Nombre polygonal

Par exemple, le nombre 10 peut être représenté par un triangle équilatéral ayant quatre pois sur chaque côté :

Notations : P_3,4 = T₄ = 10.

Mais 10 ne peut pas être représenté par un carré.

Au contraire : par exemple, le nombre 9 peut être représenté par un carré ayant trois pois sur chaque côté :

Notations : P_4,3 = 3² = 9.

Mais 9 ne peut pas être représenté par un triangle.

En outre : par exemple, le nombre 36 peut être représenté à la fois par un carré ayant six pois sur chaque côté et par un triangle ayant huit pois sur chaque côté :

Notations : P_4,6 = 6² = 36 = T₈ = P_3,8.

La méthode pour passer d'un polygone au suivant consiste à prolonger d'un seul point chacun des deux côtés adjacents à un seul sommet, puis à compléter la figure par des points pour obtenir les côtés supplémentaires manquants. Dans les diagrammes ci-dessous, chaque couche supplémentaire est représentée par des points rouges. Pour tout entier k ≥ 3, par convention, posons P_k,0 = 0 ; pour tout entier n ≥ 1, le nombre de points rouges du n-ième k-gone est :

${\displaystyle P_{k,n}-P_{k,n-1}=1+(k-2)(n-1).}$

C'est le gnomon associé à P_k,n–1, et faisant passer à P_k,n.
Pour tout entier k ≥ 3, (P_k,n – P_k,n–1)_n≥1 est donc la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison k – 2 et pour tout entier n ≥ 0, le n-ième nombre k-gonal est la somme des n premiers termes de cette suite :

${\displaystyle P_{k,n}=\sum _{1\leqslant i\leqslant n}\left(1+(k-2)(i-1)\right)={n~{\big (}(k-2)n-(k-4){\big )} \over 2}}$[1].

Exemples

Nombres triangulaires :

P3,1 = T1 = 1		P3,2 = T2 = 3		P3,3 = T3 = 6		P3,4 = T4 = 10

Nombres carrés :

P4,1 = 12 = 1		P4,2 = 22 = 4		P4,3 = 32 = 9		P4,4 = 42 = 16

Nombres hexagonaux :

P6,1 = 1		P6,2 = 6		P6,3 = 15		P6,4 = 28

Pour tout entier n ≥ 0, le n-ième nombre triangulaire est

${\displaystyle T_{n}:=P_{3,n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$.

De l'expression de P_k,n (voir supra), on déduit que pour tout entier n ≥ 1 :

• pour tout entier k ≥ 3, ${\displaystyle P_{k,n}=n+(k-2)T_{n-1}}$ ;
• pour tout entier k impair ≥ 5, ${\displaystyle (k-2)P_{k,n}+T_{\frac {k-5}{2}}=T_{(k-2)n-{\frac {k-3}{2}}}}$.

Pour tout entier k ≥ 3, les premier et (k + 1)-ième nombres k-gonaux sont aussi k-gonaux centrés :

${\displaystyle P_{k,1}=1=C_{k,1}\quad {\text{et}}\quad P_{k,k+1}={{k^{3}-k^{2}+2} \over 2}=C_{k,k}.}$

Pour tout entier k ≥ 3 :

• le 2-ième nombre k-gonal, P_k,2 = k, peut évidemment être premier ;
• mais vu son expression (voir supra), un nombre k-gonal de rang n ≥ 3 ne peut pas être premier (contrairement à un nombre k-gonal centré).

Nombres polygonaux

k	Nom	Notation	Expression Pk,n =					n										Numéro de suite OEIS
								1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	nombre triangulaire	P3,n	${\displaystyle {n(n+1) \over 2}}$					1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	A000217
4	nombre carré	P4,n	${\displaystyle n^{2}}$					1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	A000290
5	nombre pentagonal	P5,n	${\displaystyle {n(3n-1) \over 2}}$					1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	A000326
6	nombre hexagonal	P6,n	${\displaystyle n(2n-1)}$					1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	A000384
7	nombre heptagonal	P7,n	${\displaystyle {n(5n-3) \over 2}}$					1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	A000566
8	nombre octogonal	P8,n	${\displaystyle n(3n-2)}$					1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	A000567
9	nombre ennéagonal	P9,n	${\displaystyle {n(7n-5) \over 2}}$					1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	A001106
10	nombre décagonal	P10,n	${\displaystyle n(4n-3)}$					1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	A001107
11	nombre undécagonal	P11,n	${\displaystyle {n(9n-7) \over 2}}$					1	11	30	58	95	141	196	260	333	415	A051682
12	nombre dodécagonal	P12,n	${\displaystyle n(5n-4)}$					1	12	33	64	105	156	217	288	369	460	A051624
...	...		...					...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
10 000	nombre myriagonal	P10 000,n	${\displaystyle n(4~999n-4~998)}$					1	10 000	29 997	59 992	99 985	149 976	209 965	279 952	359 937	449 920	A167149

L'encyclopédie électronique des suites entières (OEIS) évite les termes avec préfixes grecs (comme « octogonal ») et utilise de préférence des termes avec préfixes numériques (comme « 8-gonal »).

Outre divers jeux arithmético-géométriques, nous avons en arithmétique additive / combinatoire additive le puissant théorème suivant.

Tout entier naturel est la somme d'au plus k nombres k-gonaux.

Ce théorème a d'abord été énoncé sans preuve par Pierre de Fermat, qui proclama son intention d'écrire un livre qui révolutionnerait cette partie de l'arithmétique[2], mais aucun livre ne parut.

Joseph Louis Lagrange a ensuite établi, en 1770, son théorème des quatre carrés :

Tout entier positif est la somme de 4 carrés parfaits au plus.

Puis, en 1796, Gauss traita le cas des nombres triangulaires.

Enfin, le théorème fut intégralement prouvé par Cauchy en 1813.

• (en) Melvyn Nathanson, « A short proof of Cauchy's polygonal number theorem », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 99,‎ 1987, p. 22-24 (lire en ligne)
• (en) David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (en), Penguin Books, 1997 (ISBN 0-14-026149-4)