Algèbre tensorielle

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}1&&a&b\\aa&ab&ba&bb\end{array}}}$

Les sept mots de deux lettres ou moins
sur l'ensemble {${\displaystyle a,b}$}.
Le mot vide est noté « 1 ».

Un mot sur un ensemble est une suite finie d'éléments de cet ensemble, souvent notée sans séparateurs ni parenthèses. L'algèbre libre sur un ensemble ${\displaystyle E}$ est l'espace vectoriel des familles presque nulles indexées par les mots sur ${\displaystyle E}$, muni de la multiplication induite par la concaténation. Chaque mot ${\displaystyle m}$ est identifié avec la suite qui vaut 1 en ${\displaystyle m}$ et 0 partout ailleurs.

La non-commutativité des lettres d'un mot empêche certaines simplifications usuelles comme dans l'égalité suivante :

${\displaystyle (a+b)(a-b)=aa-ab+ba-bb\,}$.

Il n'y a pas d'annulation de (−${\displaystyle ab}$) par (+${\displaystyle ba}$), a contrario de l'identité remarquable valable pour les nombres réels ou complexes.

${\displaystyle \lambda (v_{1}\otimes w)+(v_{2}\otimes w)=(\lambda v_{1}+v_{2})\otimes w}$

Exemple de relation linéaire entre deux éléments de l'algèbre tensorielle,
où ${\displaystyle \lambda }$ est un scalaire et ${\displaystyle v_{1}}$, ${\displaystyle v_{2}}$ et ${\displaystyle w}$ sont des vecteurs.

Pour définir l'algèbre tensorielle sur un espace vectoriel ${\displaystyle V}$, il suffit de considérer l'algèbre libre engendrée par tous les éléments de ${\displaystyle V}$ puis de la quotienter par l'idéal bilatère engendré par les relations linéaires sur ${\displaystyle V}$. L'algèbre quotient est notée ${\displaystyle T(V)}$. Dans ce cadre, les vecteurs servant de lettres dans chaque mot sont souvent séparées par le symbole du produit tensoriel, semblable à la croix de multiplication inscrite dans un cercle.

On fixe un espace vectoriel ${\displaystyle V}$ sur un corps ${\displaystyle K}$. Pour tout entier ${\displaystyle n\geq 1}$, on considère la puissance tensorielle ${\displaystyle V^{\otimes n}}$ (qui est le produit tensoriel sur ${\displaystyle K}$ de ${\displaystyle n}$ copies de ${\displaystyle V}$). Par convention, ${\displaystyle V^{\otimes 0}=K}$. Soit ${\displaystyle T(V)}$ l'espace vectoriel ${\displaystyle \oplus _{n\geq 0}V^{\otimes n}}$. On peut munir ${\displaystyle T(V)}$ d'une structure de ${\displaystyle K}$-algèbre de la façon suivante :

1. Soient ${\displaystyle n,m\geq 0}$. L'application ${\displaystyle (n+m)}$-linéaire canonique ${\displaystyle V^{n}\times V^{m}=V^{n+m}\to V^{\otimes (n+m)}}$ induit par propriété universelle du produit tensoriel une application bilinéaire ${\displaystyle V^{\otimes n}\times V^{\otimes m}\to V^{\otimes (n+m)}}$. On notera l'image de ${\displaystyle (x,y)}$ par ${\displaystyle x\otimes y}$. Concrètement, si ${\displaystyle x=v_{1}\otimes v_{2}\otimes ...\otimes v_{n}\in V^{\otimes n}}$[1] et ${\displaystyle y=u_{1}\otimes u_{2}\otimes ...\otimes u_{m}\in V^{\otimes m}}$, alors

${\displaystyle x\otimes y=v_{1}\otimes v_{2}\otimes ...\otimes v_{n}\otimes u_{1}\otimes u_{2}\otimes ...\otimes u_{m}}$.

2. On définit alors le produit ${\displaystyle x.y\,}$ de ${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}+...\,}$ et ${\displaystyle y=y_{0}+y_{1}+...\,}$ (avec ${\displaystyle x_{n},y_{n}\in V^{\otimes n}}$) par :

${\displaystyle x.y=\sum _{n,m}x_{n}\otimes y_{m}.}$

On vérifie que cela définit bien une structure de ${\displaystyle K}$-algèbre, et on appelle ${\displaystyle T(V)}$ l'algèbre tensorielle de ${\displaystyle V}$.

Propriété universelle d'extension.

• L'algèbre tensorielle ${\displaystyle T(V)}$ est une ${\displaystyle K}$-algèbre unitaire, non-commutative en général.
• L'algèbre tensorielle est graduée par la longueur des mots. Chaque tenseur se décompose de façon unique en une somme de tenseurs homogènes, c'est-à-dire qui sont combinaisons linéaires de mots de même longueur. Ceci est une traduction de l'écriture de ${\displaystyle T(V)}$ comme somme directe des ${\displaystyle V^{\otimes n}}$, ${\displaystyle n\geq 0}$. Les tenseurs homogènes de degré ${\displaystyle n}$ sont exactement les éléments de ${\displaystyle V^{\otimes n}}$. Les vecteurs de ${\displaystyle V}$ sont donc les tenseurs homogènes de degré 1.
• (Propriété universelle) Pour toute application linéaire ${\displaystyle f}$ d'un espace vectoriel ${\displaystyle V}$ vers une algèbre associative unitaire ${\displaystyle A}$, il existe un unique morphisme d'algèbres qui étende l'application ${\displaystyle f}$ à l'algèbre tensorielle ${\displaystyle T(V)}$. Concrètement, le morphisme envoie ${\displaystyle v_{1}\otimes ...\otimes v_{n}}$ sur ${\displaystyle f(v_{1})...f(v_{n})}$. Cette propriété caractérise l'algèbre tensorielle à isomorphisme unique près.