Bijection réciproque

La réciproque de la bijection ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle \mathrm {X} }$ vers ${\displaystyle \mathrm {Y} }$ est la fonction ${\displaystyle f^{-1}}$ qui de ${\displaystyle \mathrm {Y} }$ retourne vers ${\displaystyle \mathrm {X} }$.

Si ${\displaystyle f}$ est une bijection d'un ensemble ${\displaystyle \mathrm {X} }$ vers un ensemble ${\displaystyle \mathrm {Y} }$, cela veut dire (par définition des bijections) que tout élément ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle \mathrm {Y} }$ possède un antécédent et un seul par ${\displaystyle f}$. On peut donc définir une application ${\displaystyle g}$ allant de ${\displaystyle \mathrm {Y} }$ vers ${\displaystyle \mathrm {X} }$, qui à ${\displaystyle y}$ associe son unique antécédent, c'est-à-dire que ${\displaystyle f{\big (}g\left(y\right){\big )}=x}$.

L'application ${\displaystyle g}$ est une bijection, appelée bijection réciproque de ${\displaystyle f}$.

De façon plus générale, et en utilisant les notations fonctionnelles, si ${\displaystyle f}$ est une application d'un ensemble ${\displaystyle \mathrm {X} }$ vers un ensemble ${\displaystyle \mathrm {Y} }$ et s'il existe une application ${\displaystyle g}$ de ${\displaystyle \mathrm {Y} }$ vers ${\displaystyle \mathrm {X} }$ telle que ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{\mathrm {X} }}$ et ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{\mathrm {Y} }}$, alors ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ sont des bijections, et ${\displaystyle g}$ est la bijection réciproque de ${\displaystyle f}$.

La bijection réciproque de ${\displaystyle f}$ est souvent notée[2] ${\displaystyle f^{-1}}$, en prenant garde à la confusion possible avec la notation des exposants négatifs, pour laquelle on a ${\displaystyle x^{-1}=1/x}$.

La double propriété ${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {Id} _{\mathrm {X} }}$ et ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {Id} _{\mathrm {Y} }}$ montre que ${\displaystyle f}$ est aussi la bijection réciproque de ${\displaystyle f^{-1}}$, c'est-à-dire que ${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f}$.

La réciproque de ${\displaystyle g\circ f}$ est ${\displaystyle f^{-1}\circ g^{-1}}$.

La réciproque de la composée de deux bijections est donnée par la formule : ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}}$.

On peut remarquer que l'ordre de ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ a été inversé ; pour « défaire » ${\displaystyle f}$ suivi de ${\displaystyle g}$, il faut d'abord « défaire » ${\displaystyle g}$ puis « défaire » ${\displaystyle f}$.

Certaines bijections de ${\displaystyle \mathrm {E} }$ vers ${\displaystyle \mathrm {E} }$ sont leur propre réciproque, c'est le cas par exemple de l'application inverse :

$${\displaystyle {\begin{matrix}f:&\mathbb {R} ^{*}&\to &\mathbb {R} ^{*}\\&x&\mapsto &{\frac {1}{x}}\end{matrix}}}$$

ou de toute symétrie orthogonale dans le plan.

De telles applications sont dites involutives.

Le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire, le théorème de la bijection, assurent que toute application continue strictement monotone sur un intervalle ${\displaystyle I}$ détermine une bijection de ${\displaystyle I}$ sur ${\displaystyle f(I)=J}$ et que ${\displaystyle J}$ est aussi un intervalle. Cela signifie qu'une telle fonction possède une application réciproque définie sur ${\displaystyle J}$ à valeurs dans ${\displaystyle I}$.

Cette propriété permet la création de nouvelles fonctions définies comme application réciproque de fonctions usuelles.

