Lemme de Jordan

Il existe une version particulière du lemme de Jordan dans un demi-cercle qu'on peut toujours supposer être le demi-cercle supérieur.

Lemme de Jordan II — Soit f une fonction méromorphe dans un domaine D entièrement dans le demi-plan supérieur fermé, continue sur l'axe réel et de la forme ${\displaystyle f(z)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} az}g(z)}$ où a est un réel strictement positif.

Si de plus ${\displaystyle \max _{\theta \in [0,\pi ]}\left|g(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })\right|}$ tend vers 0 quand r tend vers l'infini, alors

${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\oint _{C(0,r)\cap D}f(z)\,\mathrm {d} z=0}$.

Démonstration

On pose ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ et on a, en appelant ${\displaystyle \theta _{1}(r)}$ et ${\displaystyle \theta _{2}(r)}$ les valeurs extrêmes des angles considérés pour ${\displaystyle C(0,r)\cap D}$,

${\displaystyle \left|\int _{C(0,r)\cap D}f(z)\,dz\right|\leqslant \int _{C(0,r)\cap D}|f(z)|\,dz\leqslant \int _{\theta _{1}(r)}^{\theta _{2}(r)}|g(re^{i\theta })|e^{ar(i\cos \theta -\sin \theta )}re^{i\theta }|\,d\theta }$.

Donc

${\displaystyle \left|\int _{C(0,r)}f(z)\,dz\right|\leqslant \int _{0}^{\pi }\left|g(re^{i\theta })\right|e^{-ar\sin \theta }\ r\,d\theta }$.

Soit ${\displaystyle M(r)=\max _{\theta \in [0,\pi ]}\left|g(re^{i\theta })\right|}$, on obtient la majoration

${\displaystyle \left|\int _{C(0,r)}f(z)\,dz\right|\leqslant M(r)\int _{0}^{\pi }e^{-ar\sin \theta }\ r\,d\theta =2M(r)\int _{0}^{\pi /2}e^{-ar\sin \theta }\ r\,d\theta }$.

On minore le sinus par l'inégalité de la corde :

${\displaystyle \sin \theta \geqslant {\frac {2\theta }{\pi }},\quad 0\leqslant \theta \leqslant {\frac {\pi }{2}}}$

et on obtient

${\displaystyle \left|\int _{C(0,r)}f(z)\,dz\right|\leqslant 2M(r)\int _{0}^{\pi /2}e^{-2ar\theta /\pi }\ r\,d\theta ={\frac {\pi }{a}}(1-e^{-ar})M(r)}$.

Donc

${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\left|\int _{C(0,r)}f(z)\,dz\right|\leqslant {\frac {\pi }{a}}\lim _{r\to \infty }M(r)=0}$.

Pour être précis, il y a en fait un autre lemme (le lemme I) qui est du même genre et qui est rapporté ainsi dans son cours de 1^re division 1878-1879 :

Lemme de Jordan III — Lemme I: Soit une fonction f(a) telle que (z-a)f(z) tende vers zéro lorsque z tend vers a.

L'intégrale ${\displaystyle \int _{C}f(z)dz}$ prise le long d'un cercle de rayon infiniment petit décrit autour de a tend vers zéro. En effet, cette intégrale s'écrit ${\displaystyle \int _{C}f(z)(z-a){\frac {dz}{z-a}}.}$

Elle est plus petite que ${\displaystyle M{\frac {2\pi r}{r}}<2\pi M.}$ M tendant vers zéro; elle est donc nulle.

Démonstration

En posant ${\displaystyle z=a+re^{i\theta }}$

${\displaystyle \left|\oint _{C(a,r)}f(z)(z-a){\frac {dz}{z-a}}\right|\leqslant \int _{0}^{2\pi }|f(z)(z-a)|{\frac {rd\theta }{r}}=2\pi \max _{z\in C(0,r)}|f(z)(z-a)|\to 0}$.

Le lemme de Jordan est exprimé ainsi dans le cours d'analyse de l'École polytechnique de Camille Jordan (1^re division 1882-1883, page 57) :

« Lemme II : soit f une fonction telle que zf(z) tende vers zéro lorsque z augmente indéfiniment ; l'intégrale ${\displaystyle \int _{C}f(z)dz}$ est prise le long d'un cercle de rayon infini tend vers zéro. On a

${\displaystyle \int _{C}f(z)dz=\int _{C}zf(z){\frac {dz}{z}}<M{\frac {2\pi R}{R}}=2\pi M}$.

M tendant vers 0, ${\displaystyle \int _{C}f(z)dz}$ a aussi cette limite. »

Mais ce lemme n'existe pas dans son cours de 1^re division 1878-1879. Dans la 3^e édition du tome 2 (1913) de son cours d'analyse de l'école polytechnique chez Gauthier-Villars, le « lemme de Jordan » est remplacé par tout un tas de petits lemmes du même genre (tome 2, chapitre VI : intégrales complexes, p. 306-311).

Suivant les auteurs le lemme est cité sous une forme ou sous une autre, parfois sans même indiquer le nom de Jordan.

Voici comment il apparaît dans le cours d'analyse de l'école polytechnique de Favard[1].

« Soit f(z) une fonction définie sur tout ou partie C d'un cercle de rayon R aussi grand qu'on veut, centré en un point fixe a ; de

${\displaystyle \left|\int _{C}f(z)dz\right|\leqslant 2\pi R\max |(z-a)f(z)|,}$

on déduit que lorsque |(z-a)f(z)| tend uniformément vers zéro avec 1/R l'intégrale tend vers zéro.

Il en est de même lorsqu'on a à intégrer f(z) le long de tout ou partie d'un cercle de rayon r, aussi petit qu'on veut, centré en a, et que |(z-a)f(z)| tend vers zéro sur la partie de ce cercle le long de laquelle on intègre f(z). »

sans citer le nom de Jordan.

• Lemme d'estimation

• Camille Jordan, Cours d'analyse de l'école polytechnique, 1^re division, année 1882-1883, polycopié.
• Camille Jordan, Cours d'analyse de l'école polytechnique, Gauthier-Villars, Paris, 3 tomes, 1909-1913-1915