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Ensemble

En mathĂ©matiques, un ensemble dĂ©signe intuitivement un rassemblement d’objets distincts (les Ă©lĂ©ments de l'ensemble), « une multitude qui peut ĂȘtre comprise comme une totalitĂ© » pour paraphraser Georg Cantor qui est Ă  l'origine de la thĂ©orie des ensembles.

Ensemble de polygones dans un diagramme d'Euler

Dans une approche axiomatique, la théorie des ensembles est une théorie de l'appartenance (un élément d'un ensemble est dit « appartenir » à cet ensemble). Le mot ensemble désigne alors un objet du domaine de cette théorie, et les propriétés des ensembles sont régies par les axiomes de celle-ci. La théorie des ensembles est utilisée pour fonder les mathématiques, et dans cette approche tout objet mathématique est in fine un ensemble.

Mais la notion d'ensemble est aussi une notion de base qui intervient dans à peu prÚs tous les domaines des mathématiques[1].

Origines

Le mathĂ©maticien Georg Cantor, Ă©nonçait : « Par ensemble, nous entendons tout rassemblement M en une totalitĂ© d’objets m de notre intuition ou de notre pensĂ©e, dĂ©terminĂ©s et bien diffĂ©renciĂ©s (qui seront appelĂ©s les Ă©lĂ©ments de M). »[2] - [3]. Ceci Ă©tait particuliĂšrement novateur, s'agissant d'ensembles Ă©ventuellement infinis (ce sont ces derniers qui intĂ©ressaient Cantor).

Ce qui est en jeu au premier chef dans la notion d'ensemble, c'est la relation d’appartenance : un Ă©lĂ©ment appartient Ă  un ensemble. Ce sont les propriĂ©tĂ©s de cette relation que Zermelo, puis d'autres, ont axiomatisĂ©es en thĂ©orie des ensembles. Il est assez remarquable que l'on puisse s'en contenter pour une thĂ©orie qui peut potentiellement formaliser les mathĂ©matiques. Mais ce n'Ă©tait pas l'intention de Cantor, et il n'avait pas non plus axiomatisĂ© sa thĂ©orie.

L'objet de cet article est de donner une approche intuitive de la notion d'ensemble, telle qu'elle est indiquée dans l'article théorie naïve des ensembles.

Ensembles, éléments et appartenance

Un ensemble peut ĂȘtre vu comme une sorte de sac virtuel entourant ses Ă©lĂ©ments, ce que modĂ©lisent bien les diagrammes de Venn. Souvent (ce n'est pas toujours possible), on essaye de le distinguer typographiquement de ses Ă©lĂ©ments, par exemple en utilisant une lettre latine majuscule, par exemple « E » ou « A », pour reprĂ©senter l'ensemble, et des minuscules, telles que « x » ou « n », pour ses Ă©lĂ©ments.

Les Ă©lĂ©ments peuvent ĂȘtre de n’importe quelle nature : nombres, points gĂ©omĂ©triques, droites, fonctions, autres ensembles
 On donne donc volontiers des exemples d'ensembles en dehors du monde mathĂ©matique. Par exemple : lundi est un Ă©lĂ©ment de l’ensemble des jours de la semaine ; une bibliothĂšque est un ensemble de livres, etc.

Un mĂȘme objet peut ĂȘtre Ă©lĂ©ment de plusieurs ensembles : 4 est un Ă©lĂ©ment de l'ensemble des nombres entiers, ainsi que de l’ensemble des nombres pairs (forcĂ©ment entiers). Ces deux derniers ensembles sont infinis, ils ont une infinitĂ© d’élĂ©ments.

L'appartenance d'un Ă©lĂ©ment, notĂ© par exemple x, Ă  un ensemble, notĂ© par exemple A, s’écrit : x ∈ A.

