Théorème de Gauss-Lucas

Il est facile de remarquer que si P(x) = ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂) est un polynôme du second degré, le zéro de P' est la demi-somme des zéros de P :

${\displaystyle P'(x)=2ax+b=a(x-x_{1}+x-x_{2})=0\Longleftrightarrow x=-{\frac {b}{2a}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}.}$

Par ailleurs, si un polynôme de degré n à coefficients réels admet n zéros réels distincts x₁ < x₂ < ... < x_n, on voit en utilisant le théorème de Rolle que les zéros du polynôme dérivé sont dans l'intervalle [x₁ , x_n].

Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation de cette propriété des polynômes.

Soit P un polynôme non constant à coefficients complexes. Alors tout zéro de P ' appartient à l'enveloppe convexe de l'ensemble des zéros de P.

Soit ${\displaystyle P(z)=c\prod _{i=1}^{r}(z-a_{i})^{n_{i}}}$ la décomposition de P en facteurs irréductibles : le complexe c est le coefficient dominant du polynôme, les complexes a_i en sont les zéros distincts, les entiers n_i leurs multiplicités respectives.

On a alors[note 2] :

${\displaystyle {\frac {P^{\prime }(z)}{P(z)}}=\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{z-a_{i}}}}$.

En particulier,

${\displaystyle {\hbox{si}}\quad P^{\prime }(z)=0\quad {\hbox{et}}\quad P(z)\neq 0}$,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{z-a_{i}}}=0\quad {\hbox{ou encore}}\quad \ \sum _{i=1}^{r}n_{i}{\frac {{\overline {z}}-{\overline {a_{i}}}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}=0,}$

ce qui s'écrit aussi

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}\right){\overline {z}}=\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}{\overline {a_{i}}}}$.

En prenant les conjugués, on voit que z est un barycentre à coefficients positifs des a_i.

Le cas où z est aussi zéro de P est évident.