Fonction multivaluée

• Dans les réels, à chaque élément positif x, la relation ${\displaystyle y^{2}=x}$ fait correspondre deux éléments ${\displaystyle |y|}$ et ${\displaystyle -|y|}$ avec ${\displaystyle |y|^{2}=x}$. On se restreint de manière habituelle à la valeur positive ${\displaystyle |y|}$ pour avoir alors la fonction racine carrée.

• Dans les complexes, en définissant un élément z du plan complexe ${\displaystyle \mathbb {C} }$ par ${\displaystyle z=|z|\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\theta }}$ avec ${\displaystyle \theta }$ l'argument de z, les racines carrées de z sont les nombres ${\displaystyle w_{k}}$ (${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$) donnés par :

${\displaystyle w_{k}={\sqrt {|z|}}\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\theta /2}\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\pi k}}$

on vérifie en effet que ${\displaystyle w_{k}^{2}=|z|\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\theta }\mathrm {e} ^{2{\rm {i}}\pi k}=z}$ puisque ${\displaystyle \mathrm {e} ^{2{\rm {i}}\pi k}=1}$ pour tout entier k.

En définissant un élément z du plan complexe comme précédemment, les logarithmes complexes de z sont les nombres ${\displaystyle w_{k}}$ (${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$) donnés par :

${\displaystyle w_{k}=\ln |z|+{\rm {i}}\theta +2{\rm {i}}\pi k}$

on vérifie en effet que ${\displaystyle \exp(w_{k})=|z|\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\theta }\mathrm {e} ^{2{\rm {i}}\pi k}=z}$ puisque, comme précédemment, ${\displaystyle \mathrm {e} ^{2{\rm {i}}\pi k}=1}$ pour tout entier k.

Soient ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ deux ensembles. Une multifonction ${\displaystyle F:X\multimap Y}$ est une application de ${\displaystyle X}$ dans l'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {P}}(Y)}$ des parties de ${\displaystyle Y}$.

L'application qui, à une multifonction ${\displaystyle F:X\multimap Y}$, associe la relation binaire « ${\displaystyle y\in F(x)}$ », est une bijection entre les multifonctions de ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle Y}$ et les relations entre ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$. C'est pourquoi l'on appelle graphe de ${\displaystyle F}$ le graphe de la relation binaire associée, c'est-à-dire l'ensemble

(et non pas le graphe de la fonction ${\displaystyle F}$, qui est une partie de ${\displaystyle X\times {\mathcal {P}}(Y)}$).

De même, l'image d'une partie ${\displaystyle P\subset X}$ et l'image réciproque d'une partie ${\displaystyle Q\subset Y}$ par une multifonction ${\displaystyle F:X\multimap Y}$ sont définies comme l'image et l'image réciproque par la relation binaire associée :

${\displaystyle {\begin{aligned}F(P)&:=&\{y\in Y\mid \exists x\in P\quad y\in F(x)\}&=&\bigcup _{x\in P}F(x)\\F^{-1}(Q)&:=&\{x\in X\mid \exists y\in Q\quad y\in F(x)\}&=&\{x\in X\mid F(x)\cap Q\neq \varnothing \}.\end{aligned}}}$

En particulier, on appelle domaine — ou ensemble de définition[2] — et image — ou ensemble des valeurs (ou ensemble des images)[2] — de ${\displaystyle F}$ le domaine et l'image de la relation binaire associée :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}(F)&:=&F^{-1}(Y)&=&\{x\in X\mid F(x)\neq \varnothing \}\\{\mathcal {R}}(F)&:=&F(X)&=&\bigcup _{x\in X}F(x).\end{aligned}}}$

Une sélection de ${\displaystyle F}$ est une fonction de choix, c'est-à-dire une application ${\displaystyle f:{\mathcal {D}}(F)\to Y}$ telle que ${\displaystyle \forall x\in {\mathcal {D}}(F)\quad f(x)\in F(x)}$.

