Théorème des valeurs intermédiaires

Profil de l'étape Pau-Hautacam du Tour de France 2008.

La 10^e étape du Tour de France 2008 était une course cycliste de 156 km de long partant de Pau (altitude : 200 m) et arrivant à Hautacam (1 520 m).

Le profil de l'étape est une fonction définie sur l'intervalle [0 ; 156] et à valeurs réelles. À tout nombre x de [0 ; 156], elle associe l'altitude du point situé à x kilomètres du départ. Puisque les altitudes s'échelonnent de 200 à 1 520 m, il paraît évident que les coureurs ayant terminé l'étape ont dû passer au moins une fois par toutes les altitudes intermédiaires, c'est-à-dire les altitudes entre 200 et 1520m. Par exemple, le coureur passera au moins une fois par l'altitude 1 000 m. Cependant, cette constatation s'appuie sur deux hypothèses :

• le parcours est un intervalle, ce qui suppose que l'espace est un « continuum » – les mathématiciens parlent d'espace connexe – c'est-à-dire qu'il n'y a pas de « trou » entre 0 et 156.
• la fonction altitude est continue, ce qui signifie qu'une variation infinitésimale du kilométrage entraîne une variation infinitésimale de l'altitude. En d'autres termes, un coureur ne peut pas se téléporter instantanément d'une altitude à une autre.

Remarquons que le raisonnement n'est plus valable si le profil n'est plus défini sur un intervalle, par exemple si l'on ne s'intéresse qu'aux points de contrôle marqués sur le graphique ci-contre : il se peut qu'aucun de ces points, si nombreux soient-ils, ne se trouve à 1 000 m d'altitude.

Le théorème des valeurs intermédiaires formalise ce raisonnement empirique.

Pour toute fonction f définie et continue sur un intervalle I de ℝ et à valeurs réelles, l'image f(I) est un intervalle de ℝ.

Énoncé équivalent :

Pour toute application continue f : [a, b] → ℝ et tout réel u compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = u.

Cas particulier (Théorème de Bolzano) :

Si f(a)f(b) ≤ 0, il existe au moins un réel c ∈ [a, b] tel que f(c) = 0 (car « f(a)f(b) ≤ 0 » signifie que 0 est compris entre f(a) et f(b)).

• Il faut prendre garde au fait que le théorème n'affirme pas que l'image de l'intervalle [a, b] par f est l'intervalle [f(a);f(b)]. C'est faux, comme le montre le contre-exemple de la fonction f(x) = sin(x) avec a = 0 et b = π ; dans ce cas, f([a, b]) = [0, 1] mais [f(0), f(π)] = {0}.
• Le théorème amène à se poser la question : n'y a-t-il pas équivalence entre la propriété de la valeur intermédiaire et la continuité ? La réponse est négative (voir la section Note historique). Un contre exemple est donné par la fonction réelle de la variable réelle f définie par :${\displaystyle f(x)=\sin \!\left({\frac {1}{x}}\right){\text{ si }}x\neq 0{\text{ et }}f(0)=0.}$Cette fonction n'est pas continue en 0 mais elle satisfait bien la propriété de la valeur intermédiaire pour chaque couple de réels. Un contre-exemple plus élaboré est la fonction de Conway en base 13, qui est discontinue en tout point.
• Il y a équivalence entre :

f est continue sur [a, b]

et

Pour tout sous-intervalle [c, d] inclus dans [a,b] et tout y élément de [f(c), f(d)], l'ensemble ${\displaystyle \{x\in [c,d],f(x)=y\}}$ est une partie non vide et fermée de [a,b][3].

• Ce théorème est essentiel à l'élaboration de la théorie de l'analyse élémentaire, il permet la démonstration du théorème de la bijection et la construction de nombreuses fonctions élémentaires comme la fonction racine carrée.
• Ce théorème est faux sur le corps des nombres rationnels. Il faut nécessairement utiliser les propriétés du corps des nombres réels. Par exemple, la fonction f(x) = x² – 2 de ℚ dans ℚ est continue sur [0, 2] et vérifie f(0) = –2, f(2) = 2. Cependant, il n'y a pas de nombre rationnel x tel que f(x) = 0.
• Ce théorème met en valeur une propriété topologique des nombres réels. Il se démontre simplement à l'aide de la topologie ou de manière plus laborieuse si l'on procède « manuellement ».
• Lorsque de plus f est strictement monotone, elle est injective donc la solution c est unique.
• Soient –∞ ≤ a < b ≤ +∞ et f : ]a, b[ → ℝ continue et possédant en a et b des limites L_a et L_b (éventuellement infinies). Alors, pour tout réel u strictement compris entre L_a et L_b, il existe un réel c dans ]a, b[ tel que f(c) = u[4].

