Anneau unitaire

Une minorité d'auteurs définissent un anneau sans exiger l'existence d'un élément neutre pour la multiplication[7]. Le lecteur à la recherche d'informations sur cette structure, qui n'est pas l'objet du présent article, se réfèrera à l'article pseudo-anneau. Du fait de cette variabilité de définition, il peut être prudent lorsqu'on craint une confusion de préciser anneau unitaire (ou unifère[1]) lorsqu'on évoque un anneau au sens de cet article, un anneau ayant un neutre multiplicatif.

• L'ensemble à un seul élément {0} muni des opérations 0 + 0 = 0 et 0 · 0 = 0 est un anneau commutatif, appelé anneau nul, ou anneau trivial[8].
• L'ensemble ℤ des entiers relatifs, muni de l'addition et de la multiplication est un anneau commutatif[9].
• Un corps commutatif est un anneau commutatif pour lequel tous les éléments non nuls sont inversibles pour la multiplication. Parmi beaucoup d'autres, l'ensemble ℚ des nombres rationnels, l'ensemble ℝ des nombres réels, l'ensemble ℂ des nombres complexes, munis de l'addition et de la multiplication usuelles, sont des corps commutatifs, donc des anneaux commutatifs[10].
• L'ensemble des classes de congruence modulo un nombre entier strictement positif donné n est un anneau commutatif pour la loi provenant de la congruence ; il est noté ℤ/nℤ[9].
• L'ensemble des polynômes à coefficients dans un anneau commutatif est aussi un anneau commutatif[11].

• Les endomorphismes d'un espace vectoriel forment un anneau, où la première loi est l'addition de fonction pour la loi + et la deuxième la composition[12]. Il n'est pas commutatif en général.
• L'anneau M_n(A) des matrices carrées de taille n à coefficients dans un anneau unitaire A est lui-même un anneau unitaire (le neutre multiplicatif étant la matrice identité I_n), non commutatif si n > 1.
• Les quaternions d'Hamilton constituent un corps non commutatif[13].

• L'ensemble ℕ des entiers naturels n'est pas un anneau, car ce n'est pas un groupe quand on le munit de l'addition : l'existence des opposés fait défaut. C'est un semi-anneau.
• L'ensemble 2ℤ des entiers (relatifs) pairs n'est pas un anneau, car sa multiplication n'a pas d'élément neutre[14]. C'est un pseudo-anneau.
• L'ensemble des octonions n'est pas un anneau, car sa multiplication n'est pas associative[13]. On parle parfois d'anneau non associatif (en)[15].
• Pour tout groupe non trivial (G, +), le groupe (G^G, +) des applications de G dans G devient, lorsqu'on le munit de la composition ∘, un presque-anneau (en), mais pas un anneau même si G est commutatif, car la distributivité à gauche n'est pas vérifiée : on n'a pas f∘(g + h) = (f∘g) + (f∘h).

On trouvera davantage d'exemples aux sections idoines des articles consacrés à des classes particulières d'anneaux, et notamment les articles anneau commutatif, anneau intègre et algèbre associative sur un corps.

La section « Construction d'anneaux » ci-dessous fournit également une liste plus complète et systématisée d'exemples.

Un morphisme d'anneaux est une application f entre deux anneaux A et B qui est compatible avec leur structure, au sens précis suivant[16] :

Pour tous a, b dans A :

f(a + b) = f(a) + f(b)

f(a ∙ b) = f(a) ∙ f(b)

En particulier, si A et B sont unitaires, ce morphisme est dit unitaire si

f(1_A) = 1_B.

Les applications suivantes sont des exemples de morphismes d'anneaux :

• La conjugaison de l'anneau des nombres complexes vers lui-même[17]. Ce morphisme est bijectif (on dit que c'est un automorphisme de ℂ) ;
• Pour n entier strictement positif, la projection de ℤ sur l'anneau ℤ/nℤ ;
• La fonction d'évaluation, qui associe à un polynôme P à coefficients réels sa valeur P(c) en un réel fixé c.

Les morphismes d'anneaux se composent entre eux, faisant de la classe des anneaux une catégorie.

Une partie B d'un anneau A est appelée un sous-anneau de A lorsque[16] :

• B est un sous-groupe additif de A
• B est stable pour la multiplication
• Le neutre multiplicatif de A appartient à B.

Voici quelques exemples de sous-anneaux :

• L'anneau ℤ des entiers relatifs est un sous-anneau de l'anneau ℝ des nombres réels ;
• Les polynômes sans monôme du premier degré forment un sous-anneau de l'anneau de polynômes ℝ[X] ;
• Les fonctions continues de ℝ vers ℝ forment un sous-anneau de l'anneau de toutes les fonctions de ℝ vers ℝ.