La multifonction réciproque ${\displaystyle F^{-1}:Y\multimap X}$ de ${\displaystyle F:X\multimap Y}$ est sa relation binaire réciproque, définie par ${\displaystyle x\in F^{-1}(y)\Leftrightarrow y\in F(x)}$.

Le domaine et l'image de ${\displaystyle F^{-1}}$ sont donc respectivement l'image et le domaine de ${\displaystyle F}$ et plus généralement, l'image réciproque par ${\displaystyle F^{-1}}$ d'une partie de ${\displaystyle X}$ est égale à son image directe par ${\displaystyle F}$, et l'image directe par ${\displaystyle F^{-1}}$ d'une partie de ${\displaystyle Y}$ est égale à son image réciproque par ${\displaystyle F}$.

• Soient ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ des espaces topologiques métrisables et ${\displaystyle F:X\multimap Y}$ une multifonction. On[4] dit que ${\displaystyle F}$ est :
  • fermée au point ${\displaystyle x\in X}$ si ${\displaystyle y\in F(x)}$ chaque fois que ${\displaystyle (x_{k},y_{k})\in {\mathcal {G}}(F)}$ converge vers ${\displaystyle (x,y)}$ ;
  • fermée si son graphe est un fermé de l'espace produit ${\displaystyle X\times Y}$ (ce qui revient à dire que ${\displaystyle F}$ est fermée en tout point de ${\displaystyle X}$).
• Si ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ sont des espaces vectoriels réels, on dit qu'une multifonction ${\displaystyle F:X\multimap Y}$ est :
  • convexe si son graphe est convexe ;
  • un processus convexe si son graphe est un cône convexe pointé.
• Si ${\displaystyle (X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ est un espace préhilbertien, on dit qu'une multifonction ${\displaystyle F:X\multimap X}$ est monotone si ${\displaystyle \forall (x,y)\in {\mathcal {G}}(F)\quad \forall (x',y')\in {\mathcal {G}}(F)\quad \langle y-y',x-x'\rangle \geqslant 0}$.

Soient ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ des espaces topologiques. On dit qu'une multifonction ${\displaystyle F:X\multimap Y}$ est semi-continue supérieurement en ${\displaystyle x\in X}$ si pour tout voisinage ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle F(x)}$, l'ensemble ${\displaystyle \{x'\in X\mid F(x')\subset V\}}$ est un voisinage de ${\displaystyle x}$[5].

En termes simples, cela veut dire que lorsque ${\displaystyle x'\to x}$, ${\displaystyle F(x')}$ peut à la limite subitement grossir en ${\displaystyle x}$ mais pas rapetisser. Des exemples classiques de multifonctions semi-continues supérieurement sont le sous-différentiel d'une fonction convexe et le différentiel de Clarke d'une fonction lipschiztienne.

Soient ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ des espaces de Banach, dont on note respectivement ${\displaystyle B_{X}}$ et ${\displaystyle B_{Y}}$ les boules unité ouvertes, et ${\displaystyle F:X\multimap Y}$ une multifonction.

Le résultat ci-dessous[6] affirme que si ${\displaystyle F}$ est une multifonction convexe fermée et si ${\displaystyle y}$ est intérieur à son image ${\displaystyle F(X)={\mathcal {R}}(F)}$, alors ${\displaystyle y}$ est intérieur à l'image par ${\displaystyle F}$ de toute boule ouverte centrée en un point arbitraire de l'image réciproque ${\displaystyle F^{-1}(y)}$ de ${\displaystyle y}$ par ${\displaystyle F.}$ On note ${\displaystyle \operatorname {int} \,P}$ l'intérieur d'une partie ${\displaystyle P.}$

Théorème de l'application ouverte pour les multifonctions — On suppose que ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ sont des espaces de Banach, que ${\displaystyle F:X\multimap Y}$ est une multifonction convexe et fermée et que ${\displaystyle y\in \operatorname {int} \,{\mathcal {R}}(F).}$ Alors