• On utilise souvent ce théorème pour montrer que deux fonctions continues sur un même intervalle et dont la différence change de signe dans cet intervalle prennent la même valeur en au moins un point de cet intervalle.
  Exemple : Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle non vide [a, b] de ℝ, telles que g(a) – f(a) et g(b) – f(b) soient de signes contraires. Il existe au moins un réel c compris entre a et b et tel que f(c) = g(c).
  En effet, posons φ = f – g. La fonction φ est continue, et 0 est compris entre φ(a) et φ(b). Il existe donc au moins un réel c compris entre a et b et tel que φ(c) = 0, soit encore f(c) = g(c).
  Dans le cas particulier où g est l'identité sur l'intervalle [a, b] et où f(a) > a et f(b) < b, on obtient un théorème de point fixe (Brouwer en dimension 1).
• Pour tout polynôme P à coefficients réels et de degré impair, il existe au moins une racine réelle, c'est-à-dire un réel c tel que P(c) = 0.
  En effet, les limites de P en +∞ et –∞ sont infinies et (comme le degré de P est impair) opposées l'une de l'autre. Comme la fonction polynomiale P est continue, on déduit de la généralisation ci-dessous[5] qu'elle prend toutes les valeurs réelles, en particulier la valeur 0.

Énoncé et démonstration du théorème des valeurs intermédiaires par Cauchy (1821).

Fin de la démonstration par Cauchy (1821).

Dans son Cours d'Analyse de l'École royale polytechnique publié en 1821, Cauchy donne un énoncé du théorème des valeurs intermédiaires comme le théorème IV du chapitre II, puis il en donne une démonstration[6].

Le théorème des valeurs intermédiaires fait partie des théorèmes dits d'existence. Cependant, il n'existe pas de démonstration générale constructive de cette existence[7].

La démonstration originale de Bolzano repose sur la notion de borne supérieure d'un ensemble de réels[8].

Nous donnons ci-dessous deux autres démonstrations. La première est courte mais s'appuie sur une théorie plus élaborée, la topologie. La seconde est basée sur la méthode de dichotomie[9] et peut, dans une certaine mesure, être mise en œuvre numériquement.

La démonstration par dichotomie se traduit facilement sous forme algorithmique, à l'exception du test f(m_n) = u (où m_n est le milieu du n-ième intervalle), qu'on ne saurait vérifier exactement alors que l'on procède à des calculs numériques approchés. On préfère lui substituer la condition |f(m_n) – u| < ε, où ε est une erreur donnée à l'avance. L'algorithme fournira alors un réel x tel que |f(x) – u| < ε, mais cette valeur peut se révéler relativement éloignée de la valeur exacte c de la racine si l'on ne fait aucune autre hypothèse sur f que la continuité.

Dans le cas où f est C¹ (c'est-à-dire où f et sa première dérivée sont continues) et où l'on peut trouver un nombre m > 0 tel que |f '| > m dans l'intervalle où la méthode de dichotomie est appliquée, alors l'algorithme de la dichotomie converge vers un nombre c tel que f(c) = u. On a de plus, la majoration de l'écart entre la valeur x calculée par la dichotomie et c sous la forme |x – c| ≤ ε/m.

Par ailleurs, la méthode de dichotomie ne permet de trouver qu'une seule valeur x. Le fait d'éliminer tout un intervalle à chaque étape risque d'éliminer d'autres solutions.

Enfin, la dichotomie est un algorithme simple, mais n'est pas le plus performant : la précision n'augmente que d'un facteur 2 à chaque itération. On a donc cherché d'autres méthodes permettant une convergence plus rapide. La méthode de Newton ou méthode des tangentes en est une d'une bonne efficacité.