Sinus (mathématiques)

Le sinus d'un angle aigu non orienté de mesure α (en degrés entre 0 et 90°, en radians entre 0 et π/2, en grades entre 0 et 100 gr) est un nombre réel positif compris entre 0 et 1. Il peut se définir dans un triangle rectangle arbitraire dont l'un des angles autre que l'angle droit a pour mesure α.

Les côtés du triangle rectangle sont appelés :

• l’hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit, une jambe de l'angle de mesure α et le côté le plus long du triangle ;
• le côté opposé : c'est le côté opposé à l'angle de mesure α qui nous intéresse ;
• le côté adjacent : c'est le côté qui est une jambe de l'angle de mesure α, qui n'est pas l'hypoténuse.

On notera :

h : la longueur de l'hypoténuse ;

o : la longueur du côté opposé.

Alors :

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {\mathrm {c{\hat {o}}t{\acute {e}}\;oppos{\acute {e}}} }{\mathrm {hypot{\acute {e}}nuse} }}={\frac {o}{h}}}$.

Ce rapport ne dépend pas du triangle rectangle particulier choisi avec un angle de mesure α, puisque tous ces triangles rectangles sont semblables.

Dans un triangle quelconque, le sinus de l'angle ABC est égal au rapport de la hauteur issue de A par la longueur BA. Il est égal aussi au rapport de la hauteur issue de C par la longueur BC : ${\displaystyle \sin {\widehat {ABC}}={\frac {h_{A}}{BA}}={\frac {h_{C}}{BC}}}$.

Le sinus d'un angle obtus est ainsi égal au sinus de l'angle supplémentaire.

La connaissance du sinus d'un angle permet de calculer l'aire d'un triangle : ${\displaystyle Aire(ABC)={\frac {1}{2}}BA\times BC\times \sin {\widehat {ABC}}}$.

Réciproquement, le sinus d'un angle peut être calculé dès que l'on connait les côtés et l'aire du triangle (l'aire d'un triangle peut se calculer par la formule de Héron, ou grâce au produit vectoriel) : ${\displaystyle \sin {\widehat {ABC}}={\frac {2\,Aire(ABC)}{BA\times BC}}}$.

Les sinus des trois angles d'un triangle sont liés par la loi des sinus. Si l'on note a, b et c les côtés opposés aux sommets A, B et C, et R le rayon du cercle circonscrit au triangle, on a : ${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\hat {A}}}}={\frac {b}{\sin {\hat {B}}}}={\frac {c}{\sin {\hat {C}}}}=2R}$.

Des tables trigonométriques sont utilisées dans l'antiquité, en Mésopotamie, dans l'empire grec, et dans la péninsule indienne, en trigonométrie sphérique pour les calculs astronomiques. Pour eux, il s'agit de longueurs associées à des arcs de cercles dont le rayon est donné. Les premières tables utilisent la corde d'un arc de cercle. L'une de ces tables a été calculée par Hipparque au II^e siècle av. J.-C.[6], mais aucun exemplaire ne nous est parvenu. Celle de Claude Ptolémée figure dans son Almageste et son élaboration a pu s'inspirer de celle d'Hipparque. Les Indiens commencent par travailler eux aussi sur les tables de cordes qu'ils appellent jya ou jiva. Ils préfèrent ensuite travailler sur une nouvelle quantité, plus simple pour les calculs, qui correspond à la demi-corde de l'arc double. Ils appellent cette quantité ardha-jya, soit la demi-corde, puis progressivement, le terme de jya s'impose pour la demi-corde de l'arc double. Le terme est alors repris par les arabes qui le translittèrent en jiba qui évolue en jaib. Lors de la traduction des écrits arabes par Gérard de Crémone, ce terme subit une dernière modification : Gérard de Crémone le confond avec un terme arabe, de même consonance, qui a le sens de « sein », « anse » ou « cavité », et le traduit donc par le mot latin correspondant sinus[7].

Les premières tables de sinus connues sont celles des Siddhantas, notamment le Surya Siddhanta (fin du IV^e siècle-début du V^e siècle)[8] et celles d'Aryabhata au VI^e siècle. Aryabatha part du principe que, pour la 24^e partie d'un quart de cercle, on peut confondre la longueur d'un arc et son sinus. Le tiers d'un quart de cercle correspond à un angle de 30°, dont le sinus est évident : un demi-rayon. Pour obtenir ensuite la 24^e partie du quart de cercle, il suffit de diviser 3 fois par 2 l'angle initial. Aryabhata est capable, grâce au théorème de Pythagore, de calculer le sinus de l'angle moitié. Il prend un cercle de rayon 3 438, ce qui conduit, avec la valeur de π utilisée à l'époque (3,141 6) à un cercle de circonférence 21 600 (on remarque qu'un angle plein correspond à 360° soit 21 600 minutes). Il donne, pour cette valeur du rayon, les 24 valeurs des sinus des arcs de longueurs n × 225[9]. Les Indiens fournissent également les tables de sinus pour des cercles de rayon 60, 150, 120[6]... Cette habitude de construire des tables de sinus correspondant à un cercle dont le rayon, fixé arbitrairement, est appelé «sinus total»[10], perdure en Europe encore jusqu'à la fin du XVIII^e siècle[11].

sin(α) est égal à l'ordonnée du point du cercle situé sur la demi-droite faisant un angle α avec la demi-droite Ox (ordonnée indiquée en rouge).