${\displaystyle \forall \,x\in F^{-1}(y),\quad \forall \,r>0,\quad y\in \operatorname {int} F(x+rB_{X}).}$

On retrouve bien le théorème de l'application ouverte dans le cas où ${\displaystyle F}$ est une application linéaire continue (d'où son nom), lequel affirme que ${\displaystyle 0\in Y}$ est intérieur à l'image de la boule unité ${\displaystyle B_{X}}$. En effet, dans ce cas ${\displaystyle F}$ est une multifonction convexe (son graphe est un sous-espace vectoriel) et fermée (sens évident du théorème du graphe fermé), ${\displaystyle 0\in Y}$ est bien dans l'intérieur de ${\displaystyle F(X)}$ (car ${\displaystyle F}$ est surjective) ; le théorème ci-dessus affirme alors que ${\displaystyle 0\in Y}$ est intérieur à l'image par ${\displaystyle F}$ de toute boule de rayon non nul centrée en ${\displaystyle 0\in F^{-1}(0)}$ (ou tout autre point de ${\displaystyle F^{-1}(0)}$ d'ailleurs).

Soient ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ des espaces de Banach, dont on note respectivement ${\displaystyle B_{X}}$ et ${\displaystyle B_{Y}}$ les boules unité ouvertes, et ${\displaystyle F:X\multimap Y}$ une multifonction[7].

On dit que ${\displaystyle F}$ est ouverte en ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in {\mathcal {G}}(F)}$, avec un taux ${\displaystyle \tau >0}$, s'il existe un rayon maximal ${\displaystyle r_{\max }>0}$ et un voisinage ${\displaystyle W}$ de ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ dans ${\displaystyle X\times Y}$, tels que pour tout ${\displaystyle (x,y)\in {\mathcal {G}}(F)\cap W}$ et tout ${\displaystyle r\in [0,r_{\max }]}$, on a

${\displaystyle y+\tau \,r\,B_{Y}\subset F(x+r\,B_{X}).}$

Pour une application convexe, on peut se restreindre à une condition en ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ seulement.

Pour une application convexe fermée, le théorème de l'application ouverte permet de simplifier encore l'expression de l'ouverture de ${\displaystyle F}$ en ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$.

Ce concept d'ouverture d'une multifonction est en réalité identique à celui de régularité métrique.

On dit que ${\displaystyle F}$ est métriquement régulière en ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in {\mathcal {G}}(F)}$, avec un taux ${\displaystyle \mu >0}$, s'il existe un voisinage ${\displaystyle W}$ de ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ dans ${\displaystyle X\times Y}$, tels que pour tout ${\displaystyle (x,y)\in W}$, on a

${\displaystyle \operatorname {d} {\bigl (}x,F^{-1}(y){\bigr )}\leqslant \mu \,\operatorname {d} {\bigl (}y,F(x){\bigr )}.}$

On rappelle que la distance à un ensemble ${\displaystyle P}$ est définie par, ${\displaystyle \operatorname {d} (x,P):=\inf\{\|x-x'\|:x'\in P\}}$ et que celle-ci vaut ${\displaystyle +\infty }$ si ${\displaystyle P=\varnothing }$.

Figure 3 : Illustration du contour ${\displaystyle \gamma }$ (en bleu) employé pour le premier exemple. Les deux pôles simples ±i sont représentés en rouge. La partie ${\displaystyle \gamma _{R}}$ représente le cercle extérieur de rayon R, la partie ${\displaystyle \gamma _{\epsilon }}$ représente le demi-cercle intérieur de rayon ${\displaystyle \epsilon }$. ${\displaystyle \gamma _{1,2}}$ sont les deux segments restants.

Problème : calculer l'intégrale suivante :

${\displaystyle I=\int _{0}^{+\infty }{x^{a} \over 1+x^{2}}\mathrm {d} x}$

pour ${\displaystyle |a|<1}$.

