Produit cartésien

• Pour tout ensemble A et tout ensemble B, il existe un ensemble P dont les éléments sont tous les couples dont la première composante appartient à A et la seconde à B :${\displaystyle \forall A\;\forall B\;\exists P\quad \forall z\;{\bigl (}z\in P\Leftrightarrow \exists x\;\exists y\;\left(x\in A\;\land \;y\in B\;\land \;z=(x,y)\right))}$.Cet ensemble est noté A × B (lire « A croix B ») et est appelé produit cartésien de A par B.
• Cas particulier : A × A est noté A² et appelé carré cartésien de A :${\displaystyle A^{2}=\{(x,y)\mid x\in A\;\land \;y\in A\}}$.

Soit A l'ensemble { A, R, D, V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 }. Soit B l'ensemble { pique, cœur, carreau, trèfle }. Alors le produit cartésien A × B de ces deux ensembles est un jeu classique de 52 cartes, c'est-à-dire l'ensemble :

{ (A, pique) ... (2, pique) , (A, cœur) ... (2, cœur) , (A, carreau) ... (2, carreau) , (A, trèfle) ... (2, trèfle) }.

• Un produit cartésien A × B est vide si et seulement si A ou B est vide. En particulier : pour tout ensemble ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \varnothing \times A=A\times \varnothing =\varnothing }$.
• Les deux facteurs d'un produit sont entièrement déterminés par ce produit, s'il est non vide. Plus précisément : si ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ alors ${\displaystyle y\in B\Leftrightarrow \exists x\quad (x,y)\in A\times B}$ et de même, si ${\displaystyle B\neq \varnothing }$ alors ${\displaystyle x\in A\Leftrightarrow \exists y\quad (x,y)\in A\times B}$.
• Si A et B sont finis, alors le cardinal de A × B est égal au produit des cardinaux de A et de B.
• Le produit cartésien de deux ensembles est unique d'après l'axiome d'extensionnalité. Si on considère couples et produits cartésiens comme des notions primitives, on aura comme axiome cette propriété d'existence et d'unicité. Elle se démontre, en théorie des ensembles ZFC, pour la représentation des couples choisie.

En théorie des ensembles, si on choisit, comme usuellement, la représentation des couples de Kuratowski, les couples dont la première composante est dans A et la seconde dans B sont des éléments de P[P(A∪B)] (où P(E) désigne l'ensemble des parties de E). L'existence de cet ensemble résulte de l'axiome de la réunion et de l'axiome de l'ensemble des parties.

On peut par conséquent définir le produit cartésien par compréhension. On aura alors besoin des couples et donc, en plus des axiomes précédents, dans Z de l'axiome de la paire et du schéma d'axiomes de compréhension ou dans ZF de l'ensemble des parties à nouveau et du schéma d'axiomes de remplacement (dont conjointement se déduit l'existence de paires) :

${\displaystyle A\times B=\left\{(a,b)\mid (a\in A)\wedge (b\in B)\right\}=\left\{z\in P(P(A\cup B))\mid \exists a\in A\;\exists b\in B\ z=(a,b)\right\}}$.

On peut même se passer de l'ensemble des parties en utilisant deux fois le schéma d'axiomes de remplacement[1] : une fois pour A × {b} et une autre fois pour :

${\displaystyle A\times B=\bigcup _{b\in B}A\times \{b\}}$.

dessin pour fonctions de deux variables

Se donner une application d'un ensemble ${\displaystyle X}$ dans le produit cartésien ${\displaystyle A\times B}$ de deux ensembles ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ revient à se donner deux applications : l'une de ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle A}$ et l'autre de ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle B}$. Plus formellement : l'ensemble ${\displaystyle A\times B}$, muni des deux projections ${\displaystyle p_{1}:A\times B\to A,(a,b)\mapsto a}$ et ${\displaystyle p_{2}:A\times B\to B,(a,b)\mapsto b}$, est caractérisé à un isomorphisme canonique près[2] - [3] par la propriété universelle suivante : pour tout ensemble ${\displaystyle X}$ et toutes applications ${\displaystyle f_{1}:X\to A}$ et ${\displaystyle f_{2}:X\to B}$, il existe une unique application ${\displaystyle f:X\to A\times B}$ telle que ${\displaystyle f_{1}=p_{1}\circ f}$ et ${\displaystyle f_{2}=p_{2}\circ f}$[4]. On résume cette propriété universelle en disant que ${\displaystyle (A\times B,p_{1},p_{2})}$ est le produit de ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ dans la catégorie des ensembles.

La théorie des catégories définit ainsi de façon systématique des produits plus généraux, soit prenant en compte des structures supplémentaires (groupes produits, espaces topologiques produits), soit rajoutant des contraintes (produit d'une famille d'ensembles, produit fibré, etc.).