Le sinus d'un angle orienté de mesure α est un nombre réel compris entre -1 et 1. Ici le plan est orienté dans le sens trigonométrique.

Le cercle unité est le cercle de rayon 1, centré à l'origine (0, 0) d'un système de coordonnées cartésiennes.

Considérons l'intersection entre une demi-droite issue de l'origine qui fait un angle de mesure α avec le demi-axe (Ox), et le cercle unité. Alors la composante verticale de cette intersection est égale à sin(α). Cette définition coïncide avec la précédente quand α est la mesure d'un angle saillant, orienté dans le sens positif, et on déduit celle-ci de la précédente en remarquant qu'un changement d'orientation de l'angle induit un changement de signe du sinus.

Il est possible de déterminer directement, à l'aide d'un déterminant, le sinus de l'angle orienté entre deux vecteurs dont on connait les coordonnées : pour ${\displaystyle {\vec {u}}(x,y)}$ et ${\displaystyle {\vec {v}}(x',y')}$, on a : ${\displaystyle \sin {\widehat {{\vec {u}},{\vec {v}}}}={\frac {\det({\vec {u}},{\vec {v}})}{\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|}}={\frac {xy'-yx'}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}}$. Une telle égalité peut se démontrer si l'on considère comme acquise la formule trigonométrique du sinus d'une différence. Il suffit de poser ${\displaystyle x=r\cos \theta \quad y=r\sin \theta \quad x'=r'\cos \theta '\quad y'=r'\sin \theta '}$ et de remarquer que ${\displaystyle {\frac {\det({\vec {u}},{\vec {v}})}{\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|}}={\frac {r\cos \theta \,r'\sin \theta '-r\sin \theta \,r'\cos \theta '}{rr'}}=\sin(\theta '-\theta )=\sin({\widehat {{\vec {u}},{\vec {v}}}})}$.

Si les angles orientés sont mesurés en radians, la fonction qui, au réel α, associe le sinus de l'angle orienté de mesure α radians est appelée la fonction sinus.

L'observation des propriétés géométriques des angles orientés permettent de déduire les identités sin(−α) = −sin(α) (la fonction sinus est donc impaire), sin(α + π) = −sin(α), et sin(α + 2π) = sin(α) (la fonction sinus est donc périodique de période 2π).

En analyse, la fonction sin se définit sur l'ensemble ℝ des nombres réels par une série dont on montre qu'elle converge sur tout ℝ[12] :

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{+\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$ ;

on montre également que cette définition coïncide avec la précédente quand les angles sont mesurés en radians.

La périodicité, la dérivabilité et la continuité s'établissent alors par la théorie des séries, de même que les formules d'Euler en analyse complexe reliant les fonctions trigonométriques à la fonction exponentielle, ainsi que l'identité d'Euler. Cette définition est souvent utilisée comme point de départ dans les traités rigoureux d'analyse et permet la définition du nombre π.

La définition utilisant les séries permet de prolonger la fonction sinus en une fonction analytique dans tout le plan complexe.

La série entière précédente est l'unique solution du problème de Cauchy :

${\displaystyle y''=-y,\quad y(0)=0,\quad y'(0)=1}$,

qui constitue donc une définition équivalente de la fonction sinus.

Représentation graphique de la fonction arc sinus.

Les fonctions trigonométriques ne sont pas bijectives (ni même injectives, puisqu'elles sont périodiques) ; elles n'admettent donc pas de bijections réciproques. En les restreignant à certains intervalles de départ et d'arrivée, les fonctions trigonométriques peuvent réaliser des bijections. L'application réciproque arcsin est définie par :

pour tous réels x et y :

${\displaystyle y=\arcsin x}$

si et seulement si

${\displaystyle \sin y=x{\text{ et }}-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}$.

La fonction arcsin est donc une bijection de [–1, 1] sur [–π/2, π/2] et vérifie

${\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \sin(\arcsin x)=x}$

et

${\displaystyle \forall y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\quad \arcsin(\sin y)=y}$.

La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus :

${\displaystyle \sin '=\cos }$.

Cette propriété est immédiate avec les définitions à partir des séries entières des fonctions sinus et cosinus. On en déduit en particulier que ${\displaystyle \lim _{\theta \rightarrow 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=\sin '0=\cos 0=1}$.

