Produit (catégorie)

produit

Soit ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ une catégorie et ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ une famille d'objets de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. On cherche un couple ${\displaystyle (X,(\pi _{i})_{i\in I})}$, où X soit un objet de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ et ${\displaystyle (\pi _{i})_{i\in I}}$ une famille de morphismes ${\displaystyle \pi _{i}:X\to X_{i}}$, tel que pour tout objet Y de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ et pour toute famille de morphismes ${\displaystyle f_{i}:Y\to X_{i}}$, il existe un unique morphisme ${\displaystyle f:Y\to X}$ tel que pour tout indice i, on ait ${\displaystyle \pi _{i}\circ f=f_{i}}$.

Si un tel couple ${\displaystyle (X,(\pi _{i})_{i\in I})}$ existe, on dit que c'est un produit des ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$[1]. On dit aussi, moins rigoureusement, que X est un produit des ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$. Les morphismes ${\displaystyle \pi _{i}}$ sont appelés les projections canoniques et les morphismes ${\displaystyle f_{i}}$ les composantes de ${\displaystyle f}$.

Étant donné une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ et une famille ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ d'objets de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, les couples ${\displaystyle (Y,(\lambda _{i})_{i\in I})}$, où Y est un objet de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ et ${\displaystyle (\lambda _{i})_{i\in I}}$ une famille de morphismes ${\displaystyle \lambda _{i}:Y\to X_{i}}$, sont les objets d'une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$, les morphismes (selon ${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$) de l'objet ${\displaystyle (Y,(\lambda _{i})_{i\in I})}$ vers l'objet ${\displaystyle (Y',(\lambda '_{i})_{i\in I})}$ étant les morphismes (selon ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$) f de Y dans Y' tels que, pour tout i, ${\displaystyle \lambda '_{i}\circ f=\lambda _{i}}$ (le morphisme identité de ${\displaystyle (Y,(\lambda _{i})_{i\in I})}$ dans la catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$ étant le morphisme identité de Y dans la catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$). La définition du produit revient alors à dire qu'un produit de la famille ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ d'objets de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est un objet final de la catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$[1]. Comme deux objets finaux d'une catégorie sont isomorphes dans cette catégorie, deux produits ${\displaystyle (X,(\pi _{i})_{i\in I})}$ et ${\displaystyle (X',(\pi '_{i})_{i\in I})}$ d'une même famille d'objets de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ sont toujours isomorphes dans ${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$, donc, a fortiori, les «produits» X et X' sont isomorphes dans ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Réciproquement, si X et X' sont deux objets isomorphes de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, si X est un «produit» d'une famille d'objets de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, alors X' est lui aussi un «produit» de cette famille. Tout ceci montre que le produit est défini à isomorphisme près.

Dans toute catégorie, le produit des ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$, lorsqu'il existe, représente le foncteur qui à un objet Y de C associe le produit cartésien ${\displaystyle \prod _{i\in I}Hom(Y,X_{i})}$.

La somme est la propriété duale du produit : la somme correspond au produit de la catégorie duale.

• Dans la catégorie des ensembles, le produit d'une famille d'ensembles est leur produit cartésien, muni des projections respectives.
• Le produit indexé par l'ensemble vide est l'objet final.
• Dans la catégorie des magmas, des monoïdes ou des groupes, le produit est le produit direct. Il se construit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Le produit commute donc avec le foncteur d'oubli.
• Lorsque A est un anneau commutatif, dans la catégorie des A-modules, le produit est le produit direct. La catégorie des K-espaces vectoriels ainsi que la catégorie des groupes commutatifs en sont des cas particuliers.
• Le produit d'une famille de corps (resp. corps commutatifs) n'existe pas forcément dans la catégorie des corps (resp. corps commutatifs). Par exemple, si K désigne un corps (commutatif) à 2 éléments et L un corps (commutatif) à 3 éléments, le produit de K et de L n'existe pas dans la catégorie des corps ni dans celle des corps commutatifs. En effet, les projections d'un tel produit M seraient respectivement des homomorphismes de M dans K et dans L. Or tout homomorphisme de corps est injectif, donc M serait isomorphe à la fois à un sous-corps d'un corps à 2 éléments et à un sous-corps d'un corps à 3 éléments, ce qui est impossible.
• Dans la catégorie des espaces topologiques, le produit s'obtient en construisant la topologie produit (topologie de la convergence simple) sur le produit cartésien.
• Le produit fibré est une version plus sophistiquée du produit.

Limite projective