Un morphisme d'anneaux injectif entre deux anneaux induit une identification entre son anneau de départ et un sous-anneau de son anneau d'arrivée[18].

De façon duale quoiqu'un peu plus technique, la notion d'anneau quotient permet de décrire l'anneau d'arrivée d'un morphisme surjectif comme un quotient de l'anneau de départ. Sa définition repose sur la notion d'idéaux bilatères, qui sont les objets par lesquels on peut quotienter (ils sont en ce sens analogues aux sous-groupes distingués de la théorie des groupes)[19].

Un idéal bilatère I d'un anneau A (ou simplement « idéal » quand aucune confusion n'est à craindre, notamment dans le cas commutatif) est un sous-groupe additif de A vérifiant[14] :

pour tout x de I et tout a de A, ax ∈ I et xa ∈ I.

On définit un idéal à gauche (resp. à droite) comme un sous-groupe additif pour lequel on exige seulement la condition ax ∈ I (resp. xa ∈ I)[14]. Quoiqu'ils ne permettent pas la construction d'anneaux quotients, ce sont des concepts importants en théorie des anneaux non commutatifs.

Voici quelques exemples d'idéaux :

• Dans tout anneau A, {0} et A sont deux idéaux bilatères de A[20].
• Dans un anneau commutatif A, l'ensemble des multiples d'un élément donné b (c'est-à-dire des ab, a parcourant A) est un idéal de A, dit idéal principal engendré par b. Par exemple, l'ensemble des multiples de 5 est un idéal de l'anneau ℤ.
• L'ensemble des polynômes à coefficients entiers dont le terme constant est pair est un idéal de l'anneau commutatif ℤ[X], qui n'est pas principal.
• Dans l'anneau non commutatif des matrices carrées à coefficients réels, l'ensemble des matrices dont la première colonne est nulle est un idéal à gauche, l'ensemble des matrices dont la première ligne est nulle est un idéal à droite. Il n'y a pas d'idéaux bilatères hormis les deux idéaux triviaux du premier exemple.

Un idéal bilatère I permet de construire un anneau quotient : le groupe quotient commutatif A/I peut être muni d'une multiplication qui en fait un anneau, la projection canonique de A sur A/I étant alors un morphisme surjectif. Comme annoncé en introduction à la sous-section, l'image de tout morphisme surjectif d'anneaux est isomorphe à un quotient de son anneau de départ (le quotient par le noyau du morphisme)[21].

Muni de sa seule multiplication, un anneau est un monoïde particulier. Les définitions qui font sens dans ce cadre plus large (voire dans un cadre encore plus général) peuvent donc être utilisées pour dénommer des propriétés d'éléments de l'anneau. Sont entre autres pertinents en théorie des anneaux les concepts suivants, qui concernent tous la deuxième loi (la multiplication) :

• ceux d'éléments permutables et d'élément central ;
• celui d'élément idempotent ;
• celui de puissances entières positives d'un élément (incluant la convention x⁰ = 1 pour tout x)[22] ;
• ceux d'élément inversible (ou seulement d'élément inversible à gauche, ou inversible à droite), et de puissances à exposant négatif pour de tels éléments. Comme dans tout monoïde, les inversibles forment un groupe, qu'on appelle le groupe des unités de l'anneau.

Dans tout anneau :

• 0 est absorbant pour la multiplication ;
• (–a) ∙ b = –(a ∙ b) (car (–a) ∙ b + (a ∙ b) = (–a + a) ∙ b = 0 ∙ b = 0) ;
• a ∙ (–b) = –(a ∙ b) (de même) ;
• en particulier, (–1) ∙ x = x ∙ (–1) = –x (donc (–1) ∙ (–x) = (–x) ∙ (–1) = –(–x) = x).

Dans un anneau, il est généralement impossible de simplifier dans une multiplication sans précautions. On sait par exemple que si des matrices carrées A, B et C vérifient l'identité AB = AC, on ne peut en déduire que B = C et ce même si A n'est pas la matrice nulle. Les deux concepts qui suivent permettent d'analyser ces défauts de simplification :

• un élément non nul a de A est un diviseur de zéro à droite (resp. à gauche) s'il existe un élément b de A non nul tel que ba = 0 (resp. ab = 0)[23]. On dit que c'est un diviseur de zéro si c'est un diviseur de zéro à droite ou un diviseur de zéro à gauche[24].
• un élément a de A est dit nilpotent lorsqu'il existe un entier m ≥ 1 tel que a^m = 0. Le plus petit entier pour lequel cette identité est vérifiée est appelé l'ordre de nilpotence de a. Tout élément nilpotent non nul est un diviseur de zéro.