Solution : en considérant le contour ${\displaystyle \gamma }$ illustré à la figure 3 ainsi que la détermination suivante du logarithme :

${\displaystyle \mathrm {log} (z)=\ln |z|+{\rm {i}}\theta ,\quad (\theta \in [0,2\pi [)}$

(le contour « entoure » donc la discontinuité de la détermination que nous avons choisie), on obtient : ${\displaystyle I={\frac {\pi }{2\cos(a\pi /2)}}.}$

Développement

La fonction f définie par ${\displaystyle f(z)={z^{a} \over 1+z^{2}}}$ a deux pôles simples (${\displaystyle z_{1,2}=\pm i}$) tous deux d'indice +1 par rapport à ${\displaystyle \gamma }$ (pour ${\displaystyle \epsilon <1}$ et ${\displaystyle R>1}$). À la limite ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ et ${\displaystyle R\to \infty }$, le théorème des résidus nous donne donc :

${\displaystyle I^{*}=\int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z=2{\rm {i}}\pi \left(\mathrm {Res} (f,+{\rm {i}})+\mathrm {Res} (f,-{\rm {i}})\right).}$

En décomposant l'intégrale curviligne en ses quatre parties principales et en appliquant le lemme d'estimation pour montrer que l'intégrale le long de ${\displaystyle \gamma _{\epsilon }}$ et celle le long de ${\displaystyle \gamma _{R}}$ tendent vers zéro à la limite, il reste :

${\displaystyle I^{*}=\lim _{\epsilon \to 0,R\to \infty }\left(\int _{\gamma _{1}}f(z)\mathrm {d} z+\int _{\gamma _{2}}f(z)\mathrm {d} z\right).}$

En utilisant la détermination choisie ci-dessus, on a

${\displaystyle z^{a}=\mathrm {e} ^{a\mathrm {log} (z)}=\mathrm {e} ^{a(\ln |z|+{\rm {i}}\theta )}=|z|^{a}\mathrm {e} ^{{\rm {i}}a\theta }.}$

À la limite ${\displaystyle \epsilon \to 0}$, le long du chemin ${\displaystyle \gamma _{1}}$, l'argument ${\displaystyle \theta }$ tend vers zéro ; le long du chemin ${\displaystyle \gamma _{2}}$, l'argument tend vers ${\displaystyle 2\pi }$, on a donc :

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0,R\to \infty }\int _{\gamma _{1}}{|z|^{a}\mathrm {e} ^{a{\rm {i}}\theta } \over 1+z^{2}}\mathrm {d} z=I}$

et

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0,R\to \infty }\int _{\gamma _{2}}{|z|^{a}\mathrm {e} ^{{\rm {i}}a\theta } \over 1+z^{2}}\mathrm {d} z=\int _{+\infty }^{0}{x^{a}\mathrm {e} ^{2{\rm {i}}a\pi } \over 1+x^{2}}\mathrm {d} x=-I\mathrm {e} ^{2{\rm {i}}a\pi }.}$

On a donc :

${\displaystyle I^{*}=I(1-\mathrm {e} ^{2{\rm {i}}a\pi }).}$

Il nous reste à calculer ${\displaystyle I^{*}}$ via les résidus de la fonction en ${\displaystyle \pm i}$ :

${\displaystyle \mathrm {Res} (f,+{\rm {i}})=\lim _{z\to +{\rm {i}}}(z-{\rm {i}})f(z)={{\rm {i}}^{a} \over 2i}={\mathrm {e} ^{a{\rm {i}}\pi /2} \over 2{\rm {i}}}}$

et

${\displaystyle \mathrm {Res} (f,-{\rm {i}})={-\mathrm {e} ^{3a{\rm {i}}\pi /2} \over 2{\rm {i}}}}$

où l'on a utilisé que, dans la détermination choisie, l'argument de +i (resp. –i) est ${\displaystyle \pi /2}$ (resp. ${\displaystyle 3\pi /2}$). On obtient donc :