On pourra également trouver une justification géométrique de cette limite (cf. § « Limites ») dans :

Une primitive de sin est –cos, ce qui s'écrit : ${\displaystyle -\cos '=\sin .}$ Autrement dit : pour tout x₀,

${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}\sin t~{\rm {d}}t=-\cos x+C}$,

où ${\displaystyle C=\cos x_{0}}$ est la « constante d'intégration ».

• ${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1}$ (voir supra).
• ${\displaystyle \lim _{\theta \to +\infty }{\frac {\sin \theta }{\theta }}=0}$.

Représentation graphique de la fonction sinus.

Quelques angles communs (θ) sur le cercle unité. Les angles sont indiqués en degrés et en radians, ainsi que leur intersection avec le cercle unité (cos θ, sin θ).

Les valeurs figurant dans le tableau ci-dessous correspondent à des angles pour lesquels une expression à l'aide de racines carrées est possible, et plus précisément pour lesquels le théorème de Wantzel s'applique ; pour plus de détails, voir l'article Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques.

x (angle)			sin x		y (angle supplémentaire)
Degrés	Radians	Grades	Exacte	Décimale	Degrés	Radians	Grades
0°	0	0g	0	0	180°	${\displaystyle \pi }$	200g
15°	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	162⁄3g	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	0,258819045102521	165°	${\displaystyle {\frac {11\pi }{12}}}$	1831⁄3g
18°	${\displaystyle {\frac {\pi }{10}}}$	20g	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	0,309016994374947	162°	${\displaystyle {\frac {9\pi }{10}}}$	180g
30°	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	331⁄3g	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	0,5	150°	${\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}}$	1662⁄3g
36°	${\displaystyle {\frac {\pi }{5}}}$	40g	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	0,5877852523	144°	${\displaystyle {\frac {4\pi }{5}}}$	160g
45°	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	50g	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	0,707106781186548	135°	${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}$	150g
54°	${\displaystyle {\frac {3\pi }{10}}}$	60g	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$	0,809016994374947	126°	${\displaystyle {\frac {7\pi }{10}}}$	140g
60°	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	662⁄3g	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	0,866025403784439	120°	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}$	1331⁄3g
75°	${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}$	831⁄3g	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	0,965925826289068	105°	${\displaystyle {\frac {7\pi }{12}}}$	1162⁄3g
90°	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	100g	1	1

Une illustration du plan complexe. Les nombres imaginaires se trouvent sur l'axe des ordonnées.

Le sinus est utilisé pour déterminer la partie imaginaire d'un nombre complexe z donné en coordonnées polaires, par son module r et son argument φ :

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +{\rm {i}}\sin \varphi )}$ où i désigne l'unité imaginaire.

La partie imaginaire de z est ${\displaystyle {\rm {Im}}(z)=r\sin \varphi .}$

En particulier

${\displaystyle \sin \varphi =\operatorname {Im} ({\rm {e}}^{{\rm {i}}\varphi }).}$

Coloration de régions de sin(z) quand les parties réelle et imaginaire de z sont comprises dans [–π, π]. La luminosité indique le module, la saturation représente la magnitude imaginaire et réelle.

sin(z) comme un champ vectoriel.

La définition de la fonction sinus comme série entière s'étend telle quelle à des arguments complexes z et donne une fonction entière :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\\&={\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}z}}{2{\rm {i}}}}\,\\&={\frac {\sinh \left({\rm {i}}z\right)}{\rm {i}}}\end{aligned}}}$

ou encore :

${\displaystyle \sin({\rm {i}}z)={\rm {i}}\sinh z}$,

où sinh désigne la fonction sinus hyperbolique.

Il est parfois utile de l'exprimer en termes des parties réelle et imaginaire de son argument : pour x et y réels,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x+{\rm {i}}y)&=\sin x\cos {\rm {i}}y+\cos x\sin {\rm {i}}y\\&=\sin x\cosh y+{\rm {i}}\cos x\sinh y.\end{aligned}}}$

Utilisant la technique de développement en éléments simples d'une fonction méromorphe, on peut trouver la série infinie :

${\displaystyle {\frac {\pi }{\sin \pi z}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{z-n}}={\frac {1}{z}}-2z\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}-z^{2}}}}$.

On trouve de même

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}\pi z}}=\sum _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(z-n)^{2}}}}$.

Utilisant la technique de développement du produit, on peut en tirer

${\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$.

sin z se trouve dans l'équation fonctionnelle pour la fonction gamma, appelée formule des compléments,

${\displaystyle \Gamma (s)\Gamma (1-s)={\pi \over \sin \pi s},}$

laquelle se trouve à son tour dans l'équation fonctionnelle pour la fonction zêta de Riemann,

${\displaystyle \zeta (s)=2(2\pi )^{s-1}\Gamma (1-s)\sin(\pi s/2)\zeta (1-s)}$.

Comme toute fonction holomorphe, sin z est harmonique, c'est-à-dire solution de l'équation de Laplace à deux dimensions :

${\displaystyle \Delta u(x,y)=0}$.