Différentielle

Le calcul différentiel, pour les fonctions d'une seule variable, se confond avec la dérivation. Soit ${\displaystyle f}$ une fonction d'une variable réelle, à valeurs réelles ; on notera ${\displaystyle y=f(x)}$ le résultat de l'application de ${\displaystyle f}$. Elle est dite dérivable en ${\displaystyle a}$ lorsqu'il existe un réel, noté ${\displaystyle f'(a)}$, tel que pour tout réel ${\displaystyle h}$ on ait :

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+f'(a)\,h+h\,\varepsilon (h)}$

où ${\displaystyle \varepsilon }$ est une fonction ayant une limite nulle en 0. ${\displaystyle f'(a)}$ est alors appelé nombre dérivé de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle a}$. On résume souvent cela par la notation (dite notation de Landau) :

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+f'(a)\,h+o(h).}$

Intuitivement ce calcul de limite, qui porte le nom de développement limité à l'ordre 1 pour la fonction ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle a}$, signifie qu'en première approximation, pour ${\displaystyle h}$ proche de 0, la valeur de ${\displaystyle f(a+h)}$ est peu différente de celle de ${\displaystyle f(a)+f'(a)\cdot h}$. Notamment parmi les expressions affines (c'est-à-dire de la forme ${\displaystyle \alpha +\beta \cdot h}$), c'est celle-ci qui donne la meilleure approximation de ${\displaystyle f(a+h)}$.

Dans de nombreuses applications, des notations parlantes sont employées pour décrire cette situation. On convient de noter le nombre ${\displaystyle h}$ par ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ pour indiquer qu'il représente une très petite variation de ${\displaystyle x}$ par rapport à la valeur de référence ${\displaystyle a}$. On note ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ la variation de l'image par rapport à la valeur de référence :

${\displaystyle \mathrm {d} y=f(a+h)-f(a)\simeq f'(a)\,\mathrm {d} x.}$

Le point de vue couramment adopté (surtout en physique), abusif en toute rigueur[note 1], est que pour des variations suffisamment petites, on peut écrire ${\displaystyle \mathrm {d} y=f'(a)\,\mathrm {d} x}$. Cette présentation escamote en effet la nécessité d'utiliser un calcul de limite, car même pour des variations très petites, le terme d'erreur noté ${\displaystyle o(h)}$ ci-dessus n'a pas de raison d'être nul. Mathématiquement parlant, il serait plus juste de noter cela :

${\displaystyle \delta y\simeq f'(a)\,\delta x}$

car les mathématiciens prouvent la formule exacte ${\displaystyle \mathrm {d} y=f'(a)\,\mathrm {d} x}$, en donnant aux notations ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ un sens précis qui n'est pas celui de petites variations et qui sera détaillé plus bas.

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction des deux variables ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ ; on notera ${\displaystyle z=f(x,y)}$ le résultat de l'application de ${\displaystyle f}$.

De nouveau, la question posée peut être formulée ainsi : lorsque, par rapport à des valeurs de référence ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$, on augmente les variables ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ des quantités ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} y}$, quel est l'effet (au premier ordre) sur la variable ${\displaystyle z}$ ?

Les dérivées partielles permettent de répondre à la question lorsqu'une des deux variations est nulle. Ainsi, parce que c'est un simple calcul de dérivée de fonction d'une variable, il est possible d'écrire :

${\displaystyle \mathrm {d} z_{a,b}=\mathrm {d} f_{a,b}={\frac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\,\mathrm {d} x}$ lorsque ${\displaystyle \mathrm {d} y=0}$

et de même en inversant les rôles : si ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ est nul, ${\displaystyle \mathrm {d} z}$ se calcule à l'aide de la deuxième dérivée partielle.

Il semblerait naturel que lorsqu'on augmente ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ respectivement des quantités infiniment petites ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} y}$, l'augmentation totale soit obtenue en superposant les deux cas précédents :

${\displaystyle \mathrm {d} z_{a,b}=\mathrm {d} f_{a,b}={\frac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\,\mathrm {d} y}$

ce qu'en physique on énonce en général sous la forme : la différentielle « totale » est la somme des « différentielles partielles ».

