Conjugué
En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée.
Représentation géométrique (diagramme d'Argand) de z et de son conjugué z̅ dans le plan complexe. Le conjugué est obtenu par symétrie par l'axe des réels.
Définition
Le conjugué d'un nombre complexe , où a et b sont nombres réels, est noté[1] - [2] ou . Dans le plan, le point d'affixe est le symétrique du point d'affixe par rapport à l'axe des abscisses. Le module du conjugué reste inchangé.
On peut définir une application, appelée conjugaison, par
Cette application est ℝ-linéaire et continue. C'est de plus un automorphisme du corps ℂ.
Propriétés
On prend .
- si w est non nul
- si et seulement si
- pour z non nul.
Quaternions
Le conjugué du quaternion est .
Propriété
- On peut calculer aisément l'inverse d'un quaternion en utilisant les propriétés du quaternion conjugué.
Algèbre linéaire
L'opération de conjugaison peut s'étendre aux espaces vectoriels complexes et à leurs éléments. Elle permet de former des espaces vectoriels conjugués.
Notes et références
- Norme ISO/CEI 80000-2 : z principalement en mathématiques, z* principalement en physique et sciences de l'ingénieur.
- z se lit « z barre ».
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