Triangle

Notations usuelles pour un triangle ABC.

Un triangle est complètement déterminé par la donnée de ses trois sommets et il se note en général en juxtaposant les trois lettres (a priori capitales) qui les désignent. L'ordre de ces lettres importe peu même si l'ordre d'énonciation correspond en général à un parcours dans le sens trigonométrique autour du triangle[1]. La longueur d'un côté est classiquement notée avec la lettre minuscule correspondant au sommet opposé.

${\displaystyle \alpha ={\widehat {\mathrm {A} }}={\widehat {\mathrm {BAC} }}}$

Notations classiques pour un angle
dans un triangle (ABC).

Si tous les sommets sont distincts[note 1], chaque angle géométrique peut être identifié par la lettre du sommet correspondant, surmontée d'un accent circonflexe. Au cas où la figure comprend d'autres segments passant par les sommets, les côtés de l'angle sont précisés par les lettres désignant les deux autres sommets de part et d'autre sous l'accent circonflexe. Ces angles peuvent aussi être notés à l'aide de lettres grecques en minuscule et en italique.

La propriété euclidienne selon laquelle « la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre » s'illustre par le fait que dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés :

${\displaystyle {\rm {BC\leqslant BA+AC,~~AB\leqslant AC+CB~~et~~AC\leqslant AB+BC.}}}$

Les cas d'égalité caractérisent les triangles plats, dans lesquels l'un des sommets appartient au segment qui relie les deux autres.

Réciproquement, si on donne trois longueurs (données par trois nombres réels positifs) dont aucune n'est supérieure à la somme des deux autres, il est possible de construire un triangle ayant ces longueurs de côté. La vérification de ces inégalités peut être faite en comparant seulement la plus grande des trois longueurs avec la somme des deux autres, car les deux autres inégalités sont nécessairement vraies.

Il suffit alors de construire d'abord un segment d'une des trois longueurs souhaitées, puis de tracer deux cercles centrés sur les extrémités de ce segment avec pour rayon chacune des deux autres longueurs. Les deux cercles ont alors deux points d'intersection et n'importe lequel de ces deux points définit le triangle de dimensions voulues avec le segment initial.

La somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°.

La somme des angles d'un triangle est égale à un angle plat, autrement dit la somme de leurs mesures vaut 180° (degrés) c'est-à-dire π radians. Cette propriété est une caractéristique de la géométrie euclidienne. Il existe d'autres géométries, dites géométries non euclidiennes, dans lesquelles la somme des angles d'un triangle est toujours supérieure à 180° (on parle alors de géométrie elliptique), ou, au contraire, inférieure (la géométrie est alors dite géométrie hyperbolique).

Réciproquement, si l'on donne trois mesures (non nulles) d'angles géométriques dont la somme vaut un angle plat, il existe un triangle ayant ces mesures d'angles. Il suffit de tracer un segment d'une longueur quelconque et de tracer une demi-droite en chaque extrémité mais du même côté du segment, de façon à former deux des angles voulus avec le segment initial. Les deux demi-droites auront un point d'intersection en lequel l'angle intérieur sera le troisième angle voulu.

• 
  Diagramme de Venn des différents types de triangle
• 
  Diagramme d'Euler des différents types de triangle

Un triangle dans lequel au moins deux sommets sont confondus est dit dégénéré (ou parfois en aiguille).

Un triangle plat est un triangle dont les sommets sont alignés.

Un triangle isocèle est un triangle ayant au moins deux côtés de même longueur. Les deux angles adjacents au troisième côté sont alors de même mesure. Réciproquement, tout triangle ayant deux angles de même mesure est isocèle. Les triangles isocèles sont les seuls à admettre un axe de symétrie en dehors des triangles plats. Anciennement, en géométrie euclidienne, un triangle isocèle possédait exactement deux côtés égaux.

Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur. Ses trois angles ont alors la même mesure qui vaut donc 60° et il admet trois axes de symétrie.

Un triangle qui n'est ni isocèle (ce qui exclut également le cas équilatéral) ni plat est dit scalène (du grec σκαληνός (skalenos) : boiteux, inégal, déséquilibré, oblique…). Un triangle scalène peut aussi être rectangle.