Cet énoncé peut se lire :

  • « x appartient Ă  A »,
  • « x est Ă©lĂ©ment de A »,
  • « x est dans A »,
  • « A a pour Ă©lĂ©ment x »,
  • « A possĂšde x »,
  • ou parfois « A contient x » (il y a ambiguĂŻtĂ© cependant dans ce dernier cas, A contient x peut signifier que x est un sous-ensemble de A, c’est-Ă -dire que x est un ensemble et que tous ses Ă©lĂ©ments appartiennent Ă  A, ce qui est trĂšs diffĂ©rent de « x appartient Ă  A »).

Le symbole « ∈ », dérive de la lettre grecque Δ (epsilon) introduite par Giuseppe Peano dÚs 1889[4].

Pour Peano « x Δ A » se lit « x est un A », par exemple « x Δ N » se lit « x est un entier positif ou nul». Le Δ renvoie Ă  l'initiale du mot « est » (en latin, langue de l'article de Peano de 1889 !), en français, ou en italien (« Ăš »). Bertrand Russell reprend les notations de Peano en 1903 dans les Principles of Mathematics[5], ouvrage qui va participer Ă  leur diffusion, et oĂč est utilisĂ©e la forme arrondie vieillie du epsilon : « Ï” », en usage dans l'Ă©dition mathĂ©matique anglo-saxonne.

Comme souvent pour les relations, on barre ce symbole pour indiquer sa nĂ©gation, la non-appartenance d’un objet Ă  un ensemble :

« z ∉ A » signifie « z n’appartient pas Ă  A ».

ÉgalitĂ© de deux ensembles

En mathĂ©matiques – et pas seulement en mathĂ©matiques d'ailleurs –, on considĂšre que deux objets sont Ă©gaux quand ils ont les mĂȘmes propriĂ©tĂ©s, que l'on ne peut donc les distinguer l'un de l'autre – c'est la dĂ©finition de l'Ă©galitĂ© de Leibniz. Dire que deux objets sont Ă©gaux, c'est-Ă -dire que deux expressions dĂ©signent en fait le mĂȘme objet, c'est donc donner une information sur ce que sont ces objets. En thĂ©orie des ensembles on dĂ©cide qu'un ensemble est complĂštement caractĂ©risĂ© par ses Ă©lĂ©ments, son extension, alors qu'il peut avoir plusieurs dĂ©finitions. Par exemple, il n'y a pas lieu de distinguer l'ensemble des entiers diffĂ©rents d'eux-mĂȘmes et l'ensemble des entiers supĂ©rieurs Ă  tous les nombres premiers : ces deux ensembles sont tous les deux vides, donc Ă©gaux – ils ont bien les mĂȘmes Ă©lĂ©ments –, mĂȘme s'ils ont des dĂ©finitions diffĂ©rentes, et sont vides pour des raisons trĂšs diffĂ©rentes.

On dira donc que deux ensembles A et B sont Ă©gaux (on le notera comme d'habitude A = B) quand ils ont exactement les mĂȘmes Ă©lĂ©ments. Cette propriĂ©tĂ© est connue sous le nom d'extensionnalitĂ© :

(ExtensionnalitĂ©) A = B si et seulement si ∀x (x ∈ A ⇔ x ∈ B)

oĂč « ⇔ » dĂ©signe l'Ă©quivalence logique. Deux ensembles qui ont les mĂȘmes Ă©lĂ©ments sont bien identiques : tout ce qui peut ĂȘtre dit de l'un peut ĂȘtre dit de l'autre. Si nous nous reprĂ©sentons les deux ensembles comme des sacs Ă©tiquetĂ©s chacun par leur nom, s’ils sont Ă©gaux, alors il s’agit en fait d’un seul et mĂȘme sac avec deux Ă©tiquettes. Par contre, les propriĂ©tĂ©s d’un ensemble ne dĂ©pendent absolument pas de la nature ou de la forme du sac, seulement de son contenu.

Ainsi un ensemble est complÚtement déterminé par ses éléments. Quand un ensemble est fini, il est donc possible de le définir en donnant la liste de ses éléments, que l'on note traditionnellement entre accolades. Par exemple l'ensemble auxquels appartiennent les éléments 2, 3, et 5, et seulement ces éléments, est noté {2, 3, 5}. L'ensemble est défini en extension.

