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Application identité

En mathématiques, l'application identité ou la fonction identité est l'application qui n'a aucun effet lorsqu'elle est appliquée à un élément : elle renvoie l'argument sur lui-même. Formellement, sur un ensemble , c'est l'application :

Le graphe de l'application identité de est appelé la diagonale du produit cartésien . Pour l'ensemble des réels, ce graphe est la première bissectrice du plan euclidien.

Graphe de la fonction identité sur .

Notations

L'application identité de est notée ou . Quand il n'y a pas d'ambiguïté sur l'ensemble sur lequel on travaille, on la note simplement ou [N 1].

Propriétés remarquables

Pour toute application d'un ensemble dans un ensemble , on a :

En particulier, l'application identité est l'élément neutre du monoïde des applications de dans lui-même muni de la composition de fonctions, et du groupe des bijections de dans lui-même, appelé le groupe symétrique de .

En algèbre linéaire

Si est un espace vectoriel, alors est une application linéaire et son déterminant vaut .

De plus, si est de dimension finie , alors la matrice représentant est la matrice identité dans n'importe quelle base de :

En topologie

L'application identité permet de comparer deux topologies : sur , une topologie est plus fine qu'une topologie lorsque est continue de dans .

Notes et références

Notes

  1. Elle est parfois notée , mais cette dernière notation peut prêter à confusion avec la fonction indicatrice d'une partie d'un ensemble.
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