De façon analogue aux couples la propriété visée est que deux triplets sont égaux si et seulement si leurs premières composantes sont égales entre elles, puis leurs deuxièmes composantes, et enfin leurs troisièmes :

${\displaystyle \forall a\,\forall b\,\forall c,\forall d\,\forall e\,\forall f\,[\,(a,b,c)=(d,e,f)\,]\Leftrightarrow [\,(a=d)\wedge (b=e)\wedge (c=f)\,]}$

Plusieurs définitions sont possibles pour le triplet (a,b,c), par exemple :

• (a, b, c) = ((a, b), c)[5] ;
• (a, b, c) = (a, (b, c))[6] ;
• une famille dont l'ensemble des indices est un ensemble à 3 éléments[7].

Ces définitions ne sont pas équivalentes mais donnent toutes la propriété précédente.

Il est défini par :

${\displaystyle A\times B\times C=\left\{(a,b,c)\mid (a\in A)\wedge (b\in B)\wedge (c\in C)\right\}}$

(avec la première définition proposée au paragraphe précédent, A × B × C = (A × B) × C, avec la seconde A × B × C = A × (B × C), la troisième est un cas particulier de celle donnée au paragraphe #Produit cartésien d'une famille d'ensembles).

Le produit A × A × A est appelé cube cartésien de A et il est noté A³ (lire « A au cube ») :

${\displaystyle A^{3}=\{(x,y,z)|(x\in A)\wedge (y\in A)\wedge (z\in A)\}}$.

Les définitions précédentes se généralisent à un n-uplet quelconque. La propriété visée pour ceux-ci est la suivante.

Propriété fondamentale d'un n-uplet :

${\displaystyle \forall \left(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right),\forall \left(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}\right),\quad [\,(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\,]\Leftrightarrow [\,(a_{1}=b_{1})\wedge (a_{2}=b_{2})\wedge \cdots \wedge (a_{n}=b_{n})\,]}$.

Les deux premières définitions se généralisent par récurrence[6], par exemple pour la première :

(a₁, a₂, … , a_n) = ((a₁, a₂, … , a_n-1), a_n).

Pour la dernière il suffit de disposer d'un famille indexée par un ensemble à n éléments.

Le produit cartésien de n ensembles est alors défini par :

${\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}=\prod _{i=1}^{n}A_{i}=\left\{\left(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\right)|a_{1}\in A_{1},\dots ,a_{n}\in A_{n}\right\}}$

et donc la puissance cartésienne n-ième d'un ensemble par :

${\displaystyle A^{n}=\prod _{i=1}^{n}A=\{(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})\mid \forall i,x_{i}\in A\}}$.

Une famille A d'ensembles indexée par un ensemble I est une fonction définie sur I. L'image de i par A est notée A_i. Il s'agit juste d'une notation (adaptée à un certain usage) pour une construction connue. La famille A indexée par I sera plutôt notée (A_i)_i∈I.

On peut maintenant définir le produit cartésien d'une famille d'ensembles (A_i)_i∈I, que l'on note habituellement ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$, ou parfois ${\displaystyle \times _{i\in I}A_{i}}$.

Il s'agit de l'ensemble des fonctions f de I dans la réunion de la famille, telles que pour tout i dans I, f(i) appartienne à A_i :

${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}=\left\{\left.f:I\to \bigcup _{i\in I}A_{i}\ \right|\ \forall \ i,\,f(i)\in A_{i}\right\}}$.

• Pour utiliser cette définition, il faut pouvoir extraire d'un élément du produit sa composante d'indice j, élément de I. Pour cela, on définit pour tout j dans I, la fonction appelée j-ème projection,${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i\in I}A_{i}\to A_{j},\quad f\mapsto f(j).}$
• On peut définir plus généralement, pour toute partie J de I, la « projection d'indice J », à valeurs dans le « produit partiel » indexé par J[9] :${\displaystyle \pi _{J}:\prod _{i\in I}A_{i}\to \prod _{i\in J}A_{i},\quad f\mapsto (f(i))_{i\in J}.}$(Si J est un singleton { j }, le produit partiel indexé par J est en bijection canonique avec A_j[9].)
• On peut énoncer l'axiome du choix ainsi : le produit d'une famille d'ensembles non vides est non vide.
• Le produit d'une famille d'ensembles indexée par l'ensemble vide est, d'après la définition ci-dessus, le singleton dont l'unique élément est la fonction vide de ∅ dans ∅.

Soient A et B deux ensembles. Pour toute paire I = {α, β} (par exemple α = ∅ et β = {∅}), on a une bijection canonique entre le produit A×B des deux ensembles et le produit de la famille (A_i)_i∈I définie par A_α = A et A_β = B, en associant à tout couple (x, y) de A×B l'élément f défini par f(α) = x et f(β) = y[9].

Soient (A_i)_i∈I une famille d'ensembles et (J_k)_k∈K une partition de I[10]. L'application canonique

${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}\to \prod _{k\in K}{\Bigg (}\prod _{i\in J_{k}}A_{i}{\Bigg )},\quad f\mapsto (\pi _{J_{k}}(f))_{k\in K}}$

est bijective[11].

Par récurrence, le produit de n ensembles s'identifie ainsi au produit d'une famille indexée par {1, 2, … , n}.