Fonction ${\displaystyle f(x)}$	Départ et arrivée	Fonction réciproque	Départ et arrivée	Notes
Puissance ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$	${\displaystyle [0,+\infty [\to [0,+\infty [}$	Racine n-ième ${\displaystyle f^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}=x^{\frac {1}{n}}}$	${\displaystyle [0,+\infty [\to [0,+\infty [}$	${\displaystyle n}$ entier naturel non nul
Exponentielle ${\displaystyle f(x)=\mathrm {e} ^{x}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \to ]0,+\infty [}$	Logarithme naturel ${\displaystyle f^{-1}(x)=\ln(x)}$	${\displaystyle ]0,+\infty [\to \mathbb {R} }$
Exponentielle de base ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \to ]0,+\infty [}$	Logarithme de base a ${\displaystyle f^{-1}(x)=\log _{a}(x)}$	${\displaystyle ]0,+\infty [\to \mathbb {R} }$	${\displaystyle a}$ réel strictement positif
Puissance ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f(x)=x^{\alpha }}$	${\displaystyle ]0,+\infty [\to ]0,+\infty [}$	Puissance 1/α ${\displaystyle f^{-1}(x)=x^{1/\alpha }}$	${\displaystyle ]0,+\infty [\to ]0,+\infty [}$	${\displaystyle \alpha }$ réel non nul
Sinus ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$	${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]\to [-1,1]}$	Arc sinus ${\displaystyle f^{-1}(x)=\arcsin(x)}$	${\displaystyle [-1,1]\to [-\pi /2,\pi /2]}$
Cosinus ${\displaystyle f(x)=\cos(x)}$	${\displaystyle [0,\pi ]\to [-1,1]}$	Arc cosinus ${\displaystyle f^{-1}(x)=\arccos(x)}$	${\displaystyle [-1,1]\to [0,\pi ]}$
Tangente ${\displaystyle f(x)=\tan(x)}$	${\displaystyle ]-\pi /2,\pi /2[\to \mathbb {R} }$	Arc tangente ${\displaystyle f^{-1}(x)=\arctan(x)}$	${\displaystyle \mathbb {R} \to ]-\pi /2,\pi /2[}$

À l'aide de ces fonctions, la recherche de l'application réciproque consiste à résoudre l'équation ${\displaystyle f(x)=y}$, d'inconnue ${\displaystyle x}$ :

La fonction ${\displaystyle f\colon x\mapsto x^{2}+3}$ est une bijection de ${\displaystyle ]-\infty ,0]}$ sur ${\displaystyle [3,+\infty [}$ et possède une application réciproque que l'on cherche à déterminer en résolvant, pour ${\displaystyle y}$ dans ${\displaystyle [3,+\infty [}$, l'équation ${\displaystyle x^{2}+3=y}$, ou encore ${\displaystyle x^{2}=y-3}$. Puisque ${\displaystyle y\geq }$, cette équation possède deux solutions dont une seule appartenant à l'intervalle ${\displaystyle ]-\infty ,0]}$ : ${\displaystyle x=-{\sqrt {y-3}}}$. Donc la réciproque de ${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle f^{-1}}$ définie par ${\displaystyle f^{-1}(y)=-{\sqrt {y-3}}}$.

Cette recherche peut se révéler infructueuse et nécessiter la création d'une fonction nouvelle. Ainsi, la fonction ${\displaystyle f\colon x\mapsto f(x)=x\mathrm {e} ^{x}}$ est une bijection de ${\displaystyle [0,+\infty [}$ vers ${\displaystyle [0,+\infty [}$ ; l'équation correspondante ${\displaystyle y=x\mathrm {e} ^{x}}$ n'a pas de solution exprimable à l'aide des fonctions usuelles, ce qui oblige, pour exprimer ${\displaystyle x=f^{-1}(y)}$, à définir une nouvelle fonction, ici la fonction W de Lambert.

Courbes d'équations ${\displaystyle y=f(x)}$ et ${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$. La droite en pointillés a pour équation ${\displaystyle y=x}$.

Lorsque deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre, alors leurs représentations graphiques dans un plan muni d'un repère orthonormal sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite ${\displaystyle (D)}$ d'équation ${\displaystyle y=x}$ (appelée aussi première bissectrice).

