Fonction W de Lambert

On a W(y) e^W(y) = y, donc, si W désigne une des deux branches W₀ ou W₋₁ :

${\displaystyle \forall y\neq 0,\ \mathrm {e} ^{W(y)}={\frac {y}{W(y)}}.}$

De l'égalité de la définition, on peut déduire :

• ${\displaystyle W(-\mathrm {e} ^{-1})=-1}$ (où W désigne l'une quelconque des deux branches)
• ${\displaystyle W_{0}(x\cdot \mathrm {e} ^{x})=x,\quad }$ si x ≥ - 1 .
• ${\displaystyle W_{-1}(x\cdot \mathrm {e} ^{x})=x,\quad }$ si x ≤ - 1 .
• ${\displaystyle W(x)=\ln \left({\frac {x}{W(x)}}\right)}$ (où W désigne l'une quelconque des deux branches et x est non nul)
• ${\displaystyle \ln W_{0}(x)=\ln(x)-W_{0}(x)}$ si x > 0[5]
• ${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {\ln a}{a}}\right)=-\ln a\quad \left(0<a\leqslant \mathrm {e} \right)}$
• ${\displaystyle W_{-1}\left(-{\frac {\ln a}{a}}\right)=-\ln a\quad \left(a\geqslant \mathrm {e} \right)}$
• ${\displaystyle W_{0}\left(A{\ln A}\right)=\ln A\quad {\textrm {et}}\quad \mathrm {e} ^{W_{0}(A\ln A)}=A\quad \left(A\geqslant {\frac {1}{\mathrm {e} }}\right)}$
• ${\displaystyle W_{-1}\left(x{\ln x}\right)=\ln x\quad {\textrm {et}}\quad \mathrm {e} ^{W_{-1}(x\ln x)}=x\quad \left(0<x\leqslant {\frac {1}{\mathrm {e} }}\right)}$

Voici quelques valeurs remarquables de W, obtenues simplement en remarquant que f(0)=0, f(1)=e, f(–1)=–1/e, etc. :

• ${\displaystyle W_{0}(0)=0\,}$
• ${\displaystyle W_{0}(\mathrm {e} )=1\,}$
• ${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {1}{\mathrm {e} }}\right)=W_{-1}\left(-{\frac {1}{\mathrm {e} }}\right)=-1\,}$
• ${\displaystyle W_{0}(1)=\Omega \simeq 0,56714329\dots \,\,}$ où Ω est la constante oméga
• ${\displaystyle W_{0}(1)=\mathrm {e} ^{-W_{0}(1)}=\ln \left({\frac {1}{W_{0}(1)}}\right)=-\ln W_{0}(1)}$

On peut obtenir de même des valeurs complexes de W(x) pour certains x < −1/e ; ainsi ${\displaystyle W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)=\pm {\frac {\mathrm {i} \pi }{2}}}$

Si W désigne une des deux branches W₀ ou W₋₁, la formule de dérivation des bijections réciproques montre que sa dérivée est :

pour ${\displaystyle \,x\neq -{\frac {1}{\mathrm {e} }},\quad W'(x)={\frac {1}{(1+W(x))\mathrm {e} ^{W(x)}}}={\frac {1}{x+\mathrm {e} ^{W(x)}}}\,}$

pour x ≠ 0 et ${\displaystyle \,x\neq -{\frac {1}{e}},\quad W'(x)={\frac {W(x)}{x(1+W(x))}},}$

${\displaystyle W_{0}'\left(0\right)=1}$

ce qui a pour conséquence que chacune des deux branches de W satisfait l'équation différentielle :

${\displaystyle x(1+y)y'=y\quad }$ pour x ≠ −1/e.

Cette équation est d'ailleurs à variables séparables, et ses solutions sont toutes de la forme ${\displaystyle x\mapsto W_{-1}(kx)}$ (avec k ≠ 0) ou ${\displaystyle x\mapsto W_{0}(kx)}$.

