Formule des compléments

On considère la fonction bêta

${\displaystyle \mathrm {B} (p,q)=\int _{0}^{1}t^{p-1}(1-t)^{q-1}\,\mathrm {d} t.}$

En posant z complexe de partie réelle comprise entre 0 et 1, puis en faisant le changement de variables u=^t⁄_1-t, on obtient l’égalité :

${\displaystyle \mathrm {B} (z,1-z)=\int _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{-z}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{+\infty }{\frac {u^{z-1}}{1+u}}\,\mathrm {d} u=\int _{0}^{+\infty }f(u)\,\mathrm {d} u.}$

On calcule cette intégrale par le théorème des résidus. Pour cela, on définit le chemin suivant pour 0<ε<1<R :

• C_ε le demi-cercle de rayon ε sur le demi-plan Re(w)<0
• les deux segments ${\displaystyle S_{\varepsilon ,R}^{\pm }=\{\pm \mathrm {i} \varepsilon ,\pm \mathrm {i} \varepsilon +{\sqrt {R^{2}-\varepsilon ^{2}}}\}}$
• l'arc de cercle ${\displaystyle \Gamma _{\varepsilon ,R}=\left\lbrace R\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta },\theta \in \left[\arctan {\frac {\varepsilon }{\sqrt {R^{2}-\varepsilon ^{2}}}},2\pi -\arctan {\frac {\varepsilon }{\sqrt {R^{2}-\varepsilon ^{2}}}}\right]\right\rbrace }$

En choisissant ε et R de sorte que le point w=-1 soit dans le lacet, le théorème des résidus donne

${\displaystyle \int _{C_{\varepsilon }}f(w)dw+\int _{S_{\varepsilon ,R}^{+}}f(w)dw+\int _{\Gamma _{\varepsilon ,R}}f(w)dw+\int _{S_{\varepsilon ,R}^{-}}f(w)dw=2\mathrm {i} \pi \mathrm {Res} (-1,f).}$

En faisant tendre ε vers 0 et R vers l’infini, il vient, par le lemme de Jordan, que les intégrales sur C_ε et Γ_ε,R tendent vers 0. D'autre part, en considérant les logarithmes complexes, il vient :

${\displaystyle \forall t>0,\quad (t+\mathrm {i} \varepsilon )^{1-z}{\underset {\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow }}t^{1-z}\ ,\ (t-\mathrm {i} \varepsilon )^{1-z}{\underset {\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow }}t^{1-z}\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi z}.}$

Ainsi, après simplifications, on a :

${\displaystyle 2\mathrm {i} \pi \mathrm {Res} (-1,f)=(1-\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi z})\int _{0}^{+\infty }{\frac {u^{z-1}}{1+u}}\,\mathrm {d} u.}$

De plus :

${\displaystyle \mathrm {Res} (-1,f)=\lim _{w\to -1}{\frac {1}{w^{1-z}}}=-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi z}.}$

Donc, en simplifiant

${\displaystyle \mathrm {B} (z,1-z)=\int _{0}^{+\infty }{\frac {u^{z-1}}{1+u}}\,\mathrm {d} u={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}.}$

Il suffit alors de rappeler la définition de la fonction bêta à partir de la fonction Gamma d'Euler pour conclure.

Équation fonctionnelle de la fonction zêta