Compacité (mathématiques)

Soient ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ une base de ${\displaystyle E}$ vérifiant cette hypothèse et ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ un recouvrement ouvert arbitraire de ${\displaystyle E}$. Notons ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ l'ensemble des ouverts ${\displaystyle O\in {\mathcal {B}}}$ inclus dans au moins un ${\displaystyle U_{i}}$:

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{O\in {\mathcal {B}}\quad \exists i\in I\quad O\in U_{i}\}}$

et montrons que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ recouvre ${\displaystyle E}$.

Puisque ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est une base, chaque ${\displaystyle U_{i}}$ est une réunion d'ouverts ${\displaystyle O\in {\mathcal {B}}}$, et même ${\displaystyle O\in {\mathcal {C}}}$ puisque ${\displaystyle O\in U_{i}}$, donc chaque ${\displaystyle U_{i}}$ est inclus dans la réunion ${\displaystyle \bigcup _{O\in {\mathcal {C}}}O}$, si bien que la réunion ${\displaystyle E=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ l'est aussi, donc ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ recouvre bien ${\displaystyle E}$.

Par hypothèse sur ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ possède alors un sous-recouvrement fini ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Pour chaque ${\displaystyle O\in {\mathcal {F}}}$, si l'on note ${\displaystyle i_{O}}$ l'un des ${\displaystyle i\in I}$ pour lesquels ${\displaystyle O\subset U_{i}}$, la famille ${\displaystyle (U_{i_{O}})_{O\in {\mathcal {F}}}}$ est un sous-recouvrement fini de ${\displaystyle U_{i}}$.

• Seulement si : immédiat car toute chaîne est stable par intersections finies.
• Si : soient ${\displaystyle X}$ un espace dans lequel l'intersection de toute chaîne de fermés non vides est non vide, ${\displaystyle (F_{i})_{i\in I}}$ une famille non vide de fermés non vides de ${\displaystyle X}$ stable par intersections finies et ${\displaystyle F}$ son intersection. Il s'agit de montrer que ${\displaystyle F\neq \emptyset }$. Notons ${\displaystyle M}$ l'ensemble de tous les fermés non vides ${\displaystyle G}$ de ${\displaystyle X}$ tels que ${\displaystyle \forall i\in I,G\cap F_{i}\neq \emptyset }$ et ${\displaystyle F\subset G\cap F_{i}}$. Tous les ${\displaystyle F_{i}}$ appartiennent à ${\displaystyle M}$, qui est donc non vide. Par hypothèse sur ${\displaystyle X}$, toute chaîne non vide d'éléments de ${\displaystyle M}$ a pour intersection un élément de ${\displaystyle M}$. D'après le lemme de Zorn, ${\displaystyle M}$ possède donc au moins un élément ${\displaystyle G}$ minimal pour l'inclusion. Or ${\displaystyle M}$ est stable par intersection avec chaque ${\displaystyle F_{i}}$ donc il contient tous les ${\displaystyle G\cap F_{i}}$. Par minimalité, ${\displaystyle G}$ est par conséquent inclus dans tous les ${\displaystyle F_{i}}$ donc dans ${\displaystyle F}$, ce qui prouve que ${\displaystyle F}$ n'est pas vide.

1. ⇒ 2. Soit ℱ un filtre sur ${\displaystyle E}$. Alors ${\displaystyle \bigcap \nolimits _{F\in {\text{ℱ}}}\!{\bar {F}}\neq \varnothing }$.
En effet l'intersection d'un nombre fini d'éléments de ℱ étant non vide, toute intersection finie ${\displaystyle {\overline {F_{1}}}\cap \ldots \cap {\overline {F_{n}}}}$ est non vide (où ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\text{ℱ}}}$). Par compacité de ${\displaystyle E}$ l'intersection ci-dessus est non vide et possède donc un élément ${\displaystyle a}$. Cet élément est adhérent à tout ${\displaystyle F\in {\text{ℱ}}}$, c'est-à-dire que tout voisinage de ${\displaystyle a}$ rencontre ${\displaystyle F}$ ; c'est la définition-même de l'adhérence d'un point à un filtre.

2. ⇒ 3. Soit 𝒰 un ultrafiltre sur ${\displaystyle E}$, et ${\displaystyle a}$ l'un de ses points adhérents, qui existe par hypothèse. Soit ${\displaystyle V}$ un voisinage quelconque de ${\displaystyle a}$ ; par maximalité de 𝒰 on a : ou bien ${\displaystyle V\in {\text{𝒰}}}$ ou bien ${\displaystyle E\smallsetminus V\in {\text{𝒰}}}$. Si cette dernière assertion était vérifiée, le fait que ${\displaystyle V\cap (E\setminus V)=\varnothing }$ contredirait l'adhérence de ${\displaystyle a}$ à 𝒰. C'est alors ${\displaystyle V}$ qui est élément de 𝒰, et donc 𝒰 converge vers ${\displaystyle a}$.

3. ⇒ 1. Considérons ${\displaystyle (F_{i})_{i\in I}}$, une famille de fermés de ${\displaystyle E}$ dont l'intersection de toute sous-famille finie est non vide.
L'ensemble des intersections ${\displaystyle \bigcap \nolimits _{1\leqslant k\leqslant n}\!F_{i_{k}}}$ (où ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n}\in I}$) constitue donc une base de filtre, laquelle engendre un filtre qui est lui-même inclus dans un ultrafiltre 𝒰. Par hypothèse 𝒰 converge vers un point ${\displaystyle a}$. Soit ${\displaystyle i\in I}$, et soit ${\displaystyle V}$ un voisinage quelconque de ${\displaystyle a}$, alors ${\displaystyle V\cap F_{i}\neq \varnothing }$ car ces deux ensembles sont éléments de 𝒰 ; on en déduit que ${\displaystyle a\in {\overline {F_{i}}}=F_{i}}$. Il en résulte que ${\displaystyle a\in \bigcap \nolimits _{i\in I}\!F_{i}}$ ; ce dernier ensemble est donc non vide et la propriété de Borel-Lebesgue (version en termes de fermés) est satisfaite pour ${\displaystyle E}$.