La fonction W désignant une des deux branches W₀ ou W₋₁, beaucoup de fonctions impliquant W, peuvent être intégrées en utilisant le changement de variable w = W(x), i.e. x = we^w :

${\displaystyle \int W(x)\,\mathrm {d} x=xW(x)-x+\mathrm {e} ^{W(x)}+C=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C}$

Représentation de la branche principale W₀ de la fonction de Lambert dans le plan complexe (le code des couleurs utilisé est commenté précisément au début de l'article « Fonction zêta »).

La série de Taylor de W₀ au voisinage de 0 peut être obtenue par l'utilisation du théorème d'inversion de Lagrange[6] et est donnée par

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\dotsb }$.

Le rayon de convergence est égal à 1/e. Cette série peut être prolongée en une fonction holomorphe définie en tout nombre complexe n'appartenant pas à l'intervalle réel ]−∞, –1/e] ; cette fonction holomorphe est aussi appelée la branche principale de la fonction W de Lambert.

Nous déduisons de la série de Taylor l'équivalent suivant de W₀(x) en 0 : ${\displaystyle W_{0}(x)\,{\underset {0}{\sim }}\,x}$

On peut calculer W₀(x) de manière itérative, en commençant avec une valeur initiale w₀ égale à 1 et en calculant les termes de la suite

${\displaystyle w_{n+1}=x\mathrm {e} ^{-w_{n}}}$.

Si cette suite converge, on voit aisément que sa limite est W₀(x). On démontre que c'est en effet le cas si ${\displaystyle x\in [-\mathrm {e} ^{-1};\mathrm {e} ]}$ :

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }w_{n}=W_{0}(x).}$

Il est moins simple, mais beaucoup plus efficace, d'utiliser la méthode de Newton, partant de w₀ = 1, et posant

${\displaystyle w_{n+1}=w_{n}-{\frac {w_{n}\mathrm {e} ^{w_{n}}-x}{(1+w_{n})\mathrm {e} ^{w_{n}}}}\$ ;}

cette suite converge (très rapidement) vers W₀(x) pour tout x > 1/e.

Par exemple, pour résoudre l'équation 2^t = 5t, nous divisons par ${\displaystyle -{\frac {5}{\ln 2}}2^{t}}$ pour obtenir ${\displaystyle {\frac {-\ln 2}{5}}=-\ln(2)t\mathrm {e} ^{-\ln(2)t}.}$ La définition de la « fonction » W donne alors ${\displaystyle -\ln(2){t}=W\left({\frac {-\ln(2)}{5}}\right)}$, soit ${\displaystyle t=-{\frac {W(-\ln(2)/5)}{\ln(2)}}.}$

Comme ${\displaystyle -{\frac {\ln 2}{5}}<0,}$ cette formule donne deux solutions réelles : ${\displaystyle t_{0}=-{\frac {W_{0}(-\ln(2)/5)}{\ln(2)}}}$ et ${\displaystyle t_{1}=-{\frac {W_{-1}(-\ln(2)/5)}{\ln(2)}}.}$

Avec la « fonction » W de Lambert, on peut résoudre des équations du type x^x = z (avec ${\displaystyle z\geq \mathrm {e} ^{-1/\mathrm {e} }}$ et ${\displaystyle x\geq 1/\mathrm {e} }$) par :

${\displaystyle \ln z=x\ln x=\mathrm {e} ^{\ln x}\,\ln x\Longleftrightarrow \ln(x)=W(\ln z),}$

donc

${\displaystyle x=\mathrm {e} ^{W(\ln z)}\;}$
et, si ${\displaystyle z\not =1}$, ${\displaystyle \;x={\frac {\ln(z)}{W(\ln z)}}}$.

Les solutions de l'équation :

${\displaystyle x\log _{b}(x)=a}$

(avec ${\displaystyle b>0}$ et ${\displaystyle a\ln b\geq -1/\mathrm {e} }$), équivalente à ${\displaystyle x^{x}=b^{a}\,}$, sont données avec la « fonction » W de Lambert :

${\displaystyle x=\mathrm {e} ^{W(a\ln(b))}\;}$
et, si ${\displaystyle a\ln b\not =0}$, ${\displaystyle \quad x={\frac {a\ln(b)}{W(a\ln(b))}}}$

.

