Constante oméga

En mathématiques, la constante oméga, notée Ω, est le réel positif défini par l'égalité

\Omega \,\exp(\Omega )=1

Autres définitions

La constante $Ω$ vérifie :

$\Omega =W_{0}(1)$ .
En effet, la fonction $W$ de Lambert est la réciproque de la fonction $t\mapsto t\exp(t)$ . Le nom de la constante provient de l'autre appellation de cette fonction : la fonction Oméga ;
$\Omega =\exp(-\Omega )$ ;
$\Omega =-\ln \Omega$ .

$Ω$ = 0,5671432904… (suite A030178 de l'OEIS).

Toute suite définie par récurrence par une valeur initiale arbitraire $Ω 0$ et $\Omega _{n+1}=\mathrm {e} ^{-\Omega _{n}}$ converge vers $Ω$ .

\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{(\mathrm {e} ^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{1+\Omega }}

\Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {{\rm {e}}^{{\rm {e}}^{{\rm {i}}t}}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}t}}{{\rm {e}}^{{\rm {e}}^{{\rm {i}}t}}-{\rm {e}}^{{\rm {i}}t}}}\right){\rm {d}}t={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}{\rm {e}}^{t\cot t}\right){\rm {d}}t

D'après le théorème d'Hermite-Lindemann, $Ω$ est transcendant. En effet, si $Ω$ était algébrique, $\Omega =\mathrm {e} ^{-\Omega }$ serait transcendant, ce qui est contradictoire.

István Mező, « An integral representation for the Lambert W function », arXiv:2012.02480 [math],‎ 4 décembre 2020 (lire en ligne, consulté le 14 mai 2021)

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