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Famille (mathématiques)

En mathĂ©matiques, la notion de famille est une gĂ©nĂ©ralisation de celle de suite, suite finie ou suite indexĂ©e par tous les entiers naturels. Ainsi on pourra parler, en algĂšbre linĂ©aire, de la famille de vecteurs (u1, u2, 
, un), qui est une famille finie, ou de la famille dĂ©nombrable (un)n ∈ N.

Une famille est toujours indexĂ©e, mĂȘme si elle l'est parfois implicitement, par exemple dans les locutions « famille libre » ou « famille gĂ©nĂ©ratrice ».

DĂ©finition

Une famille (xi)i ∈ I d'Ă©lĂ©ments xi d'un ensemble E, indexĂ©e par un ensemble I, l'index, est une application dĂ©finie sur I Ă  valeurs dans E. Il s'agit donc d'une terminologie et d'une notation, mieux adaptĂ©es Ă  certains usages, pour la notion connue d'application (ou de fonction). Les Ă©lĂ©ments de I sont appelĂ©s indices. L'Ă©lĂ©ment d'indice i de la famille (xi)i ∈ I est xi.

Quand on parle d’élĂ©ment d'une famille, il s'agit d'un Ă©lĂ©ment de l'ensemble image de la famille en tant qu'application : un Ă©lĂ©ment de la famille (xi)i ∈ I est l'un des xi.

Quand on parle de la cardinalité d'une famille, il s'agit a priori de la cardinalité de l'ensemble de ses indices (ou de façon équivalente de la cardinalité du graphe de la famille en tant qu'application). Cela dit, on peut toujours préciser : famille sur un ensemble d'indices de cardinalité telle. Ainsi une famille finie est une famille dont l'ensemble des indices est fini, une famille infinie est une famille dont l'ensemble des indices est infini, une famille dénombrable est une famille dont l'ensemble des indices est dénombrable, une famille vide est une famille indexée par l'ensemble vide, etc. Lorsqu'une famille est finie, l'ensemble de ses éléments est fini, mais la réciproque est fausse.

Quand on parle de suite, il s'agit d'une famille dont l'ensemble des indices est l'ensemble des entiers ou un sous-ensemble de celui-ci, fini ou infini (les n premiers entiers, les entiers non nuls
). Mais ce n'est pas exclusif : par exemple, en algĂšbre linĂ©aire, on parle volontiers de famille de vecteurs, mĂȘme dans ce cas. Plus gĂ©nĂ©ralement, on pourra parler, en thĂ©orie des ensembles, de suite pour une famille dont l'ensemble des indices est un ordinal, ou mĂȘme un ensemble « explicitement » bien ordonnĂ©.

Théorie axiomatique des ensembles

En théorie des ensembles, une application est le plus souvent identifiée à son graphe : c'est un ensemble de couples. Une application définie sur I est un ensemble de couples tels que chaque élément de I apparait une et une seule fois en premiÚre composante d'un couple de cet ensemble. C'est donc aussi la définition de famille d'ensembles indexée par I. On se préoccupe peu de l'ensemble d'arrivée dans ce cas. On montre cependant que si (Ai)i ∈ I est une famille d'ensembles, alors on peut bien parler de l'ensemble des Ai :

{Ai | i ∈ I} « est » un ensemble.

Cela peut se démontrer en utilisant essentiellement le fait qu'une application est un ensemble de couples et le schéma d'axiomes de compréhension (il faut revenir à la définition de couple en théorie des ensembles, et utiliser l'axiome de la réunion).

On peut donc dĂ©finir la rĂ©union[1] d'une famille d'ensembles indexĂ©e ; si I = Ø, cette rĂ©union est vide. Par contre parler de l'intersection de cette famille n'a de sens que si ≠ Ø.

Famille indexée de parties d'un ensemble

Si les Ai sont des parties d'un ensemble E, on pose :

la restriction I ≠ Ø pour l'intersection n'a pas lieu d'ĂȘtre dans ce cas ; si I = Ø, on a :

Propriétés diverses

Soit une famille de parties d'un ensemble, dont l'ensemble I des indices est lui-mĂȘme rĂ©union d'une famille . Alors :

[2]

Si et sont deux familles de parties d'un ensemble E :

I.

[3]

II.

III.

[4]

Références

  1. René Cori et Daniel Lascar, Logique mathématique II. Fonctions récursives, théorÚme de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modÚles [détail des éditions], p. 124 de l'édition de 1993.
  2. N. Bourbaki, ÉlĂ©ments de mathĂ©matique : ThĂ©orie des ensembles [dĂ©tail des Ă©ditions], p. EII.24.
  3. N. Bourbaki, ÉlĂ©ments de mathĂ©matique : ThĂ©orie des ensembles [dĂ©tail des Ă©ditions], p. EII.26.
  4. Paul Halmos, Introduction à la théorie des ensembles [détail des éditions], p. 46-47.

Articles connexes

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