombre écrit en binaire en base ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ en insérant un chiffre nul entre deux chiffres binaires ; par exemple

1911₁₀ = 11101110111₂ = 101010001010100010101_{${\displaystyle {\sqrt {2}}}$}

et

5118₁₀ = 1001111111110₂ = 1000001010101010101010100_{${\displaystyle {\sqrt {2}}}$}.

Ceci implique que tout entier peut être écrit en base ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.

Cette base permet de décrire facilement certaines caractéristiques de polygones réguliers en fonction de la longueur des arêtes de ces polygones.

Exemple : un carré de côté 2₁₀ = 100_{${\displaystyle {\sqrt {2}}}$} a une diagonale de longueur 2${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ = 1000_{${\displaystyle {\sqrt {2}}}$} et une surface de 4₁₀ = 10000_{${\displaystyle {\sqrt {2}}}$}.

La base e permet notamment de noter simplement, avec les chiffres 0 et 1, les puissances de e (e = 10_e, e² = 100_e, etc.) qui sont aussi les nombres dont le logarithme naturel est entier : ln(1_e) = 0, ln(10_e) = 1, ln(100_e) = 2 et ln(1000_e) = 3.

La base b est, dans un tel système, un nombre imaginaire ou complexe. Par exemple, le système quater-imaginaire, qui utilise la base imaginaire ${\displaystyle 2i}$ avec ses puissances positives et négatives, permet de représenter tout nombre complexe en n'utilisant que les quatre chiffres 0, 1, 2 et 3[19].