Dérivabilité

Une fonction convexe sur un intervalle ouvert est dérivable à droite et à gauche en tout point et l'ensemble des points où la dérivée à droite est différente de la dérivée à gauche est au plus dénombrable[9] - [10].

Une fonction monotone sur un intervalle I est dérivable presque partout. Ce théorème est attribué à Henri-Léon Lebesgue. Pour une fonction monotone continue, il existe une démonstration relativement abordable[11] - [12]. En démontrant qu'une fonction de saut a presque partout une dérivée nulle, on en déduit le résultat pour une fonction monotone quelconque et, par différence, pour une fonction à variation bornée (voir ci-dessous). On peut aussi utiliser la propriété de dérivabilité presque partout des fonctions à variation bornée car une fonction monotone est à variation bornée.

On dit que f est k-lipschitzienne sur un intervalle I si

${\displaystyle \forall (x,y)\in I^{2},~|f(x)-f(y)|\leq k~|x-y|.}$

Une fonction k-lipschitzienne sur I est dérivable presque partout. Il est possible de déduire cette propriété du fait qu'une fonction k-lipchitzienne est à variation bornée, mais on peut plus simplement utiliser le fait que la fonction x ↦ f(x) – kx est continue monotone décroissante[11].

Cette propriété est un cas particulier d'un théorème plus général, concernant les applications lipschitziennes d'un ouvert de ℝⁿ dans ℝ^m : le théorème de Rademacher.

Une fonction à variation bornée est dérivable presque partout[13].

Ce théorème englobe les cas particuliers des fonctions lipschitziennes et des fonctions monotones. Il est valable pour des fonctions à valeurs dans l'ensemble des réels mais aussi pour des fonctions de la variable réelle à valeurs dans l'ensemble des complexes.

Ces fonctions sont dérivables sur tout intervalle réel où elles sont définies :

• les fonctions polynomiales,
• les fonctions exponentielle et logarithme,
• les fonctions trigonométriques sinus, cosinus, etc.

Ces fonctions sont dérivables sauf sur un ensemble « exceptionnel » :

• une fonction convexe sur un intervalle est dérivable sauf sur un ensemble dénombrable :
• une fonction monotone, et plus généralement une fonction à variation bornée, est dérivable presque partout.

Les fonctions suivantes ne sont pas dérivables sur ℝ :

• une fonction qui n'est pas continue en un point n'y est pas non plus dérivable ;
• la fonction continue valeur absolue qui admet en 0 une dérivée à droite différente de sa dérivée à gauche ;
• plus généralement, une intégrale indéfinie ${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,{\rm {d}}t}$ d'une fonction f continue par morceaux : aux points de discontinuité de f, la fonction F est continue mais non dérivable ; elle y est seulement dérivable à gauche et à droite ;
  • une intégrale indéfinie F de la fonction partie entière, non dérivable aux abscisses entières ;
  • une intégrale indéfinie x ↦ x²/2 – F(x) de la fonction partie décimale, idem ;
• la fonction F(x) = xsin(1/x) qui, non définie en x = 0, se prolonge par continuité en 0 si l'on pose F(0) = 0. Elle n'est pas dérivable en 0. En effet, x ↦ F(x)/x = sin(1/x) n'a pas de limite lorsque x tend vers 0, puisque y ↦ sin(y) — périodique et non constante — n'a pas de limite lorsque y tend vers l'infini ;

• 
  Une intégrale indéfinie (rouge) d'un signal carré (bleu) est continue mais non dérivable.
• 
  Une intégrale indéfinie (rouge) de la partie entière (bleu) est continue mais pas dérivable.
• 
  La fonction x ↦ xsin(1/x) est continue en 0 mais pas dérivable à gauche ni à droite.

• la fonction de Weierstrass : ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}x)}$ ;

Si ${\displaystyle \vert a\vert <1}$ on a une série de fonctions continues qui converge uniformément et ${\displaystyle f\,}$ est donc continue.

Mais si ${\displaystyle \vert ab\vert >1}$, cette fonction n'est nulle part dérivable.

• observant des trajectoires de particules de pollen suivant un mouvement brownien, le physicien Jean Perrin aurait dit que ces trajectoires évoquaient irrésistiblement les fonctions non dérivables des mathématiciens. Il voyait juste : il a été démontré plus tard que, pour la mesure de Wiener, presque toutes les trajectoires du mouvement brownien sont non dérivables.