${\displaystyle I^{*}=\pi \left({\mathrm {e} ^{{\rm {i}}a\pi /2}}-\mathrm {e} ^{3{\rm {i}}a\pi /2}\right)}$

et finalement pour ${\displaystyle 0<|a|<1}$ :

${\displaystyle I=\pi {\frac {{\mathrm {e} ^{{\rm {i}}a\pi /2}}-\mathrm {e} ^{3{\rm {i}}a\pi /2}}{1-\mathrm {e} ^{2a{\rm {i}}\pi }}}={\frac {\pi }{2\cos(a\pi /2)}}.}$

Cette formule reste vraie pour ${\displaystyle a=0}$, par passage à la limite ou par un calcul classique.

Figure 4 : Illustration du contour ${\displaystyle \gamma }$ (en bleu) employé pour le second exemple. Les deux points de branchement ${\displaystyle \pm 1}$ sont représentés en rouge. Le pôle simple restant (l'origine) est représenté en vert. ${\displaystyle \gamma _{R}}$ représente le cercle extérieur de rayon R, ${\displaystyle \gamma _{\epsilon }}$ et son homologue représentent les demi-cercles intérieurs de rayon ${\displaystyle \epsilon }$, les ${\displaystyle \gamma _{i}}$ sont les segments restants.

Problème : calculer l'intégrale suivante par la méthode des résidus :

${\displaystyle I=\int _{1}^{+\infty }{\mathrm {d} x \over x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

(la fonction est uniformisée par la coupure le long de l'axe réel reliant ${\displaystyle -\infty }$ à -1 et 1 à ${\displaystyle +\infty }$.)

Solution : l'intégrande a une primitive (à savoir ${\displaystyle -\mathrm {atan} \left[\left(x^{2}-1\right)^{-1/2}\right]}$) et on a donc immédiatement ${\displaystyle I={\pi \over 2}}$. On obtient ce même résultat en considérant le contour ${\displaystyle \gamma }$ illustré à la figure 4 ci-contre et en utilisant :

${\displaystyle {\sqrt {z^{2}-1}}={\sqrt {z-1}}{\sqrt {z+1}}}$

Pour le premier facteur du produit, on considèrera la détermination suivante :

${\displaystyle {\sqrt {z-1}}={\sqrt {|z-1|}}\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\theta _{1}/2},\quad \theta _{1}\in [0,2\pi [}$,

pour l'autre, on considérera la détermination principale :

${\displaystyle {\sqrt {z+1}}={\sqrt {|z+1|}}\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\theta _{2}/2},\quad \theta _{2}\in [-\pi ,\pi [}$.

sous ces déterminations, la fonction est holomorphe sur ${\displaystyle \mathbb {C} \backslash \left(]-\infty ,-1]\cup [+1,\infty [\right)}$.

Développement

La fonction f définie par ${\displaystyle f(z)={1 \over z{\sqrt {z^{2}-1}}}}$ a trois singularités[9] : les deux points de branchement (±1) et le pôle simple (l'origine) qui est la seule singularité d'indice non nul par rapport au contour ; à la limite ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ et ${\displaystyle R\to \infty }$, le théorème des résidus nous donne donc :

${\displaystyle I^{*}=\int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z=2{\rm {i}}\pi \mathrm {Res} (f,0)~}$

et ${\displaystyle \mathrm {Res} (f,0)=\lim _{z\to 0}z\cdot f(z)={1 \over i}}$, on a donc ${\displaystyle I^{*}=2\pi .}$

En décomposant l'intégrale curviligne en ses sept parties principales et en appliquant le lemme d'estimation pour montrer que l'intégrale le long de ${\displaystyle \gamma _{\epsilon }}$, ${\displaystyle \gamma _{\epsilon }'}$ et ${\displaystyle \gamma _{R}}$ tendent vers zéro à la limite, il nous reste :