L'adjectif « scalène » n'est pas synonyme de l'adjectif « quelconque ». Un triangle quelconque est un triangle qui peut posséder ou non des propriétés des triangles particuliers. Ainsi un triangle quelconque peut être isocèle ou équilatéral, ou même scalène. Par contre un triangle scalène ne peut être ni équilatéral ni isocèle. L'adjectif « quelconque » est employé pour insister sur le fait qu'on ne sait rien de plus à propos d'un triangle. Dès lors qu'on sait qu'un triangle possède une ou des propriété(s) particulière(s) il ne peut plus être considéré comme quelconque.

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  Triangle isocèle.
• 
  Triangle équilatéral.
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  Triangle scalène.

Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit, c'est-à-dire de mesure 90°. Il satisfait alors le théorème de Pythagore. Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, il ne peut y avoir plus d'un angle obtus (supérieur à l'angle droit). S'il y en a un, le triangle est obtusangle ou ambligone. S'il n'y en a pas, il est acutangle ou oxygone (il a alors trois angles aigus).

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  Triangle obtusangle ou ambligone.
• 
  Triangle rectangle.
• 
  Triangle acutangle ou oxygone.

Certains triangles ont reçu une dénomination particulière qui détermine leurs angles :

• le demi-carré est un triangle isocèle rectangle, qui peut s'obtenir en reliant trois sommets d'un carré ;
• le triangle des arpenteurs ou triangle « 3-4-5 » est un triangle rectangle dont les côtés sont de longueurs 3, 4 et 5 en fonction d'une unité fixée ;
• le triangle de l'écolier ou triangle hémi-équilatéral est un triangle rectangle dont les mesures des angles sont de 30°, 60° et 90° ou dont l'un des côtés de l'angle droit est la moitié de l'hypoténuse ; il est appelé ainsi car il sert de modèle pour les équerres utilisée dans l'enseignement de la géométrie[2] (il existe aussi des équerres en demi-carré) ;
• le triangle d'or est un triangle isocèle dont les angles à la base valent deux cinquièmes de l'angle plat, soit 72° ;
• le triangle heptagonal est un triangle dont les angles sont dans des rapports 4:2:1 ;
• le triangle de Kepler est un triangle rectangle dont les carrés des longueurs des côtés sont en progression géométrique selon la raison du nombre d'or.

• 
  Demi-carré.
• 
  Triangle des arpenteurs.
• 
  Triangle de l'écolier.
• 
  Triangle d'or.
• 
  Triangle de Kepler.

Un triangle est dit bisocèle si l'une de ses bissectrices le partage en deux triangles isocèles. Il ne peut s'agir que du demi-carré ou d'un triangle d'or[3].

Le tableau suivant compare quelques-uns de ces triangles particuliers :

L'aire d'un triangle est donnée par diverses formules, la première étant fonction de la longueur d'un côté, appelée base, et de la distance du sommet opposé à la droite qui porte ce côté, appelée hauteur.

${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {1}{2}}\times \mathrm {base} \times \mathrm {hauteur} .}$

Cette formule est dérivée de celle de l'aire d'un parallélogramme et démontrée dans les Éléments d'Euclide.

D'autres formules font appel à la longueur des côtés (formule de Héron) ou aux coordonnées des sommets dans un repère orthonormé.

Le périmètre d'un triangle est simplement la somme des trois longueurs de côté. Pour un périmètre p donné, l'aire intérieure du triangle est majorée par celle du triangle équilatéral correspondant :

${\displaystyle {\mathcal {A}}\leqslant {\frac {p^{2}{\sqrt {3}}}{36}}.}$

Les longueurs de côté d'un triangle et les mesures de ses angles satisfont plusieurs relations qui permettent de toutes les calculer à partir de certaines d'entre elles.