En général, la tour de puissances infinie ${\displaystyle x^{x^{x^{..}}}}$ converge si et seulement si ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {e} }\leq x\leq \mathrm {\mathrm {e} } ^{1/\mathrm {e} }}$.

Si r est un nombre réel avec ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-1}\leq r\leq \mathrm {e} }$ et x le nombre ${\displaystyle x=r^{1/r}}$, alors la limite de la suite définie par ${\displaystyle u_{n+1}=x^{u_{n}}}$ et ${\displaystyle u_{0}=x}$ est r :

${\displaystyle x^{x^{x^{..}}}=r}$.

Quand une tétration infinie ${\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$ converge, la fonction W₀ de Lambert fournit la valeur de la limite réelle comme : ${\displaystyle r=\mathrm {e} ^{-W_{0}(-\ln x)}}$
(${\displaystyle r={\frac {W_{0}(-\ln x)}{-\ln x}}}$ si x ≠ 1).

Cela peut être étendu aux nombres complexes z avec la définition :

${\displaystyle h(z)=z^{z^{z^{.^{.^{.}}}}}=\mathrm {e} ^{-W_{0}(-\operatorname {Log} z)}=-{\frac {\mathrm {W} _{0}(-\operatorname {Log} z)}{\operatorname {Log} z}}}$

où Log z représente la branche principale de la fonction logarithme complexe.

La bijection réciproque de ${\displaystyle g:x\mapsto x+\mathrm {e} ^{x}}$ peut être obtenue explicitement : résolvant l'équation ${\displaystyle g(x)=x+\mathrm {e} ^{x}=y,}$ on remarque d'abord qu'elle équivaut, en posant ${\displaystyle X=\mathrm {e} ^{x},}$ à ${\displaystyle X\mathrm {e} ^{X}=\mathrm {e} ^{y},}$ et donc ${\displaystyle X=W_{0}(\mathrm {e} ^{y}),}$ soit :

${\displaystyle x=g^{-1}(y)=\ln W_{0}(\mathrm {e} ^{y})=y-W_{0}(\mathrm {e} ^{y}).}$

Résolution des équations de forme : ${\displaystyle ae^{x}+bx+c=0}$ avec ${\displaystyle (a,b,c)\in \mathbb {R} ^{*2}\times \mathbb {R} }$ et x dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

On pose ${\displaystyle \Delta ={\frac {a}{b}}\mathrm {e} ^{-{\frac {c}{b}}}}$, ce nombre est appelé le discriminant. Il intervient dans la détermination du nombre de solutions de l'équation.

Théorème — Les solutions de l'équation ${\displaystyle ae^{x}+bx+c=0}$ sont:

• Si ${\displaystyle \Delta \geq 0}$ ou si ${\displaystyle \Delta =-{\frac {1}{\mathrm {e} }}}$ alors l'équation admet une solution dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

${\displaystyle x=-W_{0}(\Delta )-{\frac {c}{b}}}$

• Si ${\displaystyle \Delta \in ]-{\frac {1}{\mathrm {e} }};0[}$ alors l'équation admet deux solutions dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

${\displaystyle x_{1}=-W_{0}(\Delta )-{\frac {c}{b}}}$ ${\displaystyle x_{2}=-W_{-1}(\Delta )-{\frac {c}{b}}}$

• Si ${\displaystyle \Delta <-{\frac {1}{\mathrm {e} }}}$ alors ${\displaystyle E_{2}}$ n'admet pas de solution dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Démonstration

Factorisons l'équation ci-dessus de manière à la mettre sous la forme ${\displaystyle X\mathrm {e} ^{X}=Y}$.

