Segment (mathématiques)

Dans le cadre de la géométrie affine sur le corps des nombres réels, le segment ${\displaystyle [\mathrm {A} ,\mathrm {B} ]}$ peut recevoir une définition précise[3] :

Dans cette définition, on suppose que ${\displaystyle \mathrm {A} }$ et ${\displaystyle \mathrm {B} }$ sont éléments d’un même espace affine (de dimension finie ou infinie, et qui peut être par ailleurs un espace vectoriel) sur le corps ${\displaystyle \mathbb {R} }$ des nombres réels.

Le barycentre ne changeant pas lorsque tous les coefficients sont multipliés par une même constante non nulle, on déduit immédiatement de cette remarque l’énoncé suivant[4] :

Lorsque l’on travaille dans un espace vectoriel, cette remarque fournit une description utile du segment ${\displaystyle [\mathrm {A} ,\mathrm {B} ]}$, à savoir :

${\displaystyle [\mathrm {A} ,\mathrm {B} ]=\{\,(1-t)\,\mathrm {A} +t~\mathrm {B} \ \mid \ t\in [0\,;1]\,\}.}$

Si l’espace affine est topologique et séparé (au sens de Hausdorff), alors un segment est compact, comme image du compact ${\displaystyle [0\,;1]}$ par l’application continue ${\displaystyle t\mapsto (1-t)\;\!\mathrm {A} +t\,\mathrm {B} }$.

On pourrait inverser les bornes des segments ; ainsi il est tout à fait licite d’écrire par exemple ${\displaystyle [\mathrm {B} ,\mathrm {A} ]}$ pour ${\displaystyle [\mathrm {A} ,\mathrm {B} ]}$. Cependant, il y a une ambiguïté dans le cas de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ : si les segments ${\displaystyle [1,2]}$ et ${\displaystyle [2,1]}$ sont égaux au sens affine, ils ne le sont pas en tant qu’intervalles puisque ${\displaystyle [2\,;1]}$ est l’intervalle vide (car ${\displaystyle 2>1}$).

En géométrie euclidienne, le segment est placé dans un espace euclidien ${\displaystyle E}$ — ce peut être notamment un plan ou l’espace à trois dimensions muni de la distance familière entre points.

Soient ${\displaystyle \mathrm {A} }$ et ${\displaystyle \mathrm {B} }$ points quelconques de ${\displaystyle E}$. La longueur du segment ${\displaystyle [\mathrm {A} ,\mathrm {B} ]}$ est égale à la distance ${\displaystyle \mathrm {AB} }$.

Le segment ${\displaystyle [\mathrm {A} ,\mathrm {B} ]}$ est l’ensemble des points où l’inégalité triangulaire devient une égalité, ce qu’on peut écrire[5] :

En géométrie hyperbolique, on peut également disposer du concept intuitif de « segment » entre ${\displaystyle \mathrm {A} }$ et ${\displaystyle \mathrm {B} }$ représentant la portion de la droite hyperbolique ${\displaystyle (\mathrm {AB} )}$ située « entre » ces deux points dans le plan hyperbolique (ou dans un espace hyperbolique de n’importe quelle dimension).

En revanche, on ne dispose pas d’une notion similaire aux barycentres pour écrire une définition plus précise. Il existe cependant d'autres voies menant à plusieurs définitions possibles selon qu’on ait choisi de privilégier la structure topologique de l’espace hyperbolique, ou sa structure d’espace métrique, ou le concept de géodésique. En voici une (topologique)[6] :

La caractérisation métrique donnée ci-dessus en géométrie euclidienne est également valide en géométrie hyperbolique[7].