Il s'agit d'une part, outre la formule de la somme des angles, d'une relation entre l'aire, la mesure d'un angle et la longueur des deux côtés adjacents :

${\displaystyle {\mathcal {A}}={\dfrac {1}{2}}bc\,\sin {\hat {A}}}$

laquelle permet d'obtenir la formule des sinus :

${\displaystyle {\dfrac {a}{\sin {\hat {A}}}}={\dfrac {b}{\sin {\hat {B}}}}={\dfrac {c}{\sin {\hat {C}}}}=2R}$ où R est le rayon du cercle circonscrit ;

d'autre part, du théorème d'Al-Kashi (ou théorème de Carnot ou encore loi des cosinus) qui généralise le théorème de Pythagore :

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {\hat {A}}}$.

Les relations métriques dans le triangle permettent d'évaluer des distances à partir de mesures angulaires, comme en navigation maritime, en géodésie et en astronomie. C'est selon ce principe qu'a été mesuré le méridien terrestre pour la définition du mètre[4].

Les trois polyèdres réguliers convexes à faces triangulaires.

Dans le plan, le calcul de l'aire d'un domaine peut être évalué en approchant ce domaine par une réunion de triangles disjoints.

Plus généralement, des surfaces de l'espace peuvent être approchées par une réunion de triangles appelées facettes. Cette technique est utilisée en analyse numérique dans la méthode des éléments finis, mais aussi en imagerie numérique. L'analyse vectorielle permet d'ailleurs de calculer rapidement l'orientation d'une telle facette et d'en déduire la réflexion du rayonnement lumineux d'une source ponctuelle dans une direction donnée.

Plusieurs polyèdres (réguliers ou non) ont des faces triangulaires, comme le tétraèdre, l'octaèdre, l'icosaèdre et le grand icosaèdre. Les polyèdres dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux sont appelés deltaèdres.

D'autre part, tout polygone peut être découpé en un nombre fini de triangles qui forment alors une triangulation de ce polygone. Le nombre minimal de triangles nécessaire à ce découpage est n-2, où n est le nombre de côtés du polygone. L'étude des triangles est fondamentale pour celle des autres polygones, par exemple pour la démonstration du théorème de Pick.

Triangle médian, médianes et centre de gravité.

Si on joint les trois milieux des côtés d'un triangle on obtient quatre triangles semblables au triangle initial, l'aire de chacun des triangles est le quart de celle du triangle initial.

On appelle triangle médian le triangle central dont les sommets sont les milieux des côtés du triangle initial (c'est donc le triangle cévien du centre de gravité). Ce triangle médian se trouve « inversé » par rapport aux trois autres.

D'après le théorème des milieux, ce triangle médian a ses côtés parallèles à ceux du triangle initial et des longueurs de côté proportionnelles dans un rapport de 1/2.

Médiatrices et cercle circonscrit.

Si le triangle est non plat, les trois médiatrices des côtés (les droites coupant les côtés à angle droit en leur milieu) sont concourantes en un point appelé centre du cercle circonscrit, car il est le seul équidistant des trois sommets, c'est-à-dire qu'il est le centre du seul cercle passant par les trois sommets. Ce centre est souvent noté O ou Ω (« oméga »).

Un triangle est rectangle si et seulement si le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'un de ses côtés (qui est alors son hypoténuse).

Pour un triangle acutangle, le centre du cercle circonscrit est à l'intérieur du triangle. Pour un triangle obtusangle, ce centre est à l'extérieur.

Le produit du rayon du cercle circonscrit et de l'aire du triangle est le quart du produit des longueurs de côtés du triangle.

Une cévienne d'un triangle est un segment de droite partant d'un sommet et joignant son côté opposé. Les médianes, hauteurs et bissectrices sont des céviennes particulières.

Dans un triangle, une médiane est un segment qui relie un sommet au milieu du côté opposé. Chaque médiane divise un triangle en deux triangles d'aires égales.

Si le triangle est non plat, les trois médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité. Ce point, souvent noté G et situé aux deux-tiers de chaque médiane en partant du sommet, est à la fois l'isobarycentre des trois sommets et le centre de masse de l'intérieur du triangle.

Les trois médianes concourantes divisent le triangle en six triangles de même aire.

La longueur de la médiane est reliée aux longueurs des autres côtés par le théorème de la médiane ou théorème d'Apollonius.

Hauteurs et orthocentre.

Si les trois sommets sont distincts, une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Si le triangle est non plat, les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre, souvent noté H.

