Cercle

Cercle unité : centré sur l'origine du repère et de rayon 1 ; définition du sinus et du cosinus.

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, l’équation cartésienne du cercle de centre C (a,b) et de rayon r est :

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\,}$, soit pour le cercle unité ou cercle trigonométrique (le cercle dont le centre est l'origine du repère et dont le rayon vaut 1) :

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$

Cette équation est en fait une application du théorème de Pythagore pour le triangle rectangle formé par le point du cercle et sa projection sur les deux rayons parallèles aux axes.

En mettant y en évidence, on obtient la double équation cartésienne du cercle (en fait une équation pour chaque demi-cercle délimité par le diamètre horizontal) :

${\displaystyle y=b\pm {\sqrt {r^{2}-(x-a)^{2}}}\,}$.

Des équations paramétriques possibles du cercle (en fonction du paramètre θ qui exprime ici un angle orienté du vecteur joignant le centre du cercle à un de ses points par rapport au vecteur horizontal unité du repère) sont données par :

${\displaystyle x=a+r\cos \theta$ ;\qquad y=b+r\sin \theta }

soit, pour un cercle centré sur l'origine (0 ; 0) :

${\displaystyle x=r\cos \theta$ ;\qquad y=r\sin \theta }

et pour le cercle unité :

${\displaystyle x=\cos \theta$ ;\qquad y=\sin \theta } .

Grâce au théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle et à sa réciproque, on peut également déterminer une équation pour le cercle C de diamètre [AB] :

${\displaystyle {\begin{aligned}M\in C&\Leftrightarrow {\overrightarrow {MA}}\perp {\overrightarrow {MB}}\\&\Leftrightarrow {\overrightarrow {MA}}\cdot {\overrightarrow {MB}}=0\\&\Leftrightarrow {\binom {x-x_{A}}{y-y_{A}}}\cdot {\binom {x-x_{B}}{y-y_{B}}}=0\\&\Leftrightarrow \left(x-x_{A}\right)\left(x-x_{B}\right)+\left(y-y_{A}\right)\left(y-y_{B}\right)=0\\&\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-\left(x_{A}+x_{B}\right)x-\left(y_{A}+y_{B}\right)y+x_{A}x_{B}+y_{A}y_{B}=0.\end{aligned}}}$

La géométrie analytique permet de déterminer l'intersection d'un cercle et d'une droite. Sans perte de généralité, l'origine du repère est le centre du cercle et l'axe des abscisses est parallèle à la droite. Il s'agit alors de résoudre un système de la forme :

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\quad {\rm {et}}\quad y=y_{0}}$,

donc de chercher les solutions x de

${\displaystyle x^{2}=r^{2}-y_{0}^{2}}$.

Trois cas se présentent, selon que la distance entre le centre du cercle et la droite est plus grande que le rayon, égale, ou plus petite :

• si ${\displaystyle |y_{0}|>r}$, l'intersection est vide ;
• si ${\displaystyle |y_{0}|=r}$, la droite est tangente au cercle au point ${\displaystyle (0,y_{0})}$ ;
• si ${\displaystyle |y_{0}|<r}$, il existe deux points d'intersection : ${\displaystyle (+{\sqrt {r^{2}-y_{0}^{2}}},y_{0}){\text{ et }}(-{\sqrt {r^{2}-y_{0}^{2}}},y_{0})}$.

La longueur d'un arc de rayon r sous-tendu par un angle au centre α, exprimé en radians, est égale à αr. Ainsi, pour un angle de 2π (un tour complet), la longueur du cercle vaut 2πr.

L'aire du disque délimité par un cercle de rayon r vaut πr² ; si l'on prend une corde de longueur l donnée et que l'on s'en sert pour délimiter une surface fermée, la surface ayant la plus grande aire est délimitée par un cercle.

Selon la légende de la fondation de Carthage, le souverain avait permis aux Phéniciens de fonder une ville dont le pourtour serait délimité par une peau de vache ; Didon en fit une grande lanière et choisit une forme circulaire pour avoir la plus grande surface.

La longueur d'une corde sous-tendue par un angle α est égale à 2r sin(α/2).

On peut exprimer le rayon r d'un cercle, la corde c et la flèche f d'un quelconque de ses arcs, selon deux d'entre eux, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle formé par r – f, c/2 et r qui est l'hypoténuse :

${\displaystyle c=2{\sqrt {(2r-f)f}};\qquad r={\frac {4f^{2}+c^{2}}{8f}};\qquad f=r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {c^{2}}{4}}}}}$.

La sinuosité de deux arcs de cercle semblables opposés joints dans le même plan en continûment dérivable est indépendante du rayon du cercle.

Trouver le point de tangence.

Tangente perpendiculaire au rayon.

La tangente en un point du cercle est la perpendiculaire au rayon en ce point.

Cette propriété a des applications en optique géométrique : un rayon lumineux passant par le centre d'un miroir sphérique repart en sens inverse selon la même direction (on a une réflexion perpendiculaire au miroir). Si l'on met une ampoule au centre d'un miroir sphérique, la lumière est renvoyée de l'autre côté, ce qui permet par exemple de « rabattre » la lumière vers un miroir parabolique (principe du contre-miroir).

Considérons un cercle de centre O et un point A extérieur à ce cercle. On cherche une tangente à ce cercle passant par A ; le point de tangence est appelé T.