${\displaystyle I^{*}=\lim _{\epsilon \to 0,R\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{4}\int _{\gamma _{i}}f(z)\mathrm {d} z\right)}$

à la limite ${\displaystyle \epsilon \to 0}$, le long du chemin ${\displaystyle \gamma _{1}}$, l'argument ${\displaystyle \theta }$ tend vers zéro pour les deux déterminations, le long du chemin ${\displaystyle \gamma _{2}}$, l'argument tend vers ${\displaystyle 2\pi }$ (resp. zéro) pour la première détermination (resp. la détermination principale), le long du chemin ${\displaystyle \gamma _{3}}$ l'argument tend vers ${\displaystyle \pi }$ pour les deux déterminations et pour ${\displaystyle \gamma _{4}}$, l'argument tend vers ${\displaystyle \pi }$ (resp. ${\displaystyle -\pi }$) pour la première détermination (resp. la détermination principale).

On a donc en notant symboliquement ${\displaystyle \theta _{1}}$ (resp. ${\displaystyle \theta _{2}}$) l'argument dans la première détermination (resp. la détermination principale) :

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0,R\to \infty }\int _{\gamma _{1}}{\mathrm {d} z \over z{\sqrt {|z-1|}}\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\theta _{1}/2}{\sqrt {|z+1|}}\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\theta _{2}/2}}=\int _{1}^{+\infty }{\mathrm {d} x \over x{\sqrt {(x^{2}-1)}}}=I}$

avec ${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}=0}$ pour la partie ${\displaystyle \gamma _{1}}$. On a de même :

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0,R\to \infty }\int _{\gamma _{2}}f(z)\mathrm {d} z=\int _{1}^{+\infty }{\mathrm {d} x \over x{\sqrt {(x^{2}-1)}}}=-\int _{+\infty }^{0}{\mathrm {d} x \over x{\sqrt {x^{2}-1}}}=I}$

avec ${\displaystyle \theta _{1}=2\pi }$, ${\displaystyle \theta _{2}=0}$ et ${\displaystyle \mathrm {e} ^{{\rm {i}}\pi }=-1}$. Finalement on a aussi :

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0,R\to \infty }\int _{\gamma _{3}}f(z)\mathrm {d} z=-\int _{0}^{-\infty }{\mathrm {d} x \over x{\sqrt {(x^{2}-1)}}}=I}$

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0,R\to \infty }\int _{\gamma _{4}}f(z)\mathrm {d} z=\int _{-\infty }^{0}{\mathrm {d} x \over x{\sqrt {(x^{2}-1)}}}=I}$

où on a utilisé dans les deux égalités précédentes que la fonction est paire et que l'intégrale sur ${\displaystyle ]-\infty ,1]}$ est égale à l'intégrale sur ${\displaystyle [1,\infty [}$.

On a donc : ${\displaystyle 4I=I^{*}}$ et finalement, ${\displaystyle I={\pi \over 2}}$ ainsi que prévu.

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: document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• (en) Jean-Pierre Aubin et Hélène Frankowska, Set-Valued Analysis, Springer, 2009 (1^re éd. 1990, Birkhäuser) (lire en ligne)
• (en) Jean-Pierre Aubin et Arrigo Cellina, Differential Inclusions, Berlin, Springer, coll. « Grund. math. Wiss. » (n^o 264), 1984 (lire en ligne), « Set-Valued Maps »
• (en) Stanisław Migórski, Anna Ochal et Mircea Sofonea, Nonlinear Inclusions and Hemivariational Inequalities, Springer, 2012 (lire en ligne)
• Murray R. Spiegel (trad. de l'anglais), Variables complexes, New York/Montréal/Paris, MacGraw-Hill / Ediscience, coll. « Schaum (en) », 1973, 314 p. (ISBN 2-7042-0020-3, lire en ligne)