Mais on ne peut procĂ©der ainsi en toute gĂ©nĂ©ralitĂ©, on ne pourrait dĂ©finir ainsi un ensemble infini. MĂȘme si quelques artifices de notation qui ressemblent Ă  la notation en extension sont possibles (voir ci-aprĂšs), la façon la plus gĂ©nĂ©rale de dĂ©finir un ensemble est de donner une propriĂ©tĂ© caractĂ©ristique des Ă©lĂ©ments de cet ensemble. Par exemple, on pourra dĂ©finir l'ensemble des nombres premiers par une propriĂ©tĂ© caractĂ©ristique de ceux-ci : ĂȘtre diffĂ©rent de 1 et avoir pour seuls diviseurs 1 et lui-mĂȘme. On parle de dĂ©finition en comprĂ©hension[6]. L’ensemble {2, 3, 5} peut ĂȘtre dĂ©fini en comprĂ©hension comme l’ensemble de tous les nombres premiers infĂ©rieurs Ă  6. La dĂ©finition en extension des ensembles finis peut ĂȘtre vue comme un cas particulier simple de dĂ©finition en comprĂ©hension : par exemple l'ensemble {2, 3, 5} est caractĂ©risĂ© par la propriĂ©tĂ©, pour un nombre entier, d'ĂȘtre Ă©gal Ă  2 ou Ă  3 ou Ă  5.

Ensembles finis

Quand on parle d'ensembles finis, c'est en un sens intuitif, sans avoir vraiment défini cette notion. Un ensemble est fini quand on peut compter ses éléments à l'aide d'entiers tous plus petits qu'un entier donné.

Les ensembles finis peuvent ĂȘtre dĂ©finis en extension, par la liste de leurs Ă©lĂ©ments, et dĂ©crits comme tels ; on place la liste des Ă©lĂ©ments d'un ensemble entre accolades, comme on l'a dĂ©jĂ  vu pour l'ensemble {2, 3, 5}. Par exemple, l'ensemble des jours de la semaine peut ĂȘtre reprĂ©sentĂ© par { lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, dimanche }.

La notation d'un ensemble en extension n'est pas unique : un mĂȘme ensemble peut ĂȘtre notĂ© en extension de façon diffĂ©rentes.

  • L’ordre des Ă©lĂ©ments est sans importance, par exemple { 1, 2 } = { 2, 1 }.
  • La rĂ©pĂ©tition d’élĂ©ments entre les accolades ne modifie pas l’ensemble :
toujours avec le mĂȘme exemple, { 1, 2, 2 } = { 1, 1, 1, 2 } = { 1, 2 }.

À cause de la propriĂ©tĂ© d'extensionnalitĂ©, il n'est pas question de distinguer des ensembles par le nombre de rĂ©pĂ©titions d'un mĂȘme Ă©lĂ©ment Ă  ces ensembles : un Ă©lĂ©ment appartient ou n'appartient pas Ă  un ensemble, il ne peut appartenir Ă  un ensemble une, deux, ou trois fois


On pourrait imposer que la notation se fasse sans répétitions, ce serait assez malcommode dÚs qu'interviennent des variables : on ne pourrait noter un ensemble en extension sans devoir supposer que ses éléments sont distincts.

Il peut arriver que l'on ait besoin d'ensemble « avec répétition », dans le cas fini, il s'agit plus justement, de suites finies à l'ordre des éléments prÚs, on définit alors la notion de multiensemble fini (qui peut se définir à partir de la notion de suite finie).

Les ensembles réduits à un seul élément sont appelés singletons. Par exemple l'ensemble qui contient pour seul élément 0 est appelé « singleton 0 » et noté {0}.

Les ensembles qui ont exactement deux Ă©lĂ©ments sont appelĂ©s paires, la paire des Ă©lĂ©ments 1 et 2, notĂ©e {1,2}, ne doit pas ĂȘtre confondue avec le couple (1,2), qui a un ordre dĂ©terminĂ©.

Par extensionnalitĂ©, il n'y a qu'un seul ensemble sans Ă©lĂ©ments, l'ensemble vide, que l'on note ∅ ou { }.

