Application identité

L'application identité de ${\displaystyle E}$ est notée ${\displaystyle \mathrm {Id} _{E}}$ ou ${\displaystyle \mathrm {id} _{E}}$. Quand il n'y a pas d'ambiguïté sur l'ensemble ${\displaystyle E}$ sur lequel on travaille, on la note simplement ${\displaystyle \mathrm {Id} }$ ou ${\displaystyle \mathrm {id} }$ [N 1].

Pour toute application ${\displaystyle f}$ d'un ensemble ${\displaystyle E}$ dans un ensemble ${\displaystyle F}$, on a :

${\displaystyle f\circ \mathrm {id} _{E}=f=\mathrm {id} _{F}\circ f}$

En particulier, l'application identité est l'élément neutre du monoïde des applications de ${\displaystyle E}$ dans lui-même muni de la composition de fonctions, et du groupe des bijections de ${\displaystyle E}$ dans lui-même, appelé le groupe symétrique de ${\displaystyle E}$.

Si ${\displaystyle E}$ est un espace vectoriel, alors ${\displaystyle \mathrm {id} _{E}}$ est une application linéaire et son déterminant vaut ${\displaystyle 1}$.

De plus, si ${\displaystyle E}$ est de dimension finie ${\displaystyle n}$, alors la matrice représentant ${\displaystyle \mathrm {id} _{E}}$ est la matrice identité ${\displaystyle I_{n}}$ dans n'importe quelle base ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle E}$ :

${\displaystyle \mathrm {Mat} _{B}(\mathrm {id} _{E})=I_{n}}$

L'application identité permet de comparer deux topologies : sur ${\displaystyle X}$, une topologie ${\displaystyle \tau _{2}}$ est plus fine qu'une topologie ${\displaystyle \tau _{1}}$ lorsque ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ est continue de ${\displaystyle (X,\tau _{2})}$ dans ${\displaystyle (X,\tau _{1})}$.