En effet, si ${\displaystyle \mathrm {M} (x,y)}$ est un point du graphe de ${\displaystyle f}$, alors ${\displaystyle y=f(x)}$ donc ${\displaystyle x=f^{-1}(y)}$ donc ${\displaystyle \mathrm {M'} (y,x)}$ est un point du graphe de ${\displaystyle f^{-1}}$. Or le point ${\displaystyle \mathrm {M'} (y,x)}$ est le symétrique du point ${\displaystyle \mathrm {M} (x,y)}$ par rapport à la droite ${\displaystyle (D)}$, pour les deux raisons suivantes :

Le milieu du segment ${\displaystyle [\mathrm {MM'} ]}$ est sur la droite ${\displaystyle (D)}$, et d'autre part, le vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {MM} '}}}$ est orthogonal au vecteur de coordonnées ${\displaystyle (1,1)}$, qui est un vecteur directeur de la droite ${\displaystyle (D)}$ (leur produit scalaire canonique est nul).

On sait donc que ${\displaystyle s(\mathrm {M} )}$ est un point du graphe de ${\displaystyle f^{-1}}$. Un raisonnement analogue prouve que si ${\displaystyle \mathrm {M} }$ est un point du graphe de ${\displaystyle f^{-1}}$, alors ${\displaystyle s(\mathrm {M} )}$ est un point du graphe de ${\displaystyle f}$.

En général, la réciproque d'une fonction continue n'est pas continue mais la réciproque d'une fonction continue sur un intervalle ${\displaystyle I}$ à valeurs dans un intervalle ${\displaystyle J}$ est une fonction continue sur ${\displaystyle J}$, selon le théorème de la bijection.

Si ${\displaystyle f}$ est une fonction continue sur un intervalle ${\displaystyle I}$ à valeurs dans un intervalle ${\displaystyle J}$ et si ${\displaystyle f^{-1}}$ est sa réciproque, la fonction ${\displaystyle f^{-1}}$ est dérivable en tout point ${\displaystyle b}$ tant que ${\displaystyle f}$ admet en ${\displaystyle f(b)}$ une dérivée non nulle.

La dérivée en ${\displaystyle b}$ de ${\displaystyle f^{-1}}$ est alors ${\displaystyle {\frac {1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}}}$.

Un moyen simple de comprendre, mais non de démontrer, ce phénomène est d'utiliser les notations différentielles et de remarquer que ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}y}}={\frac {1}{{\rm {d}}y/{\rm {d}}x}}}$.

On trouve une démonstration dans l'article Dérivée et opérations sur Wikiversité.

Il n'est pas toujours possible de déterminer la réciproque de manière analytique : on sait calculer ${\displaystyle f(x)}$, mais on ne sait pas calculer ${\displaystyle f^{-1}(y)}$. Il faut alors utiliser une méthode graphique ou numérique.

La méthode graphique consiste à tracer la courbe représentative ${\displaystyle y=f(x)}$. On trace la droite d'ordonnée ${\displaystyle y}$ concernée, on recherche l'intersection de cette droite avec la courbe, et l'on trace la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par cette intersection. Le point d'intersection de cette droite avec l'axe des abscisses donne la valeur ${\displaystyle x}$ recherchée. C'est le principe d'un grand nombre d'abaques.

Numériquement, rechercher ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ revient à rechercher les racines de la fonction ${\displaystyle g(x)=f(x)-y}$.

Si l'on sait que le domaine de recherche — intervalle des x possibles — est « restreint » et que la fonction est dérivable sur cet intervalle, on peut linéariser la fonction, c'est-à-dire la remplacer par une fonction affine obtenue par un développement limité

${\displaystyle g(x)\simeq g(x_{0})+g'(x_{0})(x-x_{0})}$

On a ainsi une approximation de la solution, si ${\displaystyle g'(x_{0})\neq 0}$ :

$${\displaystyle f^{-1}(y)\simeq x_{0}-{\frac {g(x_{0})}{g'(x_{0})}}}$$

C'est la démarche de l'algorithme de Newton, mais avec une seule itération.

On peut également utiliser une fonction d'approximation plus complexe mais néanmoins inversible.