Nombre polygonal centré

Pour tous entiers k ≥ 3 et n ≥ 1, le n-ième k-gone centré a un point central et n – 1 couches k-gonales régulières.
Pour tout entier n ≥ 2, la dernière couche du n-ième k-gone centré comporte k(n – 1) points ; c'est le gnomon associé au (n – 1)-ième k-gone centré, et faisant passer au n-ième :

${\displaystyle \forall \ n\geq 2\quad C_{k,n}=C_{k,n-1}+k(n-1).}$

Ainsi, le n-ième k-gone centré comporte n points sur chaque rayon et sur chaque côté.

Pour tous entiers k ≥ 3 et n ≥ 1, le n-ième nombre k-gonal centré est donc égal à 1 plus la somme des n premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison k, ou encore, 1 plus k fois le (n – 1)-ième nombre triangulaire[1] :

${\displaystyle C_{k,n}=1+\sum _{i=0}^{n-1}ik=1+k{\frac {n(n-1)}{2}}=1+kT_{n-1}.}$

Pour tout entier k ≥ 3, le premier et le k-ième nombres k-gonaux centrés sont aussi k-gonaux :

${\displaystyle C_{k,1}=1=P_{k,1}\quad {\text{et}}\quad C_{k,k}={{k^{3}-k^{2}+2} \over 2}=P_{k,k+1}.}$

Exemples :

• avec k = 3 : le nombre C_{3, 3} = 10 = P_{3, 4} est à la fois triangulaire centré et triangulaire ;
• avec k = 4 : le nombre C_{4, 4} = 25 = P_{4, 5} est à la fois carré centré et carré parfait.

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre octogonal centré est le n-ième nombre carré impair. Il ne peut donc pas être premier.

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre ennéagonal centré est le nombre triangulaire d'indice 3n – 2 ≠ 2. Il ne peut donc pas non plus être premier.

Pour tout entier k différent de 8 et de 9 (et ≥ 3), le 2-ième nombre k-gonal centré, C_{k, 2} = 1 + k, peut évidemment être premier. En outre, il existe des nombres k-gonaux centrés premiers de rang n ≥ 3 (contrairement aux nombres k-gonaux).

Exemples : en gras dans les listes suivantes.

Lazy caterer's sequence