Démonstration
On considère la fonction bêta
![{\displaystyle \mathrm {B} (p,q)=\int _{0}^{1}t^{p-1}(1-t)^{q-1}\,\mathrm {d} t.}](https://img.franco.wiki/i/b3fe252de39d8c938c2d00313fcdc41e5af8f583.svg)
En posant z complexe de partie réelle comprise entre 0 et 1, puis en faisant le changement de variables u=t⁄1-t, on obtient l’égalité :
![{\displaystyle \mathrm {B} (z,1-z)=\int _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{-z}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{+\infty }{\frac {u^{z-1}}{1+u}}\,\mathrm {d} u=\int _{0}^{+\infty }f(u)\,\mathrm {d} u.}](https://img.franco.wiki/i/4cf2c4a19d84c06e4f5bcb444384ee39dbbaec1e.svg)
On calcule cette intégrale par le théorème des résidus. Pour cela, on définit le chemin suivant pour 0<ε<1<R :
- Cε le demi-cercle de rayon ε sur le demi-plan Re(w)<0
- les deux segments
![{\displaystyle S_{\varepsilon ,R}^{\pm }=\{\pm \mathrm {i} \varepsilon ,\pm \mathrm {i} \varepsilon +{\sqrt {R^{2}-\varepsilon ^{2}}}\}}](https://img.franco.wiki/i/03a5cb1bf37172339ada982f1bc31b72a13ee0f2.svg)
- l'arc de cercle
![{\displaystyle \Gamma _{\varepsilon ,R}=\left\lbrace R\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta },\theta \in \left[\arctan {\frac {\varepsilon }{\sqrt {R^{2}-\varepsilon ^{2}}}},2\pi -\arctan {\frac {\varepsilon }{\sqrt {R^{2}-\varepsilon ^{2}}}}\right]\right\rbrace }](https://img.franco.wiki/i/c407dd4b5da00f8deaa124c2e7ffc0e7154bc7a8.svg)
En choisissant ε et R de sorte que le point w=-1 soit dans le lacet, le théorème des résidus donne
![{\displaystyle \int _{C_{\varepsilon }}f(w)dw+\int _{S_{\varepsilon ,R}^{+}}f(w)dw+\int _{\Gamma _{\varepsilon ,R}}f(w)dw+\int _{S_{\varepsilon ,R}^{-}}f(w)dw=2\mathrm {i} \pi \mathrm {Res} (-1,f).}](https://img.franco.wiki/i/67fbd3e350505ff5b5608f7a08e5aa64362419c2.svg)
En faisant tendre ε vers 0 et R vers l’infini, il vient, par le lemme de Jordan, que les intégrales sur Cε et Γε,R tendent vers 0. D'autre part, en considérant les logarithmes complexes, il vient :
![{\displaystyle \forall t>0,\quad (t+\mathrm {i} \varepsilon )^{1-z}{\underset {\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow }}t^{1-z}\ ,\ (t-\mathrm {i} \varepsilon )^{1-z}{\underset {\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow }}t^{1-z}\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi z}.}](https://img.franco.wiki/i/ad2f8aa62b75cca338ed522c7cdf8ef82dcb6de2.svg)
Ainsi, après simplifications, on a :
![{\displaystyle 2\mathrm {i} \pi \mathrm {Res} (-1,f)=(1-\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi z})\int _{0}^{+\infty }{\frac {u^{z-1}}{1+u}}\,\mathrm {d} u.}](https://img.franco.wiki/i/5ccddaa626011d4ba4030085007028a963bc8d6d.svg)
De plus :
![{\displaystyle \mathrm {Res} (-1,f)=\lim _{w\to -1}{\frac {1}{w^{1-z}}}=-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi z}.}](https://img.franco.wiki/i/6a482426a7a7a479be61083ca8bd73ca330ff18b.svg)
Donc, en simplifiant
![{\displaystyle \mathrm {B} (z,1-z)=\int _{0}^{+\infty }{\frac {u^{z-1}}{1+u}}\,\mathrm {d} u={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}.}](https://img.franco.wiki/i/7c9dc98d1f78b47b8e96e7a21b29f93e3cd541c1.svg)
Il suffit alors de rappeler la définition de la fonction bêta à partir de la fonction Gamma d'Euler pour conclure.