DĂ©finition d’un ensemble en comprĂ©hension

Un ensemble peut ĂȘtre dĂ©fini en comprĂ©hension, c’est-Ă -dire qu'on le dĂ©finit par une propriĂ©tĂ© caractĂ©ristique parmi les Ă©lĂ©ments d'un ensemble donnĂ©. Ainsi l'ensemble des entiers naturels pairs est clairement dĂ©fini en comprĂ©hension, par la propriĂ©tĂ© « ĂȘtre pair » parmi les entiers naturels. On peut utiliser la notation d'un ensemble en comprĂ©hension[7], par exemple pour l'ensemble des entiers naturels pairs, on Ă©crira (ℕ dĂ©signant l'ensemble des entiers naturels) :

  • .

On dĂ©finira de la mĂȘme façon (â„€ dĂ©signant l'ensemble des entiers relatifs) :

  • l'ensemble des entiers relatifs compris entre -7 et 23 ;
  • l'ensemble des carrĂ©s parfaits non nuls.

La formulation générale est :

Cette construction a besoin d'un ensemble dĂ©jĂ  existant E et d'une propriĂ©tĂ© P dĂ©finie sur tous les Ă©lĂ©ments de E. Elle permet donc de construire des sous-ensembles mais pas la rĂ©union d'une famille d'ensembles, ni l'ensemble des parties d'un ensemble, ni mĂȘme les ensembles finis dĂ©finis par la liste de leurs Ă©lĂ©ments comme au paragraphe prĂ©cĂ©dent. On pourrait pourtant Ă©crire, par exemple pour l'ensemble des parties P(E) = { A | A ⊂ E }

Il n'est pas pour autant possible de dĂ©finir un ensemble par n'importe quelle propriĂ©tĂ©, et lever entiĂšrement la restriction de la comprĂ©hension. Si c'Ă©tait le cas on pourrait dĂ©finir l'ensemble {x | x ∉ x}, ce qui conduit Ă  une contradiction (c'est le paradoxe de Russell). La restriction de la comprĂ©hension Ă  un ensemble connu protĂšge contre ce genre de paradoxes, elle correspond directement au schĂ©ma d'axiomes de comprĂ©hension de la thĂ©orie de Zermelo. Cette restriction ne peut se lever que dans des cas particuliers prĂ©cis, qui correspondent Ă  d'autres axiomes de la thĂ©orie de Zermelo (axiome de la paire, axiome de la rĂ©union, axiome de l'ensemble des parties).

On n'a pas dit ce que l'on entendait par « propriĂ©tĂ© » ou « condition ». MalgrĂ© la restriction prĂ©cĂ©dente, on ne peut tout autoriser, sous peine d'autres paradoxes comme le paradoxe de Richard ou le paradoxe de Berry, qui fait intervenir, par exemple, « l'ensemble des entiers naturels dĂ©finissables en moins de quinze mots français ». Il est nĂ©cessaire de prĂ©ciser le langage dans lequel on peut dĂ©finir ces conditions. En particulier ce langage doit ĂȘtre dĂ©fini a priori, et ne peut ĂȘtre Ă©tendu qu'Ă  l'aide de dĂ©finitions qui sont soit de simples abrĂ©viations, soit rĂ©sultent de preuves d'existence et d'unicitĂ©.

Ensemble défini comme image directe

Pour noter l'ensemble des carrés parfaits non nuls (voir exemple au paragraphe précédent) on peut utiliser la notation plus concise :

dont la forme générale est :

Elle représente l'ensemble des images d'un ensemble E par une application f. L'ensemble obtenu s'appelle image directe de E par f. Il s'agit d'une variante de la notation en compréhension ci-dessus. Elle se déduit de celle-ci, en utilisant la définition d'une fonction, si F est l'ensemble d'arrivée de la fonction f[8] :

.