Exemples : 2 est nilpotent dans tous les anneaux ℤ/2ⁿℤ où n ≥ 2.

La formule du binôme de Newton est applicable à tout couple d'éléments permutables[25]. Pour tous x, y permutables et tout entier n positif ou nul :

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.}$

Elle se généralise à toute famille finie d'éléments permutables deux à deux : c'est la formule du multinôme.

La caractéristique d'un anneau est, s'il existe, le plus petit entier strictement positif n tel que :

${\displaystyle \underbrace {1+1+\cdots +1} _{n\;termes}~=~0.}$

Si un tel entier n'existe pas (autrement dit si 1 est d'ordre additif infini) on dit que la caractéristique est nulle[26].

Le formalisme des espaces vectoriels, où des scalaires, éléments d'un corps, multiplient des vecteurs, peut être étendu à des scalaires éléments d'un anneau. On appelle modules les structures ainsi définies.

L'étude des modules est une fin en soi, et a de multiples retombées qui ne sont pas l'objet du présent article. L'une d'entre elles a néanmoins sa place ici : un anneau peut être considéré comme un module sur lui-même, ce qui permet le réinvestissement en théorie des anneaux de techniques propres aux modules.

Plus précisément, étant donné un anneau A dont on note x la multiplication, on conserve sa loi de groupe additif, et on le munit d'une loi externe notée ∙ en posant, pour α scalaire dans A et a vecteur dans A :

L'addition et cette loi externe munissent alors A d'une structure de module à gauche sur A. De la même façon, la loi externe définie par : a∙α = a x α le munirait d'une structure de module à droite.

Cette structure fournit un nouvel éclairage sur A. On constate par exemple que les idéaux à gauche (resp. droite) sont exactement les sous-modules pour la structure de module à gauche (resp. droite) et, dans le cas commutatif, que les idéaux sont exactement les sous-modules[27].

On appelle algèbre associative unitaire sur un anneau commutatif R un anneau A qui est en outre muni d'une loi externe de module ayant R pour anneau de scalaires, compatible avec la loi interne de multiplication au sens suivant : pour tout scalaire α dans R et tous éléments a, b de A :

Les algèbres associatives unitaires forment donc une vaste classe d'anneaux et en fournissent des collections très variées d'exemples importants. Par ailleurs tout anneau peut être considéré comme une algèbre sur ℤ de la même façon que tout groupe abélien peut être considéré comme un ℤ-module, et tout anneau commutatif peut être considéré comme une algèbre sur lui-même (la commutativité est indispensable ici)[28]. Les outils propres à la théorie des algèbres associatives sont donc disponibles pour construire et étudier des anneaux.

• (en) David M. Burton, A First Course in Rings and Ideals, Addison Wesley, 1970
  Tout en restant accessible à un débutant, ne néglige pas les anneaux non commutatifs. Prendre garde que dans cet ouvrage ring est employé pour désigner un pseudo-anneau.
• Jean Fresnel, Anneaux, Paris, Hermann, 2001, 359 p. (ISBN 978-2-7056-1447-8, BNF 37692694)
  Traite de façon prépondérante des anneaux commutatifs.

Les cours d'algèbre générale contiennent inévitablement un ou plusieurs chapitres consacrés aux anneaux. Sans chercher l'exhaustivité, on citera :

• N. Bourbaki, Algèbre, Hermann, 1970 ;
• (en) Paul Cohn, Algebra, t. 1, Wiley, 1974, 321 p. (ISBN 978-0-471-16430-2) ;(en) Algebra, t. 2, Wiley, 1989, 428 p. (ISBN 978-0-471-92234-6) ;
• Roger Godement, Cours d'Algèbre, Hermann, 1966, 2^e éd. (très accessible) ;
• (en) Pierre-Antoine Grillet, Abstract Algebra, New York, Springer-Verlag, 2007, 669 p. (ISBN 978-0-387-71567-4, BNF 41150017) ;
• Serge Lang, Algèbre, Paris, Dunod, 2004, 3^e éd., 926 p. (ISBN 978-2-10-007980-3, BNF 39285909) ;
• Saunders MacLane et Garrett Birkhoff, Algèbre : Structures fondamentales, Gauthier-Villars, 1967.

• (en) Tsit Yuen Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Springer, coll. « GTM » (n^o 131), 2001, 2^e éd. (1^re éd. 1991), 385 p. (ISBN 978-0-387-95183-6, présentation en ligne)
• (en) Louis Rowen, Ring theory, vol. 1, Boston, Academic Press, 1988 (ISBN 978-0-12-599841-3, BNF 44638370, lire en ligne)