On écrira par exemple : si ${\displaystyle z=x^{2}+xy}$ alors ${\displaystyle \mathrm {d} z=\mathrm {d} f=(2x+y)\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y}$. De fait, cette formule sera vérifiée dans de très nombreux calculs explicites ; mais elle n'est pas vraie en toute généralité.

Il faut détailler le raisonnement pour voir où il pèche. On peut faire subir d'abord une augmentation de ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ à la seule variable ${\displaystyle x}$, ce qui la fait passer de la valeur ${\displaystyle a}$ à ${\displaystyle a+\mathrm {d} x}$, tandis que ${\displaystyle y}$ reste égal à ${\displaystyle b}$. Puis, en maintenant ${\displaystyle x=a+\mathrm {d} x}$ constant, on fait passer ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle b}$ à ${\displaystyle b+\mathrm {d} y}$. Les accroissements de ${\displaystyle z}$ résultants sont donc plus précisément :

${\displaystyle \mathrm {d} z_{1}={\frac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\,\mathrm {d} x}$

et ${\displaystyle \mathrm {d} z_{2}={\frac {\partial f}{\partial y}}(a+\mathrm {d} x,b)\,\mathrm {d} y}$

et encore si cette deuxième quantité existe effectivement.

L'existence de dérivées partielles au seul point ${\displaystyle (a,b)}$ est a priori insuffisant pour écrire une formule générale de calcul de ${\displaystyle \mathrm {d} z}$. En revanche, si l'on suppose que les dérivées partielles sont définies et continues sur un voisinage de ${\displaystyle (a,b)}$, on pourra effectivement affirmer que ${\displaystyle \mathrm {d} z}$ a la valeur attendue.

Étudions en premier lieu une fonction de deux variables, à valeurs réelles : on notera ${\displaystyle z=f(x,y)}$. Cette fonction sera dite différentiable au point ${\displaystyle m}$ de coordonnées ${\displaystyle (x,y)}$ s'il existe une formule de développement limité d'ordre 1 pour la fonction en ce point, c'est-à-dire :

${\displaystyle f(x+h_{1},y+h_{2})=f(x,y)+\alpha \,h_{1}+\beta \,h_{2}+o\left({\sqrt {{h_{1}}^{2}+{h_{2}}^{2}}}\right)}$

avec ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ des coefficients réels, ou encore :

${\displaystyle \lim _{(h_{1},h_{2})\to (0,0)}{\frac {f(x+h_{1},y+h_{2})-f(x,y)-\alpha h_{1}-\beta h_{2}}{\sqrt {{h_{1}}^{2}+{h_{2}}^{2}}}}=0}$

La limite est à prendre au sens des limites de fonctions de deux variables.

Si la fonction est différentiable, on montre que les coefficients ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ sont bien les dérivées partielles de ${\displaystyle f}$. On peut alors écrire :

${\displaystyle f(x+h_{1},y+h_{2})=f(m+{\vec {h}})=f(m)+L({\vec {h}})+o(\|{\vec {h}}\|)}$

avec l'expression suivante qui est linéaire en ${\displaystyle {\vec {h}}=(h_{1},h_{2})}$

${\displaystyle L({\vec {h}})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)\,h_{1}+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\,h_{2}.}$

L'application linéaire ${\displaystyle L}$ est appelée différentielle de ${\displaystyle f}$ au point ${\displaystyle m}$ et peut se noter ${\displaystyle \mathrm {d} f(m)}$ ou bien ${\displaystyle \mathrm {d} f_{m}}$.

On peut reprendre l'interprétation intuitive de ${\displaystyle L}$. Si les variables subissent une petite modification ${\displaystyle \delta {\vec {\ell }}}$, l'effet sur la fonction est une modification ${\displaystyle \delta f=L(\delta {\vec {\ell }})}$, à condition de s'empresser d'ajouter : « du moins au premier ordre ».

