Espace vectoriel conjugué

Soit ${\displaystyle (E,+,\cdot )}$ un espace vectoriel sur le corps ℂ des nombres complexes. On appelle espace vectoriel conjugué de ${\displaystyle (E,+,\cdot )}$, l'ensemble E muni de la même opération d'addition + et du produit par les scalaires ${\displaystyle \star }$ défini par :

${\displaystyle \star$ :(\lambda ,u)\in \mathbb {C} \times E\mapsto \lambda \star u={\overline {\lambda }}\cdot u}

où λ désigne le conjugué du nombre complexe λ.

Le triplet ${\displaystyle (E,+,\star )}$ est également un espace vectoriel complexe, appelé conjugué de ${\displaystyle (E,+,\cdot )}$ et de même dimension sur ℂ.

Comme il est usuel par abus de notation de désigner une structure mathématique par l'ensemble sous-jacent, si l'on retient la notation E comme raccourci de ${\displaystyle (E,+,\cdot )}$, il est pratique de désigner par E l'espace vectoriel ${\displaystyle (E,+,\star )}$. On se convaincra sans mal que ${\displaystyle {\overline {\overline {E}}}=E.}$

On peut par ailleurs définir l'opération formelle de conjugaison qui associe à ${\displaystyle v\in E}$ l'élément ${\displaystyle {\overline {v}}\in {\overline {E}}}$ (en fait le même objet, mais envisagé comme membre d'un espace vectoriel différent). Par un abus supplémentaire de notation, l'opération de produit par les scalaires dans E peut alors être notée avec le même symbole « ∙ » (la nature des vecteurs indique alors l'opération à considérer). On a ainsi :

• ${\displaystyle \forall (\lambda ,v)\in \mathbb {C} \times E\quad {\overline {\lambda \cdot v}}={\overline {\lambda }}\cdot {\overline {v}},}$
• ${\displaystyle \forall v\in E\quad {\overline {\overline {v}}}=v.}$

L'opération de conjugaison de E dans E est l'exemple canonique d'application antilinéaire.

Toute application linéaire f : V → W induit une application linéaire conjuguée f : V → W, définie par la formule :

${\displaystyle {\overline {f}}({\overline {v}})={\overline {\,f(v)\,}}.}$

De plus, la conjuguée de l'identité de V est l'identité de V, et quelles que soient les applications linéaires f et g composables, on a :

${\displaystyle {\overline {f}}\circ {\overline {g}}={\overline {f\circ g}}.}$

Ainsi, la conjugaison (V ↦ V, f ↦ f) est un foncteur covariant, de la catégorie des espaces vectoriels complexes dans elle-même.

Si V et W sont de dimensions finies et si f est représentée par une matrice A dans un couple de bases (ℬ, 𝒞) de (V, W), alors f est représentée, dans les bases (ℬ, 𝒞), par la matrice conjuguée A.

Un produit hermitien sur E, défini comme forme sesquilinéaire sur E, c'est-à-dire antilinéaire à gauche et linéaire à droite (ou inversement suivant les auteurs), peut également être défini comme une forme bilinéaire sur E × E.

Si E est un espace de Hilbert, alors E est canoniquement isomorphe à E', le dual topologique de E. Autrement dit :

${\displaystyle \forall \phi \in E'\quad \exists$ !{\overline {u}}\in {\overline {E}}\quad ({\bar {u}}|v)=\langle \phi ,v\rangle =\phi (v)}

où ${\displaystyle (\cdot |\cdot )}$ désigne le produit hermitien de E et ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ le crochet de dualité.

Représentation conjuguée