${\displaystyle a\mathrm {e} ^{x}+bx+c=0\Leftrightarrow {\frac {a}{b}}\mathrm {e} ^{x}+x+{\frac {c}{b}}=0\Leftrightarrow {\frac {a}{b}}\mathrm {e} ^{x}=-x-{\frac {c}{b}}\Leftrightarrow \left(-x-{\frac {c}{b}}\right){\frac {b}{a}}\mathrm {e} ^{-x}=1}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left(-x-{\frac {c}{b}}\right)\mathrm {e} ^{-x-{\frac {c}{b}}}={\frac {a}{b}}\mathrm {e} ^{-{\frac {c}{b}}}}$ (produit par ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\mathrm {e} ^{-{\frac {c}{b}}}}$)

Posons ${\displaystyle X=-x-{\frac {c}{b}}}$ et ${\displaystyle \Delta ={\frac {a}{b}}\mathrm {e} ^{-{\frac {c}{b}}}}$. On a alors : ${\displaystyle X\mathrm {e} ^{X}=\Delta }$. On trouve alors : ${\displaystyle X=W(\Delta )}$. On obtient finalement :

${\displaystyle x=-W(\Delta )-{\frac {c}{b}}}$

La fonction W de Lambert étant multivaluée sur ${\displaystyle \left]{\frac {-1}{\mathrm {e} }};0\right[}$, on en déduit la quantité de solutions réelles de l'équation.

À l'aide du changement de variable x = ln(z), on en déduit la résolution des équations de la forme : ${\displaystyle a\ln(x)+bx+c=0}$ avec ${\displaystyle (a,b,c)\in \mathbb {R} ^{*2}\times \mathbb {R} }$ et x dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*+}}$. Les solutions sont alors (en n'oubliant pas que W est multivaluée) de la forme :

${\displaystyle x=\exp \left(-{W\left(\Delta \right)}-{\frac {c}{a}}\right)}$ ,

où ${\displaystyle {\Delta ={\frac {b}{a}}\mathrm {e} ^{-{\frac {c}{a}}}}}$.

Plus généralement, la fonction W de Lambert permet de résoudre les équations de la forme : ${\displaystyle a\lambda ^{x}+bx+c=0}$ et ${\displaystyle a\log _{\lambda }(x)+bx+c=0}$ avec ${\displaystyle \lambda >0}$ et ${\displaystyle \lambda \neq 1}$, x dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle (a,b,c)\in \mathbb {R} ^{*2}\times \mathbb {R} }$.

Il suffit pour cela de considérer une fonction ${\displaystyle W_{\lambda }}$ tel que ${\displaystyle X\lambda ^{X}=Y\Longleftrightarrow X=W_{\lambda }(Y)}$ de répéter la démonstration ci-dessus et de considérer la formule de changement de base : ${\displaystyle W_{\lambda }(x)={\frac {W(x\ln(\lambda ))}{\ln(\lambda )}}}$. On obtient alors, avec ${\displaystyle \Delta ={\frac {a}{b}}\lambda ^{-{\frac {c}{b}}}}$ :

${\displaystyle a\lambda ^{x}+bx+c=0\Leftrightarrow x=-W_{\lambda }(\Delta )-{\frac {c}{b}}=-{\frac {W(\Delta \ln(\lambda ))}{\ln(\lambda )}}-{\frac {c}{b}}}$

et avec ${\displaystyle \Delta ^{\prime }={\frac {b}{a}}\lambda ^{-{\frac {c}{a}}}}$:

${\displaystyle a\log _{\lambda }(x)+bx+c=0\Leftrightarrow x=\lambda ^{\left(-{\frac {W\left(\Delta ^{\prime }\ln(\lambda )\right)}{\ln(\lambda )}}-{\frac {c}{a}}\right)}}$

Il faut alors considérer le nombre ${\displaystyle \Delta \ln(\lambda )}$ pour déterminer la quantité de solutions des équations.

Dans la loi du déplacement de Wien : ${\displaystyle \sigma _{w}=\mathrm {T\cdot \lambda _{max}} =2,898\cdot 10^{-3}\;\mathrm {m\cdot K} }$. La constante de Wien, noté ${\displaystyle \sigma _{w}}$ peut être déterminée explicitement à l'aide de la fonction W de Lambert.

Elle vaut : ${\displaystyle \sigma _{w}={\frac {1}{5+W_{0}(-5e^{-5})}}{\frac {\mathrm {hc} }{\mathrm {k_{B}} }}}$, avec h la constante de Planck, c la vitesse de la lumière dans le vide et k_B la constante de Boltzmann.

La solution pour connaître la valeur du courant dans un circuit en série de diode/résistance peut être donnée par la fonction W de Lambert. Voir la modélisation d'une diode (en).