Un triangle est rectangle si et seulement si son orthocentre est l'un des sommets (en lequel se trouve alors l'angle droit). Pour un triangle acutangle, l'orthocentre est à l'intérieur du triangle. Pour un triangle obtusangle, il est à l'extérieur.

Les trois médiatrices d'un triangle sont les trois hauteurs de son triangle médian et par conséquent, le centre du cercle circonscrit à un triangle est l'orthocentre du triangle médian.

Le point de Longchamps est le symétrique de l'orthocentre par rapport au centre du cercle circonscrit.

Bissectrices et cercle inscrit.

Si le triangle est non plat, les trois bissectrices de ses angles (les demi-droites qui partagent les angles en deux angles de même mesure) sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit, car il est le centre du seul cercle tangent aux trois côtés. Ce centre est en général noté ${\displaystyle I}$ ou ${\displaystyle J}$.

D'après le théorème de Steiner-Lehmus, les longueurs de deux bissectrices dans un triangle sont égales si et seulement si les angles correspondants ont même mesure.

Les points de contact de ce cercle inscrit avec les côtés forment le triangle de Gergonne. Les segments reliant ces points de contact avec les sommets opposés dans le triangle sont concourantes en un point appelé point de Gergonne.

Chaque bissectrice divise le côté opposé en deux segments dont les longueurs sont proportionnelles à celles des côtés de l'angle grâce à la loi des sinus.

Le segment de bissectrice allant (par exemple) du sommet A jusqu'au côté BC a pour longueur :

${\displaystyle \mathrm {AM} ={\frac {2\,bc}{b+c}}\cos \left({\frac {\hat {A}}{2}}\right)}$

où b et c désignent les longueurs des côtés AC et AB, et ${\displaystyle {\hat {A}}}$ l'angle en A.

Le rayon du cercle inscrit est le quotient de l'aire du triangle par son demi-périmètre.

Droite et cercle d'Euler.

Le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre sont alignés sur une droite appelée droite d'Euler et satisfont la relation vectorielle :

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OH} }}=3\,{\overrightarrow {\mathrm {OG} }}.}$

En outre, les milieux des côtés, les pieds des hauteurs et les milieux des segments reliant l'orthocentre aux sommets sont tous sur un même cercle appelé cercle d'Euler, dont le centre est également sur la droite d'Euler.

Particularité : soit M un point de la droite d'Euler. Les cercles d'Euler des triangles AHM, BHM et CHM se recoupent sur le cercle d'Euler du triangle ABC. Si M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, alors le point de concours est nommé point de Jérabek.

Deux triangles sont dits isométriques, superposables ou égaux[5], s'ils ont les mêmes longueurs de côté. Dans ce cas il est possible de faire correspondre les sommets de l'un avec les sommets de l'autre par une isométrie (par exemple une translation, une rotation ou une symétrie) et cette correspondance relie alors des angles de même mesure. Ces triangles ont donc aussi la même aire.

Cette première définition est équivalente à chacune des trois suivantes :

• les trois longueurs des côtés du premier triangle sont les mêmes que celles du second (abrégé par CCC) ;
• les deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de mêmes longueurs (abrégé par CAC) ;
• les deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de mêmes mesures (abrégé par ACA).

Deux triangles ayant les mêmes mesures d'angle sont dits semblables. Ils ne sont pas nécessairement isométriques, mais leurs longueurs de côté sont proportionnelles avec un même coefficient de proportionnalité k. Leurs aires sont alors reliées par un facteur k².

Il existe en effet une similitude (qui est la composée d'une isométrie et d'une homothétie) qui transforme l'un en l'autre. Cette définition équivaut à :

• les trois angles du premier ont mêmes mesures que ceux du second (abrégé par AAA), (en fait deux angles suffisent : le troisième s'en déduit)

ou encore à :

• les trois longueurs des côtés du premier sont proportionnelles à celles du second.

Deux triangles isométriques sont toujours semblables. Deux triangles équilatéraux (non nécessairement isométriques) aussi.

Une symédiane est une droite symétrique de la médiane par rapport à une bissectrice issue du même sommet. Les trois symédianes sont concourantes en un point appelé point de Lemoine.