On utilise le fait que le triangle AOT est rectangle en T. Ce triangle rectangle est donc inscrit dans un cercle dont le centre est le milieu de [AO], ou encore, ce qui est équivalent, que l'hypoténuse a une longueur double de la médiane issue de l'angle droit.

On détermine donc le milieu I de [AO], puis on trace un arc de cercle de centre I et de rayon IO. Cet arc de cercle coupe le cercle aux points de tangence.

La médiatrice d'une corde passe par le centre.

La médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle. Ceci permet de trouver le centre d'un cercle : il suffit de tracer deux cordes non parallèles et de rechercher l'intersection de leurs médiatrices.

On peut aussi montrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes et que le point de concours est le centre du cercle passant par les trois sommets, appelé cercle circonscrit au triangle.

Triangle rectangle inscrit dans un cercle.

Prenons sur un cercle trois points A, B et C, dont deux — A et C — sont diamétralement opposés (c'est-à-dire que [AC] est un diamètre). Alors, le triangle ABC est rectangle en B.

Ceci découle du fait que la médiane issue de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse (on a un rayon et un diamètre) ; ceci est une propriété du triangle appelée le théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle, ou théorème de Thalès (en Allemagne et certains pays anglophones).

Réciproquement, soit A et C deux points diamétralement opposés d'un cercle. Soit B un point du plan tel que ABC soit rectangle en B. Alors B appartient au cercle[6].

Illustration de la relation entre les secteurs angulaires interceptant un même arc.

Prenons deux points distincts A et B du cercle. O est le centre du cercle et C est un autre point du cercle. Alors, on a

${\displaystyle {\widehat {AOB}}=2\times {\widehat {ACB}}}$

Pour l'angle au centre ${\displaystyle {\widehat {AOB}}}$, il faut considérer le secteur angulaire qui intercepte l'arc opposé à l'arc contenant C.

Cette propriété est utilisée dans les appareils d'analyse spectrale par dispersion de longueur d'onde, c'est la notion de cercle de focalisation ou cercle de Rowland.

Puissance d'un point par rapport à un cercle.

Si M est un point et Γ est un cercle de centre O et de rayon R, alors, pour toute droite passant par M et rencontrant le cercle en A et B, on a

${\displaystyle MA\times MB=|OM^{2}-R^{2}|}$.

Cette valeur ne dépend pas de la droite choisie, mais seulement de la position de M par rapport au cercle.

On peut remarquer que

• si M est à l’extérieur du cercle,${\displaystyle MA\times MB=OM^{2}-R^{2}}$ ;
• si M est à l’intérieur du cercle, ${\displaystyle OM^{2}-R^{2}=-MA\times MB}$ ;ce produit correspond au produit des mesures algébriques MA et MB.

On appelle alors puissance du point M par rapport au cercle Γ le produit des mesures algébriques MA et MB. Ce produit est indépendant de la droite choisie et vaut toujours ${\displaystyle OM^{2}-R^{2}}$.

Lorsque le point M est à l'extérieur du cercle, il est possible de mener des tangentes au cercle. En appelant T le point de contact d'une de ces tangentes, d'après le théorème de Pythagore dans le triangle OMT, la puissance de M est MT².

L'égalité :

${\displaystyle MA\times MB=MT^{2}}$

est suffisante pour affirmer que la droite (MT) est tangente au cercle.

La puissance d'un point permet de vérifier que quatre points sont cocycliques : en effet, si

• A, B, C, D sont quatre points tels que (AB) et (CD) se coupent en M et
• MA×MB = MC×MD (en mesures algébriques),

alors les quatre points sont cocycliques.

Illustration de l'unique disposition de N cercles inscrits, pour N de 2 à 7.

• Rayon ${\displaystyle R'}$ et surface ${\displaystyle S'}$ des 2 plus grands cercles inscrits dans le cercle de rayon R et de surface S :

  ${\displaystyle R'={\frac {R}{2}}\,;\qquad 2\,S'={\frac {S}{2}}}$

• Rayon ${\displaystyle R'}$ et surface ${\displaystyle S'}$ des 3 plus grands cercles inscrits :

  ${\displaystyle R'={\frac {R}{1+{\sqrt {\frac {4}{3}}}}}\,;\qquad 3\,S'={\frac {9\,S}{7+2{\sqrt {3}}}}}$

• Rayon ${\displaystyle R'}$ et surface ${\displaystyle S'}$ des 4 plus grands cercles inscrits :

  ${\displaystyle R'={\frac {R}{1+{\sqrt {2}}}}=({\sqrt {2}}-1)\,R\,;\qquad 4\,S'={\frac {4\,S}{3+{\sqrt {8}}}}}$

• Rayon ${\displaystyle R'}$ des 5 plus grands cercles inscrits :

  ${\displaystyle R'={\frac {R}{1+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {4}{5}}}}}}}}$

• Rayon ${\displaystyle R'}$ et surface ${\displaystyle S'}$ des 7 (ou 6) plus grands cercles inscrits (1 cercle au centre entouré de 6) :

  ${\displaystyle R'={\frac {R}{3}}\,;\qquad 7\,S'={\frac {7\,S}{9}}}$.

Inscription de cercles, de même rayon, dans un cercle, un triangle équilatéral, un carré[7]