De cette notation dérivent d'autres notations faciles à comprendre

Ces notations ont leur avantage et leur inconvénient. D'un cÎté, elles facilitent une compréhension immédiate des ensembles considérés et rendent accessibles à l'intuition des objets plus compliqués. D'un autre cÎté, ces notations masquent un quantificateur existentiel indispensable dÚs lors que l'on veut utiliser cet ensemble.

Autres notations

Il existe d'autres notations commodes, en particulier pour les ensembles de nombres, et plus généralement pour les ensembles totalement ordonnés.

On peut utiliser des points de suspension, pour des notations inspirĂ©es de la notation en extension pour des ensembles de cardinalitĂ© infinie, ou finie mais non dĂ©terminĂ©e. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels peut se noter par : ℕ = { 0, 1, 2, 3, 
 }. S'il est clair par ailleurs que n dĂ©signe un entier naturel, {1, 2, 
 , n}, voire {1, 
 , n} dĂ©signe en gĂ©nĂ©ral l'ensemble des entiers supĂ©rieurs ou Ă©gaux Ă  1 et infĂ©rieurs ou Ă©gaux Ă  n. De mĂȘme on peut Ă©crire â„€ = { 
 , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 
 }.

Quand il y a un procédé itératif simple pour engendrer les éléments de l'ensemble, on peut se risquer à des notations comme {0, 2, 4, 6, 
 } pour l'ensemble des entiers naturels pairs, etc.

On peut bien sĂ»r utiliser ces notations pour des ensembles ayant « beaucoup » d'Ă©lĂ©ments, {1, 2, 
 , 1000} plutĂŽt que d'Ă©crire les mille premiers nombres entiers non nuls, ou encore { 3, 5, 
 , 21} plutĂŽt que { 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 }.

Toutes ces notations ne sont pas systématiques, ni universelles, et pour les derniÚres au moins, pas trÚs rigoureuses. On peut encore signaler, la notation, rigoureuse celle-ci, de certains sous-ensembles de la droite réelle, les intervalles.

Par abus de notation, parfois on ne note pas la variable dans la dĂ©finition en comprĂ©hension, mais seulement la propriĂ©tĂ©. Ainsi on note un ensemble en plaçant entre accolades la nature, ou une propriĂ©tĂ© caractĂ©ristique, des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation {chiens} dĂ©signe l’ensemble de tous les chiens ; pour prendre un exemple plus mathĂ©matique, on pourrait Ă©crire parfois {pairs} pour l'ensemble des nombres pairs.

Notes et références

  1. Remi Ziglon, Vers les structures, Paris, Hermann, , p. 13
  2. Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten M unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen, Georg Cantor (trad. Jean-Pierre Belna), « Contributions au fondement de la théorie des ensembles transfinis », .
  3. (de) Georg Cantor, « BeitrĂ€ge zur BegrĂŒndung der transfiniten Mengenlehre (1) », Mathematische Annalen, vol. 46,‎ , p. 481-512 (lire en ligne)
  4. dans Arithmetices Principia, nova methodo exposita, Turin, Bocca 1889, rep. Opera Scelte vol II ed. cremonese Roma 1958, voir Ă©galement du mĂȘme auteur le Formulaire de mathĂ©matiques Tome I (1895) disponible sur le site de la BNF
  5. Cambridge University Press 1903
  6. On parle aussi de définition par intension, par analogie à extension. Cet emploi est notamment fréquent dans le contexte des ontologies et dans celui des modÚles relationnels de données en informatique (fondements des bases de données).
  7. qui apparaßt sous une forme un peu différente dans les Operazioni della logica Deduttiva (1888) de Peano (voir Opera Scelte vol II, cité ci-dessus) : on trouve « x : [f(x) = 0] » pour « l'ensemble des x tels que f(x) est nul ».
  8. En théorie des ensembles, une fonction est souvent définie simplement par son graphe : comme un ensemble de couples ayant les propriétés adéquates. Dans ce cas l'ensemble d'arrivée n'est pas précisé. On montre cependant que l'image directe d'un ensemble par une fonction est un ensemble en utilisant que la projection d'un ensemble de couples est un ensemble, ce qui se déduit du schéma d'axiomes de compréhension.

Voir aussi

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