Image directe

• On définit en particulier l'image d'une application f définie sur X :${\displaystyle \mathrm {Im} (f)=f(X).}$
• On se gardera bien de confondre l'image directe par f d'une partie A de X, avec l'image par f d'un élément x de X, ou avec l'image de l'application f[1].
• Considérons l'application f de {1, 2, 3} dans {a, b, c, d} définie par f(1) = a, f(2) = c et f(3) = d. L'image directe de {2, 3} par f est f({2, 3}) = {c, d} tandis que l'image de f est {a, c, d}.

• Pour toutes parties ${\displaystyle A_{1}}$ et ${\displaystyle A_{2}}$ de ${\displaystyle X}$,${\displaystyle f\left(A_{1}\cup A_{2}\right)=f(A_{1})\cup f(A_{2}).}$Plus généralement, pour toute famille ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ de parties de ${\displaystyle X}$,${\displaystyle f\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_{i}).}$
• Pour toutes parties ${\displaystyle A_{1}}$ et ${\displaystyle A_{2}}$ de ${\displaystyle X}$,${\displaystyle f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\subset f(A_{1})\cap f(A_{2})}$et cette inclusion peut être stricte, sauf si ${\displaystyle f}$ est injective[2].
  On peut même prouver que ${\displaystyle f}$ est injective si et seulement si pour toutes parties ${\displaystyle A_{1}}$ et ${\displaystyle A_{2}}$ de ${\displaystyle X}$, on a ${\displaystyle f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)=f(A_{1})\cap f(A_{2})}$.

Plus généralement, pour toute famille non vide ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ de parties de ${\displaystyle X}$,

${\displaystyle f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\subset \bigcap _{i\in I}f(A_{i})}$.

• Toute partie B de Y contient l'image directe de son image réciproque f⁻¹(B) ; plus précisément[2] :${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap \mathrm {Im} (f).}$En particulier, si ${\displaystyle f}$ est surjective alors ${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B}$.

On peut même prouver que ${\displaystyle f}$ est surjective si et seulement si pour toute partie ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle Y}$ on a ${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B}$.

(Une démonstration est proposée dans l'article Surjection.)

• Toute partie A de X est contenue dans l'image réciproque de son image directe :${\displaystyle A\subset f^{-1}(f(A))}$et cette inclusion peut être stricte, sauf si ${\displaystyle f}$ est injective[2]. On peut même prouver que ${\displaystyle f}$ est injective si et seulement si pour toutes parties ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$, on a ${\displaystyle A=f^{-1}(f(A))}$.
• Si l'on considère de plus une application ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$, alors l'image directe d'une partie A de X par la composée ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ est :

  ${\displaystyle (g\circ f)\left(A\right)=g(f(A))}$.

• Théorie naïve des ensembles
• Image d'une partie par une fonction multivaluée (autrement dit : par une relation binaire)