Cette première notion se généralise aux fonctions de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, en changeant simplement le nombre de variables, puis aux fonctions de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ en admettant des coefficients vectoriels pour le développement limité. Une fonction ${\displaystyle {\vec {f}}}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ sera dite différentiable en ${\displaystyle a}$ s'il existe un développement de la forme :

${\displaystyle {\vec {f}}(a_{1}+h_{1},\dots ,a_{n}+h_{n})={\vec {f}}(a_{1},\dots ,a_{n})+h_{1}\,{\vec {\alpha _{1}}}+\dots +h_{n}\,{\vec {\alpha _{n}}}+o\left(\|{\vec {h}}\|\right)}$

avec ${\displaystyle \|{\vec {h}}\|}$ qui désigne la norme du vecteur de composantes ${\displaystyle (h_{1},...,h_{n})}$. Cette condition peut aussi s'écrire comme :

${\displaystyle \lim _{{\vec {h}}\to {\vec {0}}}{\frac {{\vec {f}}(a_{1}+h_{1},\dots ,a_{n}+h_{n})-{\vec {f}}(a_{1},\dots ,a_{n})-h_{1}\,{\vec {\alpha _{1}}}-\dots -h_{n}\,{\vec {\alpha _{n}}}}{\|{\vec {h}}\|}}={\vec {0}}}$

La limite est à prendre au sens des limites de fonctions de ${\displaystyle n}$ variables. De nouveau, si la fonction est différentiable, on montre que les coefficients ${\displaystyle {\vec {\alpha _{1}}}}$ apparaissant dans ce développement sont les dérivées partielles de ${\displaystyle {\vec {f}}}$. On notera donc :

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {f}}(a)({\vec {h}})={\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial x_{1}}}(a)\,h_{1}+\dots +{\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial x_{n}}}(a)\,h_{n}}$

Pour effectuer ce calcul il est judicieux d'introduire des représentations matricielles pour le vecteur ${\displaystyle {\vec {h}}}$ et l'application linéaire ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {f}}(a)}$ : c'est ce que l'on appelle la matrice jacobienne de l'application. C'est une matrice de dimension ${\displaystyle (p,n)}$. Le calcul de ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {f}}(a)({\vec {h}})}$ peut aussi être présenté comme un calcul de produit scalaire du vecteur ${\displaystyle {\vec {h}}}$ avec le vecteur gradient de ${\displaystyle f}$ au point ${\displaystyle a}$.

La différentiabilité de la fonction assure l'existence de dérivées partielles ; la réciproque est fausse : l'existence de dérivées partielles n'assure pas la différentiabilité de la fonction, ni même sa continuité.

Il existe cependant un résultat positif : si les dérivées partielles de ${\displaystyle f}$ existent et sont continues, alors ${\displaystyle f}$ est différentiable.

Si l'application ${\displaystyle f}$ est linéaire, alors elle est différentiable en tout point ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} f(a)=f}$. Ceci s'applique en particulier à chaque fonction coordonnée ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle x\to x_{k}}$ — dont la dérivée en tout point ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle \mathrm {d} x_{k}(a)\,:\,h\to h_{k}}$, est simplement notée ${\displaystyle \mathrm {d} x_{k}}$ — et justifie la réécriture suivante de la différentielle de ${\displaystyle {\vec {f}}}$ en ${\displaystyle a}$ :

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {f}}(a)={\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial x_{1}}}(a)\,\mathrm {d} x_{1}+\dots +{\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial x_{n}}}(a)\,\mathrm {d} x_{n}}$

En calcul infinitésimal, l'habitude est de noter ${\displaystyle \mathrm {d} f}$ des variations infinitésimales d'une fonction ${\displaystyle f}$. Ainsi, soient ${\displaystyle f}$, une fonction de ${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {x}}=(\mathrm {d} x_{1},\dots ,\mathrm {d} x_{n})}$ où les ${\displaystyle \mathrm {d} x_{i}}$ sont les composantes d'une variation infinitésimale de ${\displaystyle {\vec {x}}}$, alors la différentielle de ${\displaystyle f}$ au point ${\displaystyle {\vec {x}}}$ définit les variations infinitésimales de ${\displaystyle f}$ correspondant aux variations infinitésimales de ${\displaystyle {\vec {x}}}$ et s'écrit :