Dans un triangle acutangle, il existe un unique point qui minimise la somme des distances aux sommets. En ce point, appelé point de Fermat, les angles formés par les segments vers les sommets du triangle sont tous de 120°.

Points de Brocard.

Si un triangle est non plat, il existe deux points appelés points de Brocard pour lesquels les segments vers les sommets subdivisent le triangle en trois triangles ayant un angle de même mesure par permutation des sommets du triangle initial. La mesure de cet angle est alors la même pour les deux points.

La droite de Brocard est la droite qui passe par ces deux points.

Les points de Brocard appartiennent au cercle de Brocard dont un diamètre a pour extrémités le centre du cercle circonscrit et le point de Lemoine.

D'après le théorème d'Alasia, la droite de Brocard est parallèle à l'un des côtés si et seulement si le triangle est isocèle avec ce côté pour base.

Dans un triangle non plat, il existe une unique ellipse tangente à chaque côté en son milieu.

Le théorème de Ceva donne une condition nécessaire et suffisante pour que trois droites (appelées céviennes) passant respectivement par les trois sommets d'un triangle soient parallèles ou concourantes.

Le théorème de Gergonne donne alors une relation entre les longueurs des céviennes et les longueurs des segments qui relient leur point d'intersection aux sommets.

Le théorème de Stewart relie la longueur d'une cévienne aux longueurs des côtés des deux triangles qu'elle forme.

Le théorème de Terquem montre que le cercle pédal, circonscrit au triangle pédal formé par les trois pieds de céviennes concourantes, coupe les côtés du triangle en trois points qui sont également les pieds de céviennes concourantes.

Le théorème de Routh donne le quotient des surfaces entre l'aire du triangle formé par trois céviennes, et celle d'un triangle donné.

Le théorème des six cercles montre qu'une suite de cercles successivement tangents extérieurement et tangents intérieurement à deux côtés d'un triangle (les côtés variant par permutation circulaire) est 6-périodique.

La réciproque du théorème des trois cercles de Miquel montre que trois cercles passant respectivement par les sommets d'un triangle et sécants le long des côtés correspondants sont concourants en un point appelé point de Miquel.

Un quadrilatère, avec ses diagonales.

Un triangle étant un polygone à trois côtés, certaines propriétés se généralisent pour un plus grand nombre de côtés, comme l'inégalité triangulaire ou la somme des angles (pour un polygone non croisé), mais l'aire et les angles ne dépendent plus seulement des longueurs des côtés. Il y a aussi moins de résultats valables en toute généralité sur les droites ou points remarquables. Cependant, certaines conditions permettent d'en retrouver comme dans le cas de quadrilatères particuliers (parallélogrammes notamment) ou inscriptibles dans un cercle.

Un tétraèdre.

Dans l'espace, trois points sont toujours coplanaires et ne suffisent donc pas pour définir un élément de volume. Mais quatre points non coplanaires forment un tétraèdre. Plus généralement, un simplexe est une figure géométrique convexe engendré par n points dans un espace à au moins n−1 dimensions.

• Arnold Buffum Chace (en), The Rhind Mathematical Papyrus: Free Translation and Commentary with Selected Photographs, Translations, Transliterations and Literal Translations, vol. II, 1927-1929
• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4)
• Marshall Clagett, Ancient Egyptian Science, A Source Book, vol. 3 : Ancient Egyptian Mathematics, American Philosophical Society, 1999

• Aire d'un triangle
• Nombre triangulaire
• Liste des éléments remarquables d'un triangle
• Résolution d'un triangle
• Triangle de Pascal
• Triangle de Penrose
• Triangle de Sierpiński
• Triangle de Kobon
• Symbolique du triangle
• Coniques circonscrites et inscrites à un triangle
• Triangle (caractère)

• Texte de problème sur les propriétés classiques du triangle, avec indications de démonstration.
• Triangulateur Calculatrice de triangle à partir d'un minimum de données. Avec dessin du triangle.
• Clark Kimberling, « Encyclopedia of triangle centers - ETC » (consulté le 6 avril 2022)