Coloration de régions

Une fonction réelle ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow {}\mathbb {R} }$ (par exemple ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$) peut être représentée graphiquement à l'aide de deux coordonnées cartésiennes dans un plan.

Le graphe d'une fonction complexe ${\displaystyle g:\mathbb {C} \rightarrow {}\mathbb {C} }$ d'une variable complexe requiert deux dimensions complexes. Le plan complexe étant lui-même à deux dimensions, le graphe d'une fonction complexe est un objet à quatre dimensions réelles. Cette particularité rend la visualisation de fonctions complexes dans un espace tridimensionnel difficile. L'illustration d'une fonction holomorphe peut se faire grâce à une surface de Riemann.

Étant donné un nombre complexe ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$, la phase (connue aussi comme l'argument) ${\displaystyle \theta }$ peut être représentée par la teinte.

Coloration de la phase des affixes. Le rouge correspond à 0, le jaune à pi/3, le vert à 2pi/3, le cyan à pi, le bleu à 4pi/3 et le magenta à 5pi/3.

La disposition des teintes est arbitraire[7] mais suit souvent l'ordre du cercle chromatique. La phase est parfois représentée par un dégradé plutôt que par la teinte.

Le module ${\displaystyle r=|z|}$ est représenté par l'intensité ou des variations d'intensité.

Le module des affixes est représenté ici par une variation de l'intensité. L'augmentation du module va dans le sens de l'éclaircissement. Chaque transition clair/foncé correspond à un doublement du module.

Des lignes blanches sont ajoutées à la version précédente pour représenter les lignes de phase constante, espacées de pi/6.

Il est possible d'ajouter aussi l'illustration des parties réelles et imaginaires des affixes du plan complexe à l'aide d'une grille.

Illustration des phase, module, parties réelle et imaginaire des affixes.

Exemples

L'image suivante illustre la fonction sinus ${\displaystyle w=\sin(z)}$ entre ${\displaystyle -2\pi }$ et ${\displaystyle 2\pi }$ sur l'axe réel et de ${\displaystyle -1.5}$ à ${\displaystyle 1.5}$ sur l'axe imaginaire.

L'image suivante illustre la fonction ${\displaystyle f(z)={\tfrac {(z^{2}-1)(z-2-i)^{2}}{z^{2}+2+2i}}}$, en mettant en évidence les trois zéros (dont l'un est double) et les deux pôles.

• Application conforme, où le domaine est coloré avec une image au lieu d'une table de couleurs

• Michael J. Gruber a créé un script en Python pour générer une coloration de domaine avec GIMP
• Emilia Petrisor explique en détail comment visualiser une fonction complexe avec Matplotlib et Mayavi.
• Color Graphs of Complex Functions
• Visualizing complex-valued functions in the plane.
• John Davis software - S-Lang script for Domain Coloring
• Domain Coloring Method on GPU
• Java domain coloring software (In development)