Polynôme

L'histoire des polynômes est inséparable de celle de l'algèbre. Initialement créés pour résoudre des équations, ils se trouvent confondus avec les fonctions polynomiales. Au fur et à mesure que les recherches s'approfondissent, il se révèle nécessaire de distinguer plus nettement le polynôme formel de la fonction polynomiale. Cette évolution se fait conjointement avec le développement de l'algèbre générale. Les coefficients quittent alors le domaine des nombres usuels, comme les réels ou les complexes, pour appartenir à des anneaux commutatifs unitaires ou à des corps commutatifs quelconques. L'étude des polynômes formels ouvre la porte à celle des séries formelles.

Un polynôme f à une indéterminée est défini comme une expression formelle de la forme

${\displaystyle f=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}}$

où les coefficients a₀, … , a_n sont éléments d'un anneau A, et X est un symbole formel appelé indéterminée du polynôme.

Plus formellement, on peut définir un polynôme comme une suite d'éléments, d'un anneau, qui s'annule à partir d'un certain rang. Ainsi, la formule précédente sera une conséquence immédiate (en faisant recours à des notations mathématiques classiques à savoir la notation de Kronecker). Dans ce cas, les coefficients du polynôme coïncident avec les éléments de la suite associée.

L'ensemble des polynômes à une indéterminée X à coefficients dans un anneau A, noté A[X], peut être construit à partir de l'ensemble des suites ${\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ à support fini (donc nulles à partir d'un certain rang, appelées également suites presque nulles) d'éléments de A, en le munissant d'une structure d'anneau. Dans cette construction, un monôme aX^k est représenté par la suite qui est nulle partout, sauf en l'indice k où elle vaut a.

Le degré de ce polynôme est défini, si le polynôme est non nul (c'est-à-dire si ses coefficients ne sont pas tous nuls), par ${\displaystyle d=\max\{j\in \mathbb {N} \mid a_{j}\neq 0_{A}\}}$, c'est le plus grand exposant de X devant lequel le coefficient n'est pas nul. Le coefficient dominant de ce polynôme est alors ${\displaystyle a_{d}}$. On note généralement le degré d'un polynôme P, deg(P) ou d°(P). Par convention, le degré du polynôme nul vaut −∞.

Deux polynômes sont égaux si et seulement si les suites de leurs coefficients sont égales. Les polynômes à coefficients dans A peuvent être ajoutés simplement par l'addition des coefficients correspondants, et multipliés en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et la règle suivante :

aX^j bX^k = ab X^j+k pour tous les entiers naturels j et k.

On peut alors vérifier que l'ensemble de tous les polynômes à coefficients dans l'anneau A forme lui-même un anneau, et que l'application de A vers cet anneau qui envoie a sur a X⁰ est un morphisme injectif. L'anneau des polynômes à coefficients dans A est noté A[X] et on considère A comme sous-anneau de A[X] par le morphisme mentionné.

Si A est commutatif, alors A[X] est une algèbre associative sur A.

On peut engendrer l'anneau A[X] à partir de A en adjoignant un nouvel élément X à A et en exigeant que X commute avec tous éléments de l'ensemble A. Pour que l'ensemble obtenu devienne un anneau, toutes les combinaisons linéaires de puissances de X doivent être aussi adjointes à l'ensemble.

À tout polynôme P(X) de A[X], on peut associer une fonction polynomiale, d'ensemble de définition et d'arrivée A. On obtient la valeur de cette fonction pour un argument donné x en remplaçant partout le symbole X dans P(X) par x. Les algébristes font une distinction entre un polynôme et une fonction polynomiale car, sur certains anneaux A (par exemple sur les corps finis), deux polynômes différents peuvent avoir la même fonction polynomiale associée. Ceci n'est pas le cas sur le corps des réels ou des complexes et donc les « analystes » ne séparent pas les deux concepts.

Exemple : Sur le corps fini ℤ/2ℤ, le polynôme X + X² est non nul, mais sa fonction polynomiale associée l'est.

Morphisme d'évaluation : plus généralement, dans un polynôme P(X), on peut remplacer le symbole X par n'importe quel élément e appartenant à une algèbre associative E sur A. L'application qui, à tout polynôme P(X) dans A[X], associe l'élément P(e) de E (défini comme ci-dessus), est appelée morphisme d'évaluation en e de A[X] dans E. Un cas très fréquent est celui où A est un corps K, et E l'algèbre des matrices n × n sur K, ou bien l'algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel sur K. On définit ainsi des polynômes de matrices et d'endomorphismes :

${\displaystyle P(M)=a_{n}M^{n}+a_{n-1}M^{n-1}+\dots +a_{1}M+a_{0}I_{n}}$

${\displaystyle P(u)=a_{n}u^{n}+a_{n-1}u^{n-1}+\dots +a_{1}u+a_{0}Id_{E}}$

Ainsi, pour tout polynôme P(X), d'indéterminée X, P(u) est un « polynôme d'endomorphisme » pour chaque endomorphisme u et P(M) est un « polynôme de matrice » pour chaque matrice M.

En algèbre commutative, et plus précisément dans un anneau intègre (toujours commutatif et unitaire par définition), une attention particulière est portée sur l'étude de la divisibilité entre les polynômes. Des résultats plus forts existent quand les coefficients sont pris dans un corps.

Elles sont de deux types : extensions de l'anneau A[X] ou de l'anneau A de départ.

Le cas de ces polynômes sera juste évoqué ici car l'anneau A[X, Y] peut simplement être considéré comme l'anneau des polynômes de la variable Y à coefficients dans A[X].

Le degré du polynôme sera alors la plus grande valeur obtenue en faisant les somme des exposants de chaque indéterminée dans chaque monôme.

${\displaystyle X^{3}+3XYZ^{2}-5Y+7\,}$

est un polynôme de degré 4 à trois indéterminées.

Parmi les polynômes à n indéterminées, l'étude des polynômes symétriques et de leur groupe de permutations est un domaine important de l'algèbre.

Ces polynômes sont également dits multivariés, par opposition aux polynômes univariés, à une seule variable.

Il est également possible d'introduire les puissances négatives d'une variable et d'obtenir ainsi un anneau A[X, X⁻¹] dit de Laurent. C'est l'algèbre du groupe ℤ sur l'anneau A.

• Fonction polynomiale
• Équation polynomiale
• Dans le domaine de l'algèbre linéaire : Polynôme minimal d'un endomorphisme, Polynôme caractéristique
• Dans le domaine de la théorie de Galois : Polynôme minimal d'un nombre algébrique
• Dans le domaine de l'analyse : Polynôme d'interpolation, Polynômes orthogonaux
• Polynôme séquentiel
• Théorème de Gauss-Lucas
• Théorème de Laguerre
• Liste des polynômes remarquables
• En théorie de la complexité, la classe P contient exactement les problèmes de décision résolubles en temps polynomial, et la classe NP contient ceux résolubles en temps polynomial sur une machine non-déterministe.