Nombre carré centré

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième carré centré a un point central et n – 1 couches carrées.
Pour tout entier n ≥ 2, la dernière couche du n-ième carré centré comporte 4(n – 1) points ; c'est le gnomon associé au (n – 1)-ième carré centré, et faisant passer au n-ième :

${\displaystyle \forall \ n\geq 2,\ C_{4,n}=C_{4,n-1}+4(n-1).}$

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre carré centré égale donc 1 plus 4 fois la somme des entiers de 0 à n – 1 :

${\displaystyle \forall \ n\geq 1,\ C_{4,n}=1+4\sum _{i=0}^{n-1}i=1+2n(n-1).}$

Représentation du quatrième nombre carré centré.

Le quatrième nombre carré centré est :

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{4,4}&={\color {red}1}+{\color {orange}4}+{\color {green}8}+{\color {blue}12}\\&={\color {red}1}+4\left({\color {orange}1}+{\color {green}2}+{\color {blue}3}\right)\\&={\color {red}1}+4\times 6\\&=25.\end{aligned}}}$

Les dix premiers nombres carrés centrés sont :

• D'après son expression ci-dessus, le n-ième nombre carré centré égale 1 plus 4 fois le (n – 1)-ième nombre triangulaire T_n–1 = n(n – 1)/2 :${\displaystyle \forall \ n\geq 1,\ C_{4,n}=1+4T_{n-1}.}$Cette égalité peut se représenter par :

• Pour tout entier n ≥ 2, le n-ième nombre carré centré est la somme pondérée des trois nombres triangulaires consécutifs T_n–2, T_n–1, T_n, affectés des coefficients 1, 2, 1 :

${\displaystyle C_{4,n}=T_{n-2}+2T_{n-1}+T_{n}.}$

Le cas C_4,2 = T₀ + 2T₁ + T₂ = 0 + 2×1 + 3 = 5 est trivial ; représentations suivantes :

• 1 est le seul nombre à la fois carré centré et triangulaire. En effet, pour tout entier n ≥ 2, ${\displaystyle T_{2(n-1)}<\ C_{4,n}<\ T_{2(n-1)+1}}$.

• Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre carré centré est la somme des deux nombres carrés consécutifs n² et (n – 1)² :

• Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre carré centré peut donc aussi s'écrire sous la forme :${\displaystyle C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}={{(2n-1)^{2}+1} \over 2}}$
  (trinôme du second degré sous forme canonique).Un entier c est donc carré centré si et seulement si 2c – 1 est un carré parfait. La dernière égalité est représentée ci-dessous pour n = 1, 2, 3, et 4 ; la n-ième figure est formée en considérant un carré de 2n – 1 points par 2n – 1 points, et en sélectionnant la moitié des points : à partir du coin supérieur gauche, jusqu'au point central inclus.

${\displaystyle 1^{2}+0^{2}={\frac {1^{2}+1}{2}}}$	${\displaystyle 2^{2}+1^{2}={\frac {3^{2}+1}{2}}}$	${\displaystyle 3^{2}+2^{2}={\frac {5^{2}+1}{2}}}$	${\displaystyle 4^{2}+3^{2}={\frac {7^{2}+1}{2}}}$

• C_{4, n} = m² si et seulement si (2n – 1)² – 2m² = –1.
  Les cinq plus petits nombres à la fois carrés centrés et carrés parfaits sont donc : C_{4, 1} = 1 = 1², C_{4, 4} = 25 = 5², C_{4, 21} = 29², C_{4, 120} = 169² et C_{4, 697} = 985² ( A008844).

• Tous les nombres carrés centrés sont impairs ; et en base 10, le chiffre des unités du n-ième nombre carré centré suit le motif « 1-5-3-5-1 ».
• Tous les nombres carrés centrés et leurs diviseurs sont congrus à 1 modulo 4. (En effet : pour tout facteur premier p de 2n² – 2n + 1, p est impair, et modulo p, puisque (n – 1)² est congru à –n², –1 est un résidu quadratique ; donc modulo 4, p est congru à 1.) Ils se terminent donc par le chiffre 1 ou 5 en bases 6, 8, et 12.

Les dix plus petits entiers qui sont à la fois premiers et carrés centrés sont 5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761 ( A027862).