${\displaystyle \mathrm {d} f({\vec {x}})=\sum _{i}{\frac {\partial f({\vec {x}})}{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} x_{i}}$

ou, en notation tensorielle avec la convention de sommation d'Einstein :

${\displaystyle \mathrm {d} f({\vec {x}})={\frac {\partial f({\vec {x}})}{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} x_{i}}$

Pour bien comprendre cette formule, il faut comprendre que l'accroissement infinitésimal ${\displaystyle \partial f}$ est lié aux accroissements infinitésimaux ${\displaystyle \partial x_{i}}$ par les dérivées partielles qui sont indépendantes les unes des autres, et que par contre, on calcule la relation entre ${\displaystyle \mathrm {d} f({\vec {x}})}$ et les ${\displaystyle \mathrm {d} x_{i}}$ qui sont, eux, liés entre eux par la direction dans laquelle on fait varier ${\displaystyle {\vec {x}}}$.

Plus généralement, il est possible de définir la notion de différentiabilité et de différentielle sans avoir recours à des bases.

Soient ${\displaystyle E}$ un espace vectoriel normé, ${\displaystyle F}$ un espace vectoriel topologique séparé, ${\displaystyle f}$ une application de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle F}$ et ${\displaystyle a}$ un point de ${\displaystyle E}$. On abandonne la notation des vecteurs par des flèches dans ce paragraphe.

On dit que ${\displaystyle f}$ est différentiable en ${\displaystyle a}$ (au sens de Fréchet) s'il existe une application linéaire continue ${\displaystyle L:E\to F}$ telle que :

${\displaystyle \forall h\in E\quad f(a+h)=f(a)+L(h)+o\left(\|h\|\right)}$

ou, de manière équivalente :

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-L(h)}{\|h\|}}=0.}$

Une telle application linéaire ${\displaystyle L}$ est alors unique[note 2]. Elle est appelée différentielle de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle a}$ et se note ${\displaystyle L=\mathrm {d} f(a)}$. De plus, sa continuité assure la continuité en ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle f}$.

La différentiabilité dépend de la norme choisie sur ${\displaystyle E}$ ; on retrouve, cela dit, la définition usuelle en dimension finie (voir supra) puisque toutes les normes y sont équivalentes. Notons que pour ${\displaystyle h\in E}$ fixé, l'application ${\displaystyle Df(.)(h):E\to F:a\mapsto \mathrm {d} f(a)(h)}$ n'a aucune raison d'être linéaire. Par exemple pour ${\displaystyle E=F=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle f=\sin }$ et ${\displaystyle h=1}$, on a ${\displaystyle Df(.)(h)=\cos }$.

On peut remarquer le changement sémantique entre la première définition, celle de Leibniz – un accroissement très petit –, et celle formalisée de nos jours – une application linéaire. Ce changement est l'aboutissement d'une évolution de plus de trois siècles entre une idée intuitive du calcul infinitésimal et sa formalisation.

Si ${\displaystyle y=f(x)}$, si ${\displaystyle f}$ est dérivable sur ${\displaystyle I}$, alors ${\displaystyle \mathrm {d} f=f'(x)\,\mathrm {d} x}$. Si de plus, ${\displaystyle f'}$ est dérivable, ${\displaystyle \mathrm {d} f}$ est différentiable et :

${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}f=f''(x)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} x}$

Cette quantité s'appelle la différentielle d'ordre 2 de ${\displaystyle f}$.

