Corps gauche

Un corps gauche est un anneau (unitaire) non nul dans lequel tout élément non nul a un inverse. Dit autrement, c'est un anneau dans lequel les éléments non nuls forment un groupe pour la multiplication.

• Tout corps commutatif est un corps gauche.
• L'exemple le plus célèbre de corps gauche non commutatif est celui des quaternions, découvert par William Rowan Hamilton en 1843.
• Soit ${\displaystyle \sigma$ :\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} } un automorphisme de corps. Soit ${\displaystyle \mathbb {C} ((z,\sigma ))}$ l'anneau des séries de Laurent formelles à coefficients complexes avec la loi multiplicative définie de la façon suivante : au lieu de simplement autoriser les coefficients à commuter avec l'indéterminée ${\displaystyle z}$, pour ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$, on pose ${\displaystyle z^{i}\alpha$ :=\sigma ^{i}(\alpha )z^{i}} pour ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$. Si ${\displaystyle \sigma }$ est un automorphisme non trivial du corps des complexes (par exemple la conjugaison), alors l'anneau des séries de Laurent formelles correspondant est un corps gauche non commutatif.

• Un théorème de Wedderburn assure que tout corps gauche fini est commutatif.
• Étant donné un module simple sur un anneau (unitaire) R, l'anneau des endomorphismes de ce module est un corps gauche, a priori non commutatif même si R l'est. C'est une des nombreuses formes du lemme de Schur[1].
• Le centre d'un corps gauche K est par définition l'ensemble Z(K) = {x ∈ K | ∀y ∈ K, xy = yx}. C'est un corps commutatif. De ce fait, un corps gauche est naturellement muni d'une structure d'algèbre associative sur un corps commutatif ; c'est un cas particulier d'algèbre à division. Lorsque la dimension de K sur son centre est finie, on montre qu'elle est un carré[2].

• Algèbre à division
• Identité de Hua (en)
• Presque-corps (en)