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Carré parfait

En mathématiques, un carré parfait (ou nombre carré s'il est non nul, voire simplement carré s'il n'y a pas ambiguïté) est le carré d'un entier. Dans le système de numération décimal, le chiffre des unités d'un carré parfait ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. En base douze, ces chiffres sont nécessairement 0, 1, 4 ou 9.

Définition et liste

Un carré parfait est un carré d'un entier naturel.

Un nombre carré est un nombre polygonal (donc entier strictement positif) qui peut être représenté géométriquement par un carré de n × n points. Les nombres carrés sont donc les carrés parfaits non nuls, le n-ième étant n2.

Les 70 premiers carrés parfaits sont[Note 1] :

02 = 052 = 25102 = 100152 = 225202 = 400252 = 625302 = 900352 = 1 225402 = 1 600452 = 2 025502 = 2 500552 = 3 025602 = 3 600652 = 4 225
12 = 162 = 36112 = 121162 = 256212 = 441262 = 676312 = 961362 = 1 296412 = 1 681462 = 2 116512 = 2 601562 = 3 136612 = 3 721662 = 4 356
22 = 472 = 49122 = 144172 = 289222 = 484272 = 729322 = 1 024372 = 1 369422 = 1 764472 = 2 209522 = 2 704572 = 3 249622 = 3 844672 = 4 489
32 = 982 = 64132 = 169182 = 324232 = 529282 = 784332 = 1 089382 = 1 444432 = 1 849482 = 2 304532 = 2 809582 = 3 364632 = 3 969682 = 4 624
42 = 1692 = 81142 = 196192 = 361242 = 576292 = 841342 = 1 156392 = 1 521442 = 1 936492 = 2 401542 = 2 916592 = 3 481642 = 4 096692 = 4 761

Propriétés

On considère a et b des entiers naturels non nuls.

  • Si a et b sont des carrés parfaits, alors le produit ab est aussi un carré.
  • Si a2 + b2 = c2c est un entier, alors (a, b, c) forme un triplet pythagoricien. Par exemple, (3, 4, 5) en constitue un.
  • a est un carré parfait si, et seulement si, tous les exposants dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont pairs.
  • Si ab est un carré parfait et que a et b sont premiers entre eux, alors a et b sont aussi des carrés parfaits[1] : ne pas oublier la seconde condition car 12×3 = 62 mais 12 n'est pas un carré parfait.
  • a(a + 1) et a(a + 2) ne sont pas des carrés.
  • a est un carré parfait si, et seulement si le nombre de ses diviseurs est impair.
  • Un carré parfait ne peut se terminer que par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9 dans le système décimal.
  • La représentation du premier nombre carré est un point. Celle du n-ième s'obtient en bordant deux côtés consécutifs du carré précédent par 2n – 1 points.
  • 1 + 3 = 22 = 4
    1 + 3 = 22 = 4
  • 4 + 5 = 32 = 9
    4 + 5 = 32 = 9
  • 9 + 7 = 42
    9 + 7 = 42
  • 1 + 3 + 5 + 7 = 42
    1 + 3 + 5 + 7 = 42
  • Le n-ième nombre carré est la somme des n premiers nombres impairs, soit , ce qui fournit un moyen pratique pour former une table de carrés[2]. Cette propriété est aussi utilisée comme méthode d'extraction de racine carrée y compris avec un boulier.
Animation de deux vues d'un tétraèdre pour illustrer que la somme des n premiers nombres impairs est n².
La somme du 3e nombre triangulaire et du 4e est le 4e nombre carré.
  • Le n-ième nombre carré est égal à la somme du n-ième nombre triangulaire et du précédent :

  • est un carré parfait. Cette somme est par ailleurs égale à .

Les mathématiciens se sont souvent intéressés à certaines curiosités concernant les nombres carrés. La plus connue, notamment pour sa référence au théorème de Pythagore, est l'égalité 32 + 42 = 52, qui commence l'étude des triplets pythagoriciens. D'après le théorème de Fermat-Wiles, démontré en 1995, il n'y a que les nombres carrés qui peuvent faire une identité comme celle des triplets pythagoriciens. Par exemple, il n'y a aucune solution à a3 + b3 = c3 avec a, b et c entiers non nuls.

Concept associé

On dit qu'un entier q est un résidu quadratique modulo un entier m s'il existe un entier n tel que :

.

Ce concept permet notamment de démontrer que certaines équations diophantiennes n'admettent pas de solution. Par exemple, avec k entier, l'équation n'admet pas de solution dans . En effet, les résidus quadratiques modulo 4 étant 0 et 1, un carré parfait ne peut pas posséder un reste égal à 2 dans la division euclidienne par 4.

Notes et références

Notes

  1. suite A000290 de l'OEIS

Références

  1. « Cours d'arithmétique », sur Animath, p. 56.
  2. Anna et Élie Cartan, Arithmétique : Classes de 4e et de 3e, Paris, Armand Colin, , 5e éd., p. 161, paragraphe no 237.

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

Carré parfait sur recreomath.qc.ca

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