Accueil🇫🇷Chercher

Formule des compléments

La formule des compléments désigne une propriété de la fonction gamma :

Pour tout nombre complexe z dont la partie réelle est strictement comprise entre 0 et 1,

Cette propriété a été découverte par Leonhard Euler.

Démonstration

On considère la fonction bêta

En posant z complexe de partie réelle comprise entre 0 et 1, puis en faisant le changement de variables u=t1-t, on obtient l’égalité :

On calcule cette intégrale par le théorème des résidus. Pour cela, on définit le chemin suivant pour 0<ε<1<R :

  • Cε le demi-cercle de rayon ε sur le demi-plan Re(w)<0
  • les deux segments
  • l'arc de cercle

En choisissant ε et R de sorte que le point w=-1 soit dans le lacet, le théorème des résidus donne

En faisant tendre ε vers 0 et R vers l’infini, il vient, par le lemme de Jordan, que les intégrales sur Cε et Γε,R tendent vers 0. D'autre part, en considérant les logarithmes complexes, il vient :

Ainsi, après simplifications, on a :

De plus :

Donc, en simplifiant

Il suffit alors de rappeler la définition de la fonction bêta à partir de la fonction Gamma d'Euler pour conclure.

Article connexe

Équation fonctionnelle de la fonction zêta

Cet article est issu de wikipedia. Text licence: CC BY-SA 4.0, Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.