La définition s'étend telle quelle aux fonctions à valeurs dans ℝⁿ ou plus généralement dans un espace vectoriel normé[14]. Soit I un intervalle non réduit à un point, et f une fonction définie sur I et à valeurs dans un espace vectoriel normé E. Soit a un élément de I. La fonction f est dérivable en a si la limite ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left(f(a+h)-f(a)\right)}$ existe dans E.

On retrouve de même la définition de la dérivabilité à droite et à gauche, le fait qu'une fonction dérivable à gauche et à droite en a et dont la dérivée à gauche coïncide avec la dérivée à droite est dérivable en a.

La dérivabilité est compatible avec la somme des fonctions et la multiplication par un réel. L'ensemble des fonctions définies sur I, à valeurs dans E et dérivables en a est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des fonctions définies sur I et à valeurs dans E[14].

Existe également la notion de fonction n fois dérivable.

Les théorèmes de prolongement existent également : une fonction continue sur I dérivable sur I\{a} et dont la dérivée possède une limite en a est dérivable en a (on peut même se contenter d'une fonction dérivable à droite[8]). Cependant pour affirmer que toute fonction définie et dérivable sur ]a, b], dont la dérivée possède une limite en a, est prolongeable en une fonction dérivable à droite en a, il est nécessaire que, dans l'espace vectoriel E, toute suite de Cauchy converge. Cette version du théorème de prolongement n'est donc valable que lorsque E est un espace de Banach[15].

On définit encore de la même façon la dérivabilité d'une fonction de ℂ dans ℂ. Soit f une fonction définie sur un ouvert U de ℂ à valeurs dans ℂ, et a un élément de U. La fonction f est dérivable en a si ${\displaystyle \lim _{h\to 0,h\neq 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$ existe[16].

Il s'avère que la situation est profondément différente du cas réel, voir analyse complexe.

Une fonction de ℂ dans ℂ peut être considérée comme une fonction de ℝ² dans ℝ². Elle est dérivable en a = x + iy si et seulement si elle est différentiable en (x, y) et si les différentielles partielles vérifient en ce point l'égalité[16] ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}+{\rm {i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}=0.}$ Si l'on note f = u + i v où u et v sont des fonctions de ℝ² dans ℝ, la dernière égalité se traduit par la double égalité suivante[16] ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial v}{\partial y}}(x,y){\text{ et }}{\frac {\partial v}{\partial x}}(x,y)+{\frac {\partial u}{\partial y}}(x,y)=0.}$

On peut également définir une dérivabilité pour des fonctions de ℂ dans un espace vectoriel normé E sur ℂ.

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I, et a un point de I, on dit que f est dérivable selon Schwarz[17] en a s'il existe un réel f^s(a) tel que ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a-h)}{2h}}=f^{s}(a).}$ Ce réel est appelé la dérivée symétrique de f en a.

Une fonction dérivable est toujours dérivable selon Schwarz et la dérivée symétrique correspond à la dérivée classique, mais la réciproque est fausse. Ainsi la fonction valeur absolue est dérivable selon Schwarz en 0, de dérivée symétrique nulle, alors qu'elle n'est pas dérivable en 0 pour la définition classique. Il n'est même pas nécessaire que la fonction soit continue en 0 pour être dérivable selon Schwarz.

Si la fonction f est continue sur I et si f^s est continue en a alors f est dérivable en a[18].

Pour une fonction continue sur I, l'existence d'une dérivée symétrique positive suffit pour affirmer que f est croissante et l'existence d'une dérivée symétrique constamment nulle suffit pour prouver que f est constante[19].

Cette notion de dérivabilité est proposée en 1892 par Giuseppe Peano[20], qui la trouve plus proche de l'outil utilisé en physique et qui la préfère en mathématique car elle induit des résultats plus forts.

Soit f une fonction réelle définie sur un ouvert A et a un réel . La fonction f est dérivable fortement ou dérivable strictement en a s'il existe un réel f*(a) tel que[21] ${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,a),x\neq y}{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}=f^{*}(a).}$

Une fonction strictement dérivable en a est dérivable en a et la dérivée forte est égale à la dérivée classique mais il existe des fonctions dérivables qui ne sont pas fortement dérivables. C'est le cas par exemple de la fonction f(x) = x²sin(1/x) prolongée par continuité en 0 en posant f(0) = 0 qui est dérivable en 0 mais non fortement dérivable en ce point.

Si la fonction f est continument dérivable en a alors elle est fortement dérivable en a mais il existe des fonctions fortement dérivables en a dont la dérivée en a n'est pas continue[21]. Si f est fortement dérivable sur un ouvert alors elle est continument dérivable sur ce même ouvert[22].