Plus généralement, si ${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle n}$ fois dérivable sur ${\displaystyle I}$, on appelle différentielle d'ordre ${\displaystyle n}$ sur ${\displaystyle I}$, l'expression :

${\displaystyle \mathrm {d} ^{n}f=f^{(n)}(x)(\mathrm {d} x)^{n}}$

Si ${\displaystyle f}$ est une fonction différentiable de ${\displaystyle U}$ (ouvert de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, alors ${\displaystyle \mathrm {d} f={\tfrac {\partial f}{\partial x}}\,\mathrm {d} x+{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\,\mathrm {d} y}$. Chacune des fonctions ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x}}}$ et ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial y}}}$ est elle-même une fonction de ${\displaystyle U}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Si elles sont de classe C¹ (c'est-à-dire différentiables de différentielle continue) alors ${\displaystyle \mathrm {d} f}$ est aussi différentiable et :

${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial x}}\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\,\mathrm {d} y\right)\,\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial y}}\,\mathrm {d} y\right)\mathrm {d} y}$

Comme les différentielles sont continues, le théorème de Schwarz permet de dire que :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}}$

ce qui permet d'écrire la différentielle d'ordre 2 de ${\displaystyle f}$ sous la forme suivante :

${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial x}}\,(\mathrm {d} x)^{2}+2\,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial y}}\,(\mathrm {d} y)^{2}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial }{\partial y}}\,\mathrm {d} y\right)^{2}f}$

où ${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {\partial }{\partial x}}\,\mathrm {d} x+{\tfrac {\partial }{\partial y}}\,\mathrm {d} y{\bigr )}}$ devient un opérateur agissant sur ${\displaystyle f}$

Plus généralement, si ${\displaystyle f}$ est de classe ${\displaystyle C^{n}}$ alors (formellement, dans l'algèbre des opérateurs) :

${\displaystyle \mathrm {d} ^{n}f=\left({\frac {\partial }{\partial x}}\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial }{\partial y}}\,\mathrm {d} y\right)^{n}f}$

On considère deux espaces vectoriels normés ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle U}$ un ouvert de ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle f:U\to F}$.

On dit que ${\displaystyle f}$ est deux fois différentiable en ${\displaystyle a\in U}$ si :

1. ${\displaystyle f}$ est différentiable sur ${\displaystyle U}$ (de différentielle ${\displaystyle f'(x)\in {\mathcal {L}}(E,F)}$ pour tout ${\displaystyle x\in U}$),
2. l'application ${\displaystyle f':U\to {\mathcal {L}}(E,F)}$ est différentiable en ${\displaystyle a}$ (au sens de la métrique induite sur ${\displaystyle {\mathcal {L}}(E,F)}$).

L'application dérivée seconde est donc une fonction ${\displaystyle f'':U\to {\mathcal {L}}(E,{\mathcal {L}}(E,F))}$ et la différentielle seconde en ${\displaystyle a}$ est l'application ${\displaystyle f''(a)\in {\mathcal {L}}(E,{\mathcal {L}}(E,F))}$.

Mais intéressons-nous de plus près à ${\displaystyle f''(a)}$. Il s'agit d'une application linéaire continue ${\displaystyle f''(a):E\to {\mathcal {L}}(E,F)}$. De même, une fois choisi ${\displaystyle x\in E}$ l'application ${\displaystyle f''(a)x:E\to F}$ est linéaire continue.

L'application ${\displaystyle f''(a)}$ peut donc être interprétée comme l'application bilinéaire continue ${\displaystyle f''(a):E\times E\to F,\,(x,y)\mapsto ((f')'(a)x)y}$. D'après le théorème de Schwarz, elle est de plus symétrique.

De manière générale, on définit la différentielle d'ordre ${\displaystyle n}$ de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle a}$ comme l'application ${\displaystyle n}$-linéaire symétrique continue ${\displaystyle f^{(n)}(a):E^{n}\to F,\,(x_{1},...,x_{n})\mapsto (...((f^{(n)}(a)x_{1})x_{2})...)x_{n}}$.

• Henri Cartan, Cours de calcul différentiel, éditions Hermann, 1967 (plusieurs rééditions).