Antécédent (mathématiques)
En mathématiques, étant donné deux ensembles E, F et une application , on appelle antécédent (par f) d'un élément y de F tout élément dont l'image par f est y, c'est-à-dire tout élément x de E tel que f(x) = y.
Dans ce diagramme d'application, 1 et 4 sont des antécédents de b.
Un antécédent de y est donc, par définition, un élément de l'image réciproque .
Exemples
Soient la fonction carré et y un nombre réel.
- Si y > 0 alors y admet deux antécédents, qui sont et .
- Si y = 0 alors y admet un seul antécédent, qui est 0.
- Si y < 0 alors y n'admet aucun antécédent.
Image d'un ensemble par une application
Soient une application et A une partie de E. On appelle « image de A par f » l'ensemble des éléments de F qui admettent au moins un antécédent appartenant à A ; on la note f(A). L'ensemble f(E) est appelé image de f.
Injections, surjections, bijections
Soit une application . On dit que f est :
- injective, si tout élément de F admet au plus un antécédent ;
- surjective, si tout élément de F admet au moins un antécédent, c'est-à-dire si ;
- bijective, si tout élément de F admet un antécédent et un seul. Dans ce cas, la bijection réciproque de f est l'application , où x est l'unique antécédent de y par f.
Développement informatique
Les développeurs utilisent le mot « argument » pour désigner le ou les antécédents d'une fonction.
Cet article est issu de wikipedia. Text licence